专题03随机变量的分布列期望方差浙江高考数学试题探源与变式.docx

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专题03随机变量的分布列期望方差浙江高考数学试题探源与变式

《2019浙江高考试题探源与变式》

专题三随机变量的分布列、期望、方差

【母题原题1】【2019浙江，7］设。

则随机变量X的分布列是:

X

0

a

1

P

23

1

3

23

则当。

在（。

1）内增大时（）

B.Q（X）减小

D.O（x）先减小后增大

A.D（X）增大

c.o（x）先增大后减小

【★答案*】D

【解析】

方法1：

由分布列得E（x）=彳，则

0（X）=

--0^x-+

1

x-+

313

i）*泻（吗）4*则”在

（0,1）内增大时，O（X）先减小后增大.

故选D.

【母题原题2】【2018浙江，7］设随机变量孑的分布列是

g

0

1

2

p

l-p

P

2

2

1

则当〃在（0,I）内增大时,

A.D（c）减小B.D增大

C.D（4）先减小后增大D.D（①先增大后减小

【★答案*】D

【解

1-p

••E（O=0x-y+

p

X-+2x-=p

22

nnn

点睛：

E0=Z%Pi，D©=Z（x[E©）%=^x/pj-E2^）.i=li=li=1

【母题原题3】【2017浙江，8）已知随机变量。

满足P（。

二1）二口，P（q=0）=l-p：

i=l,

2.若0

2

A.E（§）D（%）

C.E信）〉E⑸,D

（1）E（$），D（4J>D©）

【★答案*】A

【解析】・・・E（4）=P],EG）=p”.・.E信）

VD«I）=A（l-pI）,D（^）=p2（l-p2）,

：

•。

（灯一。

©）=（Pl-〃2）。

一P「〃2）<。

，故选A.

【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X取各个值时的概率.对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.由已知本题随机变量,服从两点分布,由两点分布数学期望。

方差的公式可得A正确.

【命题意佟I】1.分布列的概念及其性质；2.考查期望、方差的关系及其计算公式；3.考查运算求解能力、分析与解决问题的能力.

【命题规律】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题.以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考的主要命题方向.近三年浙江卷略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.同时，考查二次函数性质的应用，逐渐形成稳定趋势.

【答题模板】

求离散型随机变量均值、方差的步骤：

（1）理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值：

（2）求X的每个值的概率：

（3）写出X的分布列；

（4）由公式求出E（X）、方差.

【方法总结】

1.求离散型随机变量均值、方差的基本方法

⑴已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解：

（2）已知随机变量看的均值、方差，求g的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用4的均值、方差的性质求解：

（3）如能分析所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用它们的均值、方差公式求解.

2.六条性质

⑴E（C）=C（C为常数）

（2）E（aX+b）=aE（X）+b（〃/为常数）

（3）E（Xi+X2）=E（X1）+E（X2）

⑷如果X,匕相互独立，则七（X1•X2）=E（XJ•E（X?

）

⑸£>（X）=E（X2）-（E（X））2

（6）D（aX+b）=a2D（X）

3.均值与方差性质的应用若X是随机变量，则〃=/（X）一般仍是随机变量，在求〃的期

望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求〃的分布列带来的繁琐运算.

生事源而腐秘

一、选择题

1.【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】设随机变量J的分布列是

一

c

0

1

2

P

1

P

2

则当〃在（0,1）内增大时（）

A.E（9减小,。

优）减小B.石侑）减小，D&）增大

C.4乡增大，。

值）减小D.石侑）增大，增大

【★答案*】A

【解析】

由题意得E4）=Ox:

+lx4+2x?

=l-4，所以"在（0,1）内增大时，颐§）减少:

2222

0（4=[。

一（1_7）]2x；+[1—（1—7）『x§+[2—（1—§）]2xF=^1^乙乙乙乙乙乙乙

2

所以当P在（0,1）内增大时,。

（乡减少.

故选：

A.

2.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末】已知随机变量X的分布列如下表:

X

-1

0

1

P

a

b

c

DX<-

其中。

力,c>0.若x的方差3对所有ae（0,1-田都成立，贝ij（）

0

A.3

2

0

B.3

^

【★答案*】D

【解析】

由x的分布列可得：

X的期望为EX=-a+c,a+b+c=l,所以X的方差OX=（-1+q-c）2q+（a-c）2/?

+（1+q-c）2c=（a-c）2（q+b+c）-2（a-c）2+a+c=-（a-c）2+q+c,

=-（2a-1+b）2+l-b=-4^a-+1

因为aw（0,1）

_l-b

所以当且仅当“=亍时，DX取最大值1-6，

1122

DX<—.x1—二b—二

又3对所有aW（0,l-b”；成立，所以只需3,解得3,所以3

故选D

3.【浙江省嘉兴市2019届高三上期末】已知随机变量€的分布列如下，则E（，）的最大

值是（）

€

-1

0

a

P

14

1

21。

--b4

515119

A.8B.64C.4D.64

【★答案*】B

【解析】

=_庐+二b——

化简得到44,根据：

根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,0.）=-1x—+q（—b\=—

根据公式得到4"J4

_15

次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到-64.b=-此时8.经检验适合题意.

故★答案★为：

B.

0

4.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知4,随机变量《的分布列如下：

-1

0

1

p

3

4

1

一a

4

a

当a增大时，（）

A.夙C增大,，（《）增大B.凤《）减小，，（《）增大

C.爪6）增大，〃（f）减小D.凤f）减小，，（《）减小

【★答案*】A

3

E（£）=a——

【解析】分析：

由随机变量（的分布列，推导出4,从而当a增大时，E⑹

571

D（《）=-to—）2+—0<。

<—

增大：

44.由4,得到当a增大时，。

纥）增大.

3

E（O=a——

详解：

由随机变量§的分布列，得4,I.当碉大时，E«）增大；

D（C=[-l-a+^2x5+（0-a+1j2x^-aj+^l-a+|j2xa=-a2+|a+^

=-fa--）2+-0

k4/4,•••4,，当砒大时，D④增大，故选A.

5.【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知S是离散型随机变量，则下列结论错误的是（）

APg如咐蜀b.（E（*的

C.D（f）=D（l-0D.D（f2）=D（（l-f）2）

【★答案*】D

【解析】

P（田蜀二。

卜沁蜀4P伏蜀二当“丁，在A中，I3J\33/I3）[33）,故A正确；

在B中，由数学期望的性质得国⑹产工四9），故B正确：

在c中,由方差的性质得。

延）=。

（1-9,故c正确;

在D中,。

/）工。

（（1-92）=4。

（9+。

6）,故D错误.

故选D.

6.【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知随机变量4（，=1,2）的分布列如表所示：

0

1

2

P

£3

Pi

2

丁Pi

12

若。

VP］<—V〃2Vq，则（）23

A.凤。

）〈七©）,。

（。

）<。

值）B.矶猫伊仁）,。

信）.俗）

C.E⑸〉E（蜃），。

佃）>D（4）D.E⑸,E体）,。

信）>D值）

【★答案*】D

【解析】

由题意得E信）=P,+2（|-〃J=/不

12

V0

・・・E（4）>E（&）

・・・。

（。

）=苴。

一同刍）丁+/山一七©）丁+（|—〃，［2—七（同］2

••♦。

（刍产外化一力+〃/〃,—力+（1-〃,）[〃产]

3）\3）\5）\5

1Q91

设/（x）=—V-1工+；,则〃x）在0,二上单调递减.

393>

12

70<^<-<^2<-

.・.。

信）>。

信）故选D.

7.【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】随机变量《的分布列如下:

-1

0

1

P

a

b

c

其中a,b,c成等差数列，则以的最大值为（

2523

A.3B.9C.D.

【★答案*】A

•••28=a+c,•••a+b+c=1,•••b=-,c=——a,

【解析】因为4b,c成等差数列，33

2

••・*=-a+c=-2a+§

Df=（-1+2a-1）2xa+（2a-|）2xb+（1+2a-1）2x6-aj

=-4a2++（=-4（a-++U

39333

2

则。

1的最大值为§.

本题选择4选项.

0

8.12017届浙江省高三上学期高考模拟】已知2,随机变量6的分布如下:

-1

0

1

P

a

1

2~0

1

2

当。

增大时，（）

A.E（9增大,。

延）增大B.减小,增大

C.£（0增大,D（9减小D.£仔）减小，D（f）减小

【★答案★】B

E（（）=-Q+?

【解析】由题意得，2,

19191191

员。

=（-a+-+l）2xa+（-a+a）+（-a+--I）2x-乙乙乙乙乙

2cl八1

=_q/+2q+-0

4,又：

2,J故当Q增大时，减小，。

（打增大，故选B.

9.【2017年12月浙江省重点中学期末热身】已知随机变量§满足尸传=O）=L

9?

p（g=l）=x,p（g=2）=士一X,若0

A.E（J）随着工的增大而增大，0（4）随着X的增大而增大

B.E（J）随着大的增大而减小，。

（与随着x的增大而增大

C.E（J）随着x的增大而减小，。

/）随着x的增大而减小

D.E（J）随着x的增大而增大，。

（劣随着X的增大而减小

【★答案*】C

【解析】•・,随机变量看满足尸（4=0）=：

P（J=l）=x,P（^=2）=j-x

E（J）=0x；+lxx+2x

D《）=

+

373\3；V3;

=一.「一一X+-=-Xd+

39I6J12

0

3

•・.E（4）随着X的增大而减小，O（g）随着X的增大而减小

故选C

二、填空题

10.【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知随机变量X的分布列如下表:

X

a

2

3

4

P

1

3

b

1

6

1

4

若EX=2,则a=；DX=

5

【★答案*】0.2

【解析】

~+/>+-+—=l,Ab=-由题得3644

1111

所以

EX=ax—+2X—+3x—+4x—=23464

解得a=0.

DX=（0—2）2.：

+（2-2产・：

+（3-2）2.；+（4-2）2.：

=.所以34642

5

故★答案★为：

0,2

-1

0

2

P

X

1

3

y

1L【浙江省2018年12月重点中学高三期末热身】已知随机变量的分布列为:

若则》+>=：

.

214

【★答案*】§§

【解析】

由分布列的性质以及期望公式可得,12

X=V=-X+V=-

解得3.3.

-lxx+0+2y=i

1

%+y+==1

3

*,D（c=（'i4）2x§+（°4）24+（24）2xr

214

14

故★答案★为3,9.

12.【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷

（-）］若随机变量《的分布列如表所示:

则以=

%

-1

0

1

p

a

1_

4

D（2f-1）=

111

【★答案★】一^-4

【解析】

12r31

q+—+q=1a=—a=—

由题意可知：

4，解得2（含去：

或2

1111

E©=-lx-+0x-+lx-=——2244

由方差计算性质得

31\11

D（2f-1）=4D（O=4（F（e2）-[F（e）]2）=4x^--j=-

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