线性系统稳态误差的研究.docx
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线性系统稳态误差的研究
线性系统稳态误差的研究
学生实验报告
（理工类）
课程名称：
自动控制原理专业班级：
14电气
（2）
学生学号：
学生姓名：
所属院部：
机电工程学院指导教师：
吴洪兵
2015——2016学年第二学期
金陵科技学院教务处制
一、实验目的和要求
1熟悉线性系统；
2熟悉线性系统稳态误差原因。
二、实验仪器和设备
计算机一台
三、实验过程
在稳定的基础上，不仅要求系统具有较快的动态响应速度，还应具有令人满意的稳态控制精度。
稳态误差是系统控制精度的度量，它体现了系统进入稳态时，实际输出与希望输出之间的偏差。
系统的稳态误差既与系统的结构、参数有关，又受到外输入信号作用的影响，同时，系统静特性不稳定和参数变化等因素也会导致系统产生一定的稳态误差。
3.1稳态误差的概念
C（s）定义在输入端的误差：
E（s）?
R（s）?
B（s）?
R（s）?
H（s）
定义在输出端的误差：
E'（s）?
Cr（s）?
C（s）
两种误差之间存在着内在的联系
E'（s）?
Cr（s）?
C（s）?
111R（s）?
B（s）?
E（s）H（s）H（s）H（s）
对于单位反馈系统，即H（s）=1，有E’（s）=E（s），所以E（s）可以反映E’（s），且便于测量。
3.2稳态误差的计算
误差时域表达式为e（t）=r（t）－b（t），令t→∞时，得稳态误差ess?
lime（t）t?
?
或?
limsE（s）s?
0
稳态误差ess可以用求s→0时sE（s）的极限替代，通常E（s）的解析表达式比e（t）的解析表达式更容易得到。
误差的拉普拉斯变换为
E（s）?
1
1?
Gk（s）R（s）?
G2（s）H（s）N（s）1?
Gk（s）
其中，Gk（s）=G1（s）G2（s）H（s）
系统误差不仅与系统的结构、参数有关，还决定于输入信号的形式及作用点。
在参考输入和扰动输入共同作用下，系统的误差包括参考输入引起的误差和扰动输入引起的误差。
（1）参考输入作用下的稳态误差
N（s）=0时，E（s）?
Wer（s）R（s）?
essr?
如果系统稳定，则11?
Gk（s）R（s）R（s）1?
Gk（s）1limsE（s）?
s?
0limss?
0
所以，取决于系统结构参数和输入信号。
系统的开环传递函数一般可以表示为
Gk（s）?
K（T1s?
1）（T2s?
1）?
（Tms?
1）K?
G0（s）NNs（Tas?
1）（Tbs?
1）?
（Tns?
1）S
系统的开环传递函数一般可以表示为
Gk（s）?
K（T1s?
1）（T2s?
1）?
（Tms?
1）K?
G0（s）NNs（Tas?
1）（Tbs?
1）?
（Tns?
1）S
式中，N为开环传递函数中的积分环节数，K为开环增益。
系统常按其开环传递函数中积分环节的数量分类：
Thenumberofintegrationsiscalledtypenumberofsystem当N=0时，称为0型系统Type0system，或有差系统；
当N=1时，称为Ⅰ型系统TypeⅠsystem，或一阶无差系统型；当N=2时，称为Ⅱ型系统TypeⅡsystem，或二阶无差系统型；增加型号数可使精度提高，但对稳定性不利，一般N≤2。
典型输入信号作用下系统稳态误差
1）阶跃输入作用下的稳态误差
r（t）=A﹒1（t）（A为阶跃函数的幅值）
sAAAess?
lim?
?
?
s?
01?
G（s）s1?
Gk（0）1?
Kpk
静态位置误差系数Kp?
limGk（s）?
Gk（0）s?
0
对于0型系统，
K（T1s?
1）（T2s?
1）?
Kp?
lim?
K（开环增益）s?
0（Ts?
1）（Ts?
1）?
ab
ess1?
1?
K
对于Ⅰ型及Ⅰ型以上系统，
Kp?
lims?
0K（T1s?
1）（T2s?
1）?
?
?
Ns（Tas?
1）（Tbs?
1）?
ess?
0
2）斜坡输入作用下的稳态误差
输入为斜坡函数r（t）=B﹒t时，
ess?
lims?
0sBBB?
2?
limess?
s?
01?
Gk（s）ssGk（s）Kv
静态速度误差系数Kv?
lim0型系统Kv?
lims?
s?
0
s?
0
sGk（s）
K（T1s?
1）（T2s?
1）?
?
0ess
（Tas?
1）（Tbs?
1）?
?
?
1
K（T1s?
1）（T2s?
1）?
K?
lims?
?
KⅠ型系统v
s?
0s（Tas?
1）（Tbs?
1）?
Ⅱ型及Ⅱ型以上系统
ess?
K
Kv?
lims?
s?
0
K（T1s?
1）（T2s?
1）?
?
?
essN
s（Tas?
1）（Tbs?
1）?
?
0
3）抛物线函数（等加速度函数）输入作用下的稳态误差
输入为抛物线函数r（t）=1/2C﹒t2时，
sCCC
ess?
lim?
3?
lim2?
s?
01?
G（s）ss?
0sG（s）Kakk
加速度误差系数Ka?
lim
s?
0
s2Gk（s）
2K（T1s?
1）（T2s?
1）?
K?
lims?
0,ess对于0型系统，a
s?
0（Tas?
1）（Tbs?
1）?
?
?
?
?
K（T1s?
1）（T2s?
1）?
essK?
0,对于Ⅰ型系统，a?
limss?
0s（Tas?
1）（Tbs?
1）?
2
K（T1s?
1）（T2s?
1）?
essK?
lims?
K,对于Ⅱ型系统，a2s?
0s（Tas?
1）（Tbs?
1）?
2
C
?
K
对于Ⅱ型以上系统，Ka
?
?
ess?
0
（2）主扰动输入引起的稳态误差
在扰动信号的作用下系统产生的稳态误差:
R（s）=0时，系统误差表达式为E（s）?
Wen（s）N（s）?
?
G2（s）H（s）N（s）1?
Gk（s）
essn?
G2（s）H（s）?
lime（t）?
limsE（s）?
limsN（s）t?
?
s?
0s?
01?
Gk（s）
G2（0）H（0）1?
?
?
?
1?
G1（0）G2（0）H（0）G1（0）单位阶跃函数n（t）=1（t）输入时essn
在扰动作用点以前的系统前向通道G1（s）的静态放大系数愈大，则由扰动引起
的稳态误差就愈小。
对于无差系统，N≥１，G1（0）=∞，扰动不影响稳态响应，由此产生的稳态误差为零。
阶跃输入作用下的位置误差系数及稳态误差
Kp1K1K2?
0?
limGk（s）?
lim?
?
essr?
s?
0s?
0s（1?
KpTs?
1）
扰动输入引起的稳态误差
essn?
limsEn（s）?
limsWen（s）N（s）s?
0s?
0
?
K21?
limss?
0s（Ts?
1）?
KKs12
1?
?
K1
综上：
n（t）作用与r（t）作用相比，误差规律不同。
令扰动作用点之前的系统前向通道传递函数为G1（s）?
扰动输入引起的稳态误差essn?
limss?
0K1（?
s?
1）s?
K21s（T?
1）?
K2G1（s）s
?
1?
s?
lim?
lim?
0s?
0G（s）s?
0K（?
s?
1）11
为了降低或消除主扰动引起的稳态误差，可以采用增大扰动作用点之前前向通道的放大系数或在扰动作用点之前引入积分环节的办法来实现。
（3）系统静特性变化引起的误差
由于环境条件改变，元件发热、摩损、老化、特性漂移等各种原因引起的系统参数或静特性的变化，都将导致输出变化，从而产生稳态误差。
这些系统内部的变化（系统的内部扰动）所引起的稳态误差，有时很严重，尤其是在要求的较
高场合，必须考虑这种误差。
假定参考输入一定，那么图示的非单位反馈系统在稳态时有css?
G（0）r1?
G（0）H（0）
?
css?
G（0）?
G2（0）?
H（0）?
r2[1?
G（0）H（0）]G（0）和H（0）变化时，有
?
css
css1?
G（0）G（0）H（0）?
H（0）?
?
1?
G（0）H（0）G（0）1?
G（0）H（0）H（0）
H（0）?
?
1时，有当G（0）
所以：
?
css1?
G（0）?
H（0）?
?
css1?
G（0）H（0）G（0）H（0）
1）反馈系数变化或不准确，将使系统输出发生同样大小（相对值）的变化或误差，所以为使系统具有一定的精度，检测元件或反馈通道环节应该准确恒定；
2）前向通道环节发生变化而引起的误差，差不多是与G（0）H（0）成反比的，由于G（0）H（0）较大，故G（0）变化对系统输出影响不大，对它的准确度和恒定性的要求可以大大降低，这正是负反馈系统的特点。
3.3降低稳态误差的主要措施
降低稳态误差的措施有：
（1）保证元件有一定的精度和性能稳定性，尤其是反馈通道元件。
有时还应考虑实际的环境条件，采取必要的误差补偿等措施。
（2）在满足系统稳定性要求的前提下，增大系统开环放大系数或增加前向通道中积分环节数目，保证对参考输入的跟随能力；增大扰动作用点之前的前向通
道放大系数或增加扰动作用点之前的前向通道的积分环节数，以降低扰动引起的稳态误差。
（3）增加前向通道中积分环节数改变了闭环传递函数的极点，会降低系统的稳定性和动态性能。
所以必须同时对系统进行校正。
如果作用于系统的主要干扰可以测量时，可以采用复合控制来降低系统误差，或消除扰动影响。
下图表示了一个按输入反馈——按扰动顺馈的复合控制系统。
G（s）为被控对象传递函数，Gc（s）为控制器传递函数，Gn（s）为干扰通道的传递函数，GN（s）为顺馈控制器的传递函数。
如果扰动量可以测量，且Gn（s）是已知的，则可通过适当选择GN（s），消除扰动所引起的误差。
C（s）对N（s）的传递函数为C（s）
Gn（s）GN（s）?
0，所以选择GN（s）?
?
令Gn（s）?
G（s）G（s）Gn（s）?
G（s）GN（s）?
N（s）1?
G（s）Gc（s）H（s）
由于顺馈控制是开环控制，精度受限，且对参考输入引起的响应没有作用。
所以为了满足系统对参考输入响应的要求，以及为了消除或降低其它扰动的影响，在复合控制系统中还需借助反馈和适当选取Gc（s）来满足要求。
为了提高系统对参考输入的跟综能力，也可按参考输入顺馈来消除或降低误差。
1?
GD（s）G（s）H（s）E（s）?
R（s）1?
Gc（s）G（s）H（s）
1。
G（s）H（s）G（s）H（s）?
0，所以选择GD（s）?
令1?
GD（s）
四、实验结果与分析
可以用MATLAB的求极限函数limit求误差系数，若求静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv和静态加速度误差系数Ka，其调用格式分别为Kp=limit（G,s,0,’right’）;
Kv=limit（s*G,s,0,’right’）;
Ka=limit（s^2*G,s,0,’right’）;
其中，G为系统的开环传递函数G（的表达式的符号变量，使用前通过symsks）
命令进行符号变量定义。
例3-16为保持飞机的航向和飞行高度，设计了如图所示的自动驾驶仪。
飞机自动驾驶仪结构图
（1）假设采用比例（P）控制器Gc（s）=2，输出为预期的航向角?
d（t）=at，a=0.5。
/s。
试用函数lism计算并绘制系统实际的输出姿态角，求10s后的航向角偏差。
（2）为减小稳态跟踪误差，采用比例积分（PI）控制器，即
Gc（s）?
K1?
K21?
2?
ss
试重复
（1）中的仿真计算，并比较两种情况下的稳态跟踪误差。
解
（1）采用比例（P）控制器Gc（s）=2，自驾仪系统开环传递函数
G（s）?
20（s?
5）20s?
100?
2432s（s?
5）（s?
3.5s?
6）s?
13.5s?
41s?
60s
闭环传递函数为
Ws20s?
100?
4s?
13.5s3?
41s2?
80s?
100
（2）采用比例积分（PI）控制器Gc（s）?
K1?
K2/s?
2?
1/s时，自驾仪系
统开环传递函数为
10（2s?
1）（s?
5）20s2?
110s?
50G（s）?
2?
52432s（s?
10）（s?
3.5s?
6）s?
13.5s?
41s?
60s
闭环传递函数为
Ws20s2?
110s?
50?
5432s?
13.5s?
41s?
80s?
100s?
50
求解程序如下：
%斜坡响应
%应用函数lism求斜坡响应
%输入函数r（t）=t
num1=[20100];%采用比例（P）控制器Gc（s）=2
den1=[113.54180100];
num2=[2011050];%采用比例积分（PI）控制器Gc（s）=K1+K2/s=2+1/sden2=[113.5418011050];
t=0:
0.1:
12;
r=0.5*t;
c1=lsim（num1,den1,r,t）;
c2=lsim（num2,den2,r,t）;
subplot（1,2,1）,plot（t,r,t,c1）;gridon;
title（'控制器Gc（s）=2时的斜坡输入跟踪响应'）
xlabel（'t秒'）
ylabel（'斜坡输入与跟踪响应'）
subplot（1,2,2）,plot（t,r,t,c2）;gridon;
title（'控制器Gc（s）=K1+K2/s=2+1/s时的斜坡输入跟踪响应'）xlabel（'t秒'）
ylabe1（'斜坡输入与跟踪响应'）
程序运行分别得到采用比例（P）控制器Gc（s）=2和比例微分（PI）控制器
自驾仪系统的斜坡输入跟踪系统如下图所示。
其中图a中，Gc（s）?
2?
1/s时，
由于该自驾仪系统为Ⅰ型系统，跟踪斜坡输入信号有稳态误差；图b中由于该自驾仪系统为Ⅱ型系统，跟踪斜坡输入信号的稳态误差为零。
控制器Gc（s）=2时的斜坡输入跟踪响应
控制器Gc（s）=K1+K2/s=2+1/s时的斜坡输入跟踪响应斜坡输入与跟踪响应0246
t秒81012
0246t秒81012
a）b）
计算机采用两种控制器时的稳态误差如下：
symsGpGpis;%定义符号变量
Gp=（20*s+100）/（s^4+13.5*s^3+41*s^2+60*s）;
Gpi=（20*s^2+110*s+50）/（s^5+13.5*s^4+41*s^3+60*s^2）;
Kv1=limit（Gp*s,s,0,'right'）
Kv2=limit（Gpi*s,s,0,'right'）
程序的执行结果如下：
Kv1=5/3
Kv2=Inf
即essv?
B0.5B0.5?
?
0.3,essv?
?
?
05KvKv?
3
可知比例控制时斜坡响应的稳态误差为0.3，比例积分控制时能够准确跟踪斜坡响应，稳态误差为0.观察MATLAB仿真结果与理论分析结论一致。
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