小升初数学知识点及奥数知识点汇总完整版.docx
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小升初数学知识点及奥数知识点汇总完整版
HENsystemofficeroom【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小升初数学知识点及奥数知识点汇总
单位换算
(长度单位):
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米
1厘米=10毫米1米=100厘米1米=1000毫米
(面积单位):
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
(体积单位):
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方分米=1升
(重量单位):
1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤
人民币换算单位:
1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算:
1世纪=100年1年=12月
大月(31天)有1/3/5/7/8/10/12月
小月(30天)有4/6/9/11月
平年2月28天,闰年2月29天。
平年一年365天,闰年一年366天。
一般的能被4整除的年份为闰年(如2012年、2016年),整百时能被400整除为闰年(如2000年,1600年)。
1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒
方向:
上北下南,左西右东。
运算法则:
有括号的先算括号,没有括号的先算乘除再算加减,同级运算从左往右运算(加减运算是第一级,乘除运算是第二级运算,第二级运算高于第一级运算。
)
常用数量关系等式
1.份数:
每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2.1倍数×倍数=几倍数几倍数÷倍数=1倍数几倍数÷1倍数=倍数
3.速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4.单价×数量=总价总价÷数量=单价总价÷单价=数量
5.工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
6.加数+加数=和和—1个加数=另一个加数
被减数—减数=差被减数—差=减数差+减数=被减数
因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
图形计算公式
1.正方形(C:
周长S:
面积a:
边长)
周长=边长×4(C=4a)面积=边长×边长(S=a×a)
2.长方形(C:
周长S:
面积a:
长b:
宽)
周长=(长+宽)×2(C=2(a+b))面积=长×宽(S=a×b)
3.三角形(S:
面积a:
底h:
高)
面积=底×高÷2(S=a×h÷2)三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高
4.正方体(V:
体积S:
表面积a:
棱长)
表面积=棱长×棱长×6(S=a×a×6)体积=棱长×棱长×棱长(V=a×a×a)
5.正方体(V:
体积S:
表面积a:
长b:
宽h:
高)
表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2(S=(a×b+a×h+b×h)×2)
体积=长×宽×高(V=a×b×h)
6.平行四边形(S:
面积a:
底h:
高)
面积=底×高(S=a×高)高=面积÷底底=面积÷高
7.梯形(S:
面积a:
上底b:
下底h:
高)
面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)×h÷2
8.圆形(S:
面积C:
周长πd:
直径r:
半径)
直径=半径×2(d=r×2)周长=π×直径=2×π×半径(C=π×d=2×π×r)
面积=π×半径×半径(S=π×r×r)
9.圆柱体(V:
体积S:
底面积r:
底面半径c:
底面周长h:
高)
侧面积=底面周长×高=c×h(c=2×π×r=d×π)表面积=侧面积+底面积×2
体积=底面积×高(V=S×h=π×r×r×h)体积=侧面积÷2×半径
10.圆锥(V:
体积S:
底面积r:
底面半径h:
高)
体积=底面积×高÷3(V=S×h÷3=π×r×r×h÷3)
奥数常用公式
1、平均数:
总数÷总份数=平均数,总数÷平均数=总份数,平均数×总份数=总数
2、和差问题:
(和+差)÷2=大数,(和—差)÷2=小数
3、和倍问题:
和÷(倍数+1)=小数,小数×倍数=大数,(和—小数=大数)
4、差倍问题:
差÷(倍数—1)=小数,小数×倍数=大数,(差—小数=大数)
5、相遇问题:
相遇路程=速度和×相遇时间,相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
6、追及问题:
追及距离=速度差×追及时间,追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及路程÷追及时间
7、流水问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度—水流速度
8、浓度问题:
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度,
溶液的重量×浓度=溶质的重量,溶质的重量÷浓度=溶液的重量
9、利润与折扣问题:
利润=售出价—成本,利润率=利润÷成本×100%
=(售出价÷成本—1)×100%,涨跌金额=本金×涨跌百分比
利息=本金×利率×时间,税后利息=本金×利率×时间×(1—20%)
10、盈亏问题:
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈—小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏—小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
11、火车过桥:
过桥时间=(车长+桥长)÷车速
火车追及:
追及时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速)
火车相遇:
相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速)
12、行船问题
定义:
行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度;船只顺水航行的速度(顺水速度)是船速和水速之和;船只逆水航行的速度(逆水速度)是船速和水速之差。
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
13、工程问题
定义:
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在已知条件中常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一件工作”等,在解题时候,常常用单位“1”表示工作总量。
数量关系:
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间关系列出算式。
①工作量=工作效率×工作时间
②工作时间=工作量÷工作效率
③工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
14、正反比例问题
1、正比例关系:
两种相关联的量,一种量变化,另一种辆也随着变化,如果这两种量中向对应的两个数的比值,即商一定,那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
2、反比例关系:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
15、按比例分配问题
比的前后项相加求出总份数,各部分占总份数的几分之几,再用总量乘以几分之几即得各部分量的值。
16、百分比问题
1、定义:
百分数又叫百分率。
是表示一个数是另一个数的百分之几的数。
百分数是一种特殊的分数。
分数常常可以通分、约分,而百分数则无需约分。
分数的分子、分母必须是自然数,百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”
2、数量关系:
①百分数=比较量÷标准量
②标准量=比较量÷百分数
17、商品利润问题
1、定义:
在生产经营中,销售价格高于进货价的叫盈利,低于进货价的叫亏本,主要包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
2、数量关系:
①利润=售价-进货价
②利润率=(售价-进货价)÷进货价×100%
③售价=进货价×(1+利润率)
④亏损=进货价-售价
⑤亏损率=(进货价-售价)÷进货价×100%
18、存款利率问题
1、定义:
把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因素有关。
利率一般有年利率和月利率两种。
年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
2、数量关系:
①年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数×100%
②利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率
③本利和=本金+利息=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)数]
19、牛吃草问题
1、“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。
这类问题的特点在于要考虑草边吃边增加(或边吃边减少)这个因素。
2、数量关系:
①草总量=原有草量+草每天增加量×天数
②草总量=原有草量-草每天减少量×天数
20、方阵问题
1、定义:
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类应用题叫做方阵问题。
2、数量关系:
①方阵每边人数与四周人数关系:
四周人数=(每边人数-1)×4
每边人数=四周人数÷4+1
②方阵总人数的求法:
实心方阵:
总人数=每边人数×每边人数
空心方阵:
总人数=(外边人数)2-(内边人数)2
内边人数=外边人数-层数×2(实际无人)
内层每边人数=内层人数÷4-1(实际无人)
③若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:
总人数=(每边人数-层数)×层数×4
3、方阵问题有实心和空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。
21、时钟问题
1、定义:
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题,如两针重合(0度)、两针垂直(15格)、两针成一线(0格或30格)、两针夹角成60度(10格)、120度(20格)等。
时钟问题可与追及问题相类比。
2、数量关系:
分针速度是时针的12倍
①钟面的一周为60格,每格6°;每个数字间隔为5格,为30°。
②分针每分钟走1格,为6°;时针每分钟走
格,为°。
22、幻方问题
1、定义:
把n×n个自然数排在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫幻方。
最简单的幻方是三阶幻方。
2、数量关系:
每行、每列、每条对角线上的各数和都相等,这个和叫做“幻和”。
①三阶幻方的幻和中间数的3倍;
②五阶幻方的幻和中间数的5倍。
23、概率和频率
1、频率:
在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值。
2、概率:
某一事件所固有的性质。
3、频率是变化的,每次试验可能不同,概率是稳定值不变。
4、在一定条件下频率可以近似代替概率。
24、小数、分数、百分数混合运算
1、定义
①真分数:
分子小于分母的分数;
②假分数:
分子大于或者等于分母的分数;
③带分数:
是假分数的另一种形式,由整数和真分数组成;
④最简比:
是最简单的整数比,前项和后项都是整数而且互质;
⑤比值:
是一个数,可以是整数、分数、小数。
2、分数四则运算
①分数加减:
a.同分母分数:
分母不变,分子相加减
b.异分母分数:
同分(找分母的最小公倍数)
c.带分数加减:
整数+/-整数,分数+/-分数
②分数乘除:
a.乘法:
分子×分子,分母×分母,能约分的先在过程中约分
b.除法:
除以一个数等于乘以它的倒数
3、分数、小数、百分数的互化
①分数化为小数:
用分子除以分母;
②小数化为分数:
小数数字不变,有几位小数分母就添几个“0”,最后化简;
③小数与百分数互换:
小数点左右移动两位;
④分数百分数互化:
通过将分母化为100转换。
4、分数四则混合运算中的技巧
①运算顺序:
先括号,再乘除,最后加减
②减变加不变,除变乘不变:
当括号前面是“-”或“÷”时,添去括号时,括号里面一定要变号。
25、小数和分数转换问题
1、小数转换为分数
①纯循环小数化为分数:
循环节是几位就用几个“9”作为分母;循环节作为分子;再化简。
②混循环小数化为分数:
分母:
前几位是“9”,位数与循环节相同;后几位是“0”,位数与不循环部分的数位相同。
分子:
不循环部分与第一个循环节连成的数减去不循环部分组成的数。
2、分数转换为小数
①分母只含有2或5的因数的最简分数,可以化为有限小数。
②分母含有2或5以外的因数的最简分数,可以化为混循环小数。
③分母只含有2和5以外的质因数(不包括2和5),可以化为纯循环小数。
26、图形相关问题
一、公式:
1、三角形面积:
S=
底×高
2、圆面积:
S=
3、圆锥体积:
V=
4、正方体、长方体有:
6个面、12条棱、8个角。
5、勾股定理:
在一个直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
27、排列组合
1、定义
①排列:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素进行排序,所有排列的个数用A(n,m)或
表示。
规定0!
=1(n!
=n(n-1)(n-2)...1,例如6!
=6x5x4x3x2x1)
②组合:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,不考虑排序。
所有组合的个数用C(n,m)或
表示。
C(n,m)=C(n,n-m)。
(n≥m)
2、基本计数原理
①加法原理:
做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
②乘法原理:
做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
28、等差数列
1、定义:
一个数列中,如果从第二项起,每一项与它前面一项的差都相等,这样的数列叫做等差数列。
相邻两项的差叫做这个等差数列的公差。
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=末项-(项数-1)×公差
末项=首项+(项数-1)×公差
和=(首项+末项)×项数÷2
2、相关公式:
①1+2+3+……+n=
②1+4+9+16+……+
=
奥数中的植树问题
1、非封闭线路上的植树问题,主要可以分为以下三种情形:
(1)如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距+1,全长=株距×(株数—1),株距=全长÷(株数—1)
(2)如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距,全长=株距×株数,株距=全长÷株数
(3)如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数—1=全长÷株距—1,全长=株距×(株数+1),株距=全长÷(株数+1)
2、封闭线路上的植树问题
株数=段数=全长÷株距,全长=株距×株数,株距=全长÷株数
奥数中的方程
1、定义:
把题目中的未知数用X代替,根据等量关系列出含有未知数的方程,通过解方程得到答案。
2、数量关系:
方程两边数量相等。
3、解方程的基本方法:
利用等式的基本性质,在方程两边同加,同减,同乘,同除来解得未知数的值。
4、解题过程可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法
①?
审:
认真审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量关系是什么。
②?
设:
把应用题中的未知数设为x。
③?
列:
根据所设的未知数和题目中的已知条件,按照等量关系列出方程。
④?
解:
求出所列方程的解。
⑤?
验:
检验方程的解是否正确,是否符合题意。
⑥?
答:
回答题目所问,也就是写出答问的话。
在列方程解应用题是,一般设未知数、列方程、解方程、答语。
必须检验。
注意:
设未知数时要在X后面写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的X值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。
奥数中的常用数据及规律
1、圆周率常取数据:
×1=3.14×5=×9=
2、常用特殊的乘积:
25×3=7525×4=10025×8=200
125×3=375125×4=500125×8=1000625×16=1000037×3=111
3、常用平方数:
112=121122=144132=169142=196152=225
162=256172=289182=324192=361202=400
252=625352=1225452=2025552=3025652=4225
4、关于常用分数与小数的互化:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
5、常用立方数
13=123=833=2743=6453=125
63=21673=34383=51293=729
基本概念
第一章数和数的运算
一概念
(一)整数
1整数的意义:
自然数和0都是整数。
2自然数:
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示。
0也是自然数。
3计数单位:
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4数位:
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5数的整除:
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。
例如:
10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有:
3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:
202、480、304,都能被2整除。
。
个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:
5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:
12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
例如:
16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。
例如:
1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和18的公约数,6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
(二)小数
1小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2小数的分类
纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
、都是纯小数。
带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如:
、都是带小数。
有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
、、都是有限小数。
无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
…………
无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。
例如:
∏
循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。
例如:
………………
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如:
……的循环节是“9”,……的循环节是“54”。
纯循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。
例如:
…………
混循环小数:
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
…………
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
例如:
……简写作……简写作。
(三)分数
1分数的意义
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2分数的分类
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写