第4讲 功能关系 能量守恒定律 讲义精品教育doc.docx

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第4讲　功能关系　能量守恒定律

见学生用书P079

微知识1功能关系

1．功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化，而且能的转化必通过做功来实现。

2．几种常见力的功与能量转化的关系

（1）重力做功：

重力势能和其他能相互转化。

（2）弹簧弹力做功：

弹性势能和其他能相互转化。

（3）滑动摩擦力做功：

机械能转化为内能。

（4）电场力做功：

电势能与其他能相互转化。

（5）安培力做功：

电能和机械能相互转化。

微知识2能量守恒定律

1．内容

能量既不会消灭，也不会创生，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。

2．应用能量守恒的两条基本思路

（1）某种形式的能减少，一定存在另一种形式的能增加，且减少量和增加量相等。

（2）某个物体的能量减少，一定存在另一个物体的能量增加，且减少量和增加量相等。

一、思维辨析（判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

）

1．做功过程一定有能量的转化。

（√）

2．力对物体做多少功，物体就有多少能量。

（×）

3．力对物体做功，物体的总能量一定增加。

（×）

4．能量在转化和转移的过程中，总量会不断减少。

（×）

5．滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化。

（√）

二、对点微练

1．（对功能关系的理解）（多选）对于功和能，下列说法正确的是（　　）

A．功和能的单位相同，它们的概念也相同

B．做功的过程就是物体能量转化的过程

C．做了多少功，就有多少能量发生了转化

D．各种不同形式的能可以互相转化，且在转化的过程中，能的总量是守恒的

答案　BCD

2．（功能关系的应用）（多选）一人用力把质量为m的物体由静止竖直向上匀加速提升h，速度增加为v，则对此过程，下列说法正确的是（　　）

A．人对物体所做的功等于物体机械能的增量

B．物体所受合外力所做的功为mv2

C．人对物体所做的功为mgh

D．人对物体所做的功为mv2

解析　由功能关系可知，人对物体所做的功等于物体机械能的增量，为mgh＋mv2，选项A正确，C、D项错误；由动能定理可知，物体所受合外力所做的功为mv2，选项B正确。

答案　AB　

3．（能的转化和守恒定律）如图所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，现在最低点C施加一竖直向下的力将绳索拉至D点，在此过程中绳索AB的重心位置将（　　）

A．逐渐升高B．逐渐降低

C．先降低后升高D．始终不变

解析　由题意知外力对绳索做正功，机械能增加，重心升高，故选A项。

答案　A　

见学生用书P080

微考点　1　功能关系的理解和应用

核|心|微|讲

力学中常见的功能关系

典|例|微|探

【例1】　质量为m的物体，在距地面h高处以g的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法正确的是（　　）

A．物体重力势能减少mgh

B．重力对物体做功mgh

C．物体的机械能减少mgh

D．物体的动能增加mgh

【解题导思】

（1）重力做功与重力势能变化具有何种关系？

答：

重力做功与重力势能的变化等值、符号相反。

（2）哪些力做功引起动能的变化？

如何求解机械能的变化？

答：

合外力的功与物体动能变化相等，除重力以外的其他力的功等于物体的机械能变化。

解析　重力做功引起重力势能的变化，WG＝mgh＝ΔEp，物体重力做功mgh，重力势能减少了mgh，A、B项错误；合外力做功引起动能的变化，W合＝h＝ΔEk，动能增加了mgh，D项错误；动能和重力势能之和等于机械能，重力势能减少了mgh，动能增加了mgh，故机械能减少了mgh，C项正确。

答案　C

力对物体做功会引起能量形式的转化，并可用做功的多少去度量能量转化的多少，所以找准某个力做功与对应能量转化的关系是解决问题的关键。

功能关系选用的原则：

（1）若只涉及动能的变化用动能定理分析。

（2）若只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能的变化关系分析。

（3）若只涉及机械能变化用除重力和弹簧弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。

（4）若只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。

题|组|微|练

1．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5kg的物块相连，如图甲所示。

弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。

以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴。

现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示。

物块运动至x＝0.4m处时速度为零。

则此时弹簧的弹性势能为（g取10m/s2）（　　）

A．3.1J　　　B．3.5J　　　C．1.8J　　　D．2.0J

解析　物块与水平面间的摩擦力为f＝μmg＝1N。

现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图象面积表示功可知F做功W＝3.5J，克服摩擦力做功Wf＝fx＝0.4J。

由功能关系可知，W－Wf＝Ep，此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1J，A项正确。

答案　A　

2．（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。

圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC＝h。

圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A。

弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则圆环（　　）

A．下滑过程中，加速度一直减小

B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为mv2

C．在C处，弹簧的弹性势能为mv2－mgh

D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度

解析　圆环向下运动的过程，在B点速度最大，说明向下先加速后减速，加速度先向下减小，后向上增大，A项错误；下滑过程和上滑过程克服摩擦做功相同，因此下滑过程Wf＋Ep＝mgh，上滑过程Wf＋mgh＝mv2＋Ep，因此克服摩擦做功Wf＝mv2，B项正确；在C处：

Ep＝mgh－Wf＝mgh－mv2，C项错误；下滑从A到B，mv＋E′p＋W′f＝mgh′，上滑从B到A，mv＋E′p＝mgh′＋W′f，得mv－mv＝2W′f，可见vB2＞vB1，D项正确。

答案　BD　

微考点　2　功能关系和能量守恒定律的综合应用

核|心|微|讲

应用能量守恒定律的一般步骤：

1．分清有多少种形式的能（如动能、势能、内能、电能等）在变化。

2．分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。

3．列恒等式：

ΔE减＝ΔE增。

典|例|微|探

【例2】　如图，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点。

一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g。

（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。

（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。

已知滑块质量m＝，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：

①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm。

②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。

【解题导思】

（1）小车固定，滑块从A→B的过程中，有哪些力对滑块做了功？

答：

只有重力做功。

（2）小车不固定，滑块从A→B的过程中，滑块重力势能的减少转化成什么形式的能？

B→C过程，系统减少的机械能转化成什么形式的能？

答：

A→B的过程，滑块的重力势能转化为滑块和小车的动能；B→C过程，系统减少的机械能转化为系统的内能。

解析　

（1）滑块滑到B点时对小车压力最大，从A到B机械能守恒mgR＝mv，

滑块在B点处，由牛顿第二定律知

N－mg＝m，

解得N＝3mg，

由牛顿第三定律知

N′＝N＝3mg。

（2）在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度的2倍。

①滑块下滑到达B点时，小车速度最大。

由机械能守恒

mgR＝Mv＋m（2vm）2，

解得vm＝。

②设滑块运动到C点时，小车速度大小为vC，由功能关系得

mgR－μmgL＝Mv＋m（2vC）2，

设滑块从B到C过程中，小车运动加速度大小为a，由牛顿第二定律，有

μmg＝Ma，

由运动学规律得

v－v＝－2as，

解得s＝L。

答案　

（1）3mg　

（2）①　②L

题|组|微|练

3.（多选）如图所示，一倾角为α的固定斜面下端固定一挡板，一劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，现将一质量为m的小物块从斜面上离弹簧上端距离为s处，由静止释放，已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ，物块下滑过程中最大动能为Ekm，则小物块从释放到运动至最低点的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．μ

B．物块刚与弹簧接触的瞬间达到最大动能

C．弹簧的最大弹性势能等于整个过程中物块减少的重力势能与摩擦力对物块做功之和

D．若将物块从离弹簧上端2s的斜面处由静止释放，则下滑过程中物块的最大动能小于2Ekm

解析　小物块从静止释放后能下滑，则有mgsinα>μmgcosα，解得μμmgcosα，物块继续向下加速，动能仍在增大，所以此瞬间动能不是最大，当物块的合力为零时动能才最大，故B项错误；根据能量转化和守恒定律知，弹簧的最大弹性势能等于整个过程中物块减少的重力势能与产生的内能之差，而内能等于物块克服摩擦力做功，可得弹簧的最大弹性势能等于整个过程中物块减少的重力势能与摩擦力对物块做功之和，C项正确；若将物块从离弹簧上端2s的斜面处由静止释放，下滑过程中物块动能最大的位置不变，弹性势能不变，设为Ep，此位置弹簧的压缩量为x。

根据功能关系可得：

将物块从离弹簧上端2s的斜面处由静止释放，下滑过程中物块的最大动能为Ekm＝mgsinα－μmgcosα－Ep，将物块从离弹簧上端2s的斜面处由静止释放，下滑过程中物块的最大动能为Ekm′＝mgsinα－μmgcosα－Ep，而2Ekm＝mgsinα－μmgcosα－2Ep＝[mgsinα－μmgcosα－Ep]＋（mgxsinα－μmgxcosα－Ep）＝E′km＋（mgxsinα－μmgxcosα－Ep），

由于在物块接触弹簧到动能最大的过程中，物块的重力势能转化为内能和物块的动能，则根据功能关系可得mgxsinα－μmgxcosα>Ep，即mgxsinα－μmgxcosα－Ep>0，所以得E′km<2Ekm，故D项正确。

答案　ACD　

4．如图所示，静止在光滑水平面上的长木板B，质量M＝2kg，长l1＝4.5m，与B等高的固定平台CD长l2＝3m，平台右侧有一竖直放置且半径R＝1m的光滑半圆轨道DEF。

质量m＝1kg的小滑块A以初速度v0＝6m/s从B的左端水平滑上B，随后A、B向右运动，长木板B与平台CD碰撞前的瞬间，小滑块A的速度大小为vA＝4m/s，此时A、B还未达到共同速度。

设长木板B与平台碰撞后立即被锁定，小滑块A可视为质点，小滑块A与平台B之间的动摩擦因数μ1＝0.2，小滑块A与平台CD之间的动摩擦因数μ2＝0.1，x＝0.5m，g＝10m/s2，求：

（1）长木板B与平台碰撞前的瞬间，B的速度大小。

（2）小滑块A最终停在离木板B左端多远处。

解析　

（1）B与平台CD碰撞时，A、B还未达到共同速度。

设B与平台碰撞前瞬间速度大小为vB，由动能定理有μ1mgx＝Mv，

解得vB＝1m/s。

（2）B与平台碰撞前A相对B发生的位移为Δx，根据能量守恒定律有

μ1mgΔx＝mv－mv－mv，

解得Δx＝4.5m，

即B与平台碰撞时，A恰好到达平台左端。

设A在半圆形轨道上能到达的最大高度为h，则由动能定理有

－mgh－μ2mgl2＝0－mv，

解得h＝0.5m

设A向左到达C点时速度为vC，

有mgh－μ2mgl2＝mv，

解得vC＝2m/s。

A过C之后在B上运动的距离为l，

有－μ1mgl＝0－mv，

解得l＝1m，即A最终停在离B木板左端3.5m处。

答案　

（1）1m/s　

（2）3.5m

见学生用书P082

与摩擦生热相关的两个物理模型

　素能培养

1．两个模型

（1）滑块－木板模型。

（2）传送带模型。

2．两种摩擦力的做功情况比较

3.求解相对滑动物体的能量问题的方法

（1）正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析。

（2）利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。

（3）公式Q＝f·l相对中l相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则l相对为总的相对路程。

　经典考题　

如图所示，AB为半径R＝0.8m的光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接。

小车质量M＝3kg，车长L＝2.06m，车上表面距地面的高度h＝0.2m，现有一质量m＝1kg的滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到B端后冲上小车。

已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了t0＝1.5s时，车被地面装置锁定（g取10m/s2）。

求：

（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小。

（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离。

（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车上表面间由于摩擦而产生的内能大小。

解析　

（1）由机械能守恒定律和牛顿第二定律得

mgR＝mv，NB－mg＝m，

则NB＝30N。

（2）设m滑上小车后经过时间t1与小车同速，共同速度大小为v

对滑块有μmg＝ma1，

v＝vB－a1t1，

对于小车有μmg＝Ma2，

v＝a2t1，

解得v＝1m/s，

t1＝1s，

因t1

故滑块与小车同速后，小车继续向左匀速行驶了0.5s，则小车右端距B端的距离为

l车＝t1＋v（t0－t1），

解得l车＝1m。

（3）Q＝μmgl相对＝μmg，

解得Q＝6J。

答案　

（1）30N　

（2）1m　（3）6J

　对法对题

1.（多选）如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v匀速运动，现将质量为m的某物块由静止释放在传送带上的左端，过一会儿物块能保持与传送带相对静止，设物块与传送带间的动摩擦因数为μ，对于这一过程，下列说法正确的是（　　）

A．摩擦力对物块做的功为0.5mv2

B．物块对传送带做功为0.5mv2

C．系统摩擦生热为0.5mv2

D．电动机多做的功为mv2

解析　对物块运用动能定理，摩擦力做的功等于物块动能的增加，即0.5mv2，故A项正确；传送带的位移是物块位移的两倍，所以物块对传送带做功的绝对值是摩擦力对物块做功的两倍，即为mv2，故B项错误；电动机多做的功就是传送带克服摩擦力做的功，也为mv2，故D项正确；系统摩擦生热等于摩擦力与相对位

移的乘积，故C项正确。

答案　ACD　

2.（多选）如图所示，质量为M、长为L的木板置于光滑的水平面上，一质量为m的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为f，用水平的恒定拉力F作用于滑块。

当滑块运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为x，滑块速度为v1，木板速度为v2，下列结论正确的是（　　）

A．上述过程中，F做功大小为mv＋Mv

B．其他条件不变的情况下，M越大，x越小

C．其他条件不变的情况下，F越大，滑块到达右端所用时间越长

D．其他条件不变的情况下，f越大，滑块与木板间产生的热量越多

解析　由功能原理可知，上述过程中，F做功大小为二者动能与产生的热量之和，选项A错误；其他条件不变的情况下，M越大，M的加速度越小，x越小，选项B正确；其他条件不变的情况下，F越大，滑块的加速度越大，滑块到达右端所用时间越短，选项C错误；其他条件不变的情况下，滑块与木板间产生的热量等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，f越大，滑块与木板间产生的热量越多，选项D正确。

答案　BD　

见学生用书P082

1．篮球运动员的定点跳投动作可分解如下：

静止在地面上的运动员先屈腿下蹲，然后突然蹬地，重心上升双脚离开地面，离地后重心继续上升，到达最高点后投出篮球。

已知某运动员的质量为m，双脚离开地面时的速度为v，从下蹲到最高点的过程中重心上升的高度为h，下列说法正确的是（　　）

A．从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功为mgh

B．从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功为零

C．从下蹲到离开地面，运动员的机械能增加了mgh＋mv2

D．从下蹲到最高点，运动员先超重后失重

解析　地面对运动员的力的作用点没有位移，故地面对运动员的力不做功，运动员的机械能来自运动员自身的化学能，选项A错误，选项B正确；从下蹲到离开地面，运动员的机械能增加了mgh，选项C错误；运动员下蹲时，重心下移，处于失重状态；突然蹬地，所受合外力向上，加速度向上，处于超重状态，双脚离开地面后，只受重力，加速度向下，处于完全失重状态，选项D错误。

答案　B　

2．滑板是现在非常流行的一种运动，如图所示，一滑板运动员以7m/s的初速度从曲面的A点下滑，运动到B点的速度仍为7m/s，若他以6m/s的初速度仍由A点下滑，则他运动到B点时的速度（　　）

A．大于6m/sB．等于6m/s

C．小于6m/sD．条件不足，无法计算

解析　当初速度为7m/s时，由功能关系知，运动员克服摩擦力做的功等于减少的重力势能。

运动员做曲线运动可看成圆周运动，当初速度变为6m/s时，所需的向心力变小，因而运动员对轨道的压力变小，由f＝μN知运动员所受的摩擦力减小，故从A到B过程中克服摩擦力做的功减少，而重力势能变化量不变，故运动员在B点的动能大于他在A点的动能，A项正确。

答案　A　

3.如图所示，质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B，在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接。

若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为（　　）

A．0B．mgRsinθ

C．2mgRsinθD．2mgR

解析　两球运动到最高点时速度相等，动能相等，则两球机械能的差值等于重力势能的差值，为ΔE＝mg·2Rsinθ＝2mgRsinθ，故C项正确。

答案　C　

4．（多选）如图所示，甲、乙两传送带，倾斜于水平地面放置，传送带上表面以同样恒定速率v向上运动。

现将一质量为m的小物体（视为质点）轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达B处时恰好达到传送带的速率v；小物体在乙传送带上到达离B竖直高度为h的C处时达到传送带的速率v。

已知B处离A处的竖直高度皆为H。

则在小物体从A到B的过程中（　　）

A．两种传送带对小物体做功相等

B．将小物体传送到B处，两种传送带消耗的电能相等

C．两种传送带与小物体之间的动摩擦因数不同

D．将小物体传送到B处，两种系统产生的热量相等

解析　对小物体，从A到B由动能定理有W－mgH＝mv2，则A项正确；小物体在匀加速过程中，由a＝，因位移x不同，则加速度不同，根据牛顿第二定律，动摩擦因数不同，则C项正确；系统产生的热量Q＝μmgx相·cosθ＝μmgcosθ·＝，因动摩擦因数不同，Q不同，则D项错误；将小物体传送到B处，传送带消耗的电能E＝W＋Q，可见E也不同，则B项错误。

答案　AC