八年级数学勾股定理教学设计 2.docx

八年级数学勾股定理教学设计 2.docx

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八年级数学勾股定理教学设计2

武威第十九中学2012-2013学年度第二学期八年级

第三单元（章）教材分析

单元分析

本章主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。

全章分为两节，第18.1节是勾股定理，第18.2节是勾股定理的逆定理。

在18.1节中，教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。

关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。

通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。

之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。

第18.2节是研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足勾股数，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。

此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念。

命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理。

勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。

二、“勾股定理”单元简介

本章主要内容是勾股定理及其逆定理。

首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。

在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。

本章教学时间约需8课时，具体安排如下：

18．1　勾股定理　　　3课时

18．2　勾股定理的逆定理　　3课时

数学活动

小结　　　　2课时

武威第十九中学

2012—2013学年度第二学期集体备课教学设计

八年级数学学科下册第三单元（章）

单元（章）

名称、课题

勾股定理

课时划分

3课时

教学课时

第1课时

总备课数

第课时

教

学

目

标

知识与能力：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

过程与方法：

经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

情感、态度与价值观：

让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣

教学重点

勾股定理的内容及证明。

教学难点

勾股定理的证明。

教法

合作探究勾股定理

学法

学生互相交流、合作探究的方法来学习勾股定理.

教学准备

多媒体课件网络资源

教学过程

教学札记

第一步：

课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

第二步：

证明新知：

方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。

S正方形＝C

S正方形＝4ab＋（a－b）

方法二；

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

化简可得。

方法三：

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠ADE=∠BEC.

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于

.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

∴

.

∴

.

勾股定理的证明方法，达300余种。

请学生利用业余时间探究

第三步：

课堂练习

1．勾股定理的具体内容是：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

第四步：

课后练习

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

五.布置作业

第69页第1，2，3，4题。

课

后

反

思

武威第十九中学

2012—2013学年度第二学期集体备课教学设计

八年级数学学科下册第三单元（章）

单元（章）

名称、课题

勾股定理

课时划分

3课时

教学课时

第2课时

总备课数

第课时

教

学

目

标

知识与能力：

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

过程与方法：

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法

情感、态度与价值观：

培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。

教学重点

勾股定理的简单计算。

教学难点

勾股定理的灵活运用

教法

探究式教学法

学法

学生互相交流、合作探究

教学准备

小黑板

教学过程

教学札记

第一步：

课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

第二步：

例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

第三步：

课堂练习

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

第四步：

课后练习

1．填空题在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

2．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

布置作业

。

p70第5,6,7,8

课

后

反

思

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八年级数学学科下册第三单元（章）

单元（章）

名称、课题

勾股定理

课时划分

3课时

教学课时

第3课时

总备课数

第课时

教

学

目

标

知识与能力：

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

过程与方法：

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

情感、态度与价值观：

培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值

教学重点

勾股定理的应用

教学难点

实际问题向数学问题的转化。

教法

探究式教学法

学法

学生互相交流、合作探究.

教学准备

小黑板

教学过程

教学札记

第一步：

复习巩固：

例：

（1）求出下列直角三角形中未知的边．

第二步：

应用提高：

例：

①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．问题

（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

图1

例：

（3）教材第76页练习1．

例：

（4）如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①球梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

例：

（1）教材第67页练习第2题．

（2）变式：

以教材第67页练习

第2题为背景，请同学们再设计

图2

其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．

（3）如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式．

变式：

教材第71页第11题，如图4．

第三步：

精选精练：

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，

∠B=60°，则江面的宽度为。

3．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。

4．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

5．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

第四步：

课后小结：

通过探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．

五.布置作业

P68第12题，p71第9.10.11.12题

课

后

反

思

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单元（章）

名称、课题

勾股定理逆定理

课时划分

3课时

教学课时

第1课时

总备课数

第课时

教

学

目

标

知识与能力：

探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题．

过程与方法：

经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，掌握情理数学意识

情感、态度与价值观：

培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值

教学重点

理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用

教学难点

理解勾股定理的逆定理的推导.

教法

探究式教学法.

学法

学生互相交流、合作探究.

教学准备

小黑板

教学过程

教学札记

一、创设情境，导入课题

【实验观察】

实验方法：

用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．

归纳结论：

勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

二、研究新知、应用举例：

例：

以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？

如三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？

例：

根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形

（1）a=7,b=24,c=25;

（2）a=

b=1,c=

例：

已知

的三边分别a,b,ca=

b=2mn,c=

（m>n,m,n是正整数），

是直角三角形吗？

说明理由。

分析：

先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。

解：

是直角三角形

例（见课本P83例2）

思路点拨：

首先应根据题意画出图形，（见课本P83图18．2-3）．这是一种象限图，依图形可以看出，“远航”号的航向已经知道，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就可以知道“海天”号的航向．

例：

如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，

E为BC上一点，且EC=

BC，求证：

AF⊥EF．

思路点拨：

要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．

三、随堂练习，巩固深化

1．课本P68“练习”1，2，

四、课堂总结，发展潜能

五.布置作业p75第1.2题

课

后

反

思

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八年级数学学科下册第三单元（章）

单元（章）

名称、课题

勾股定理逆定理

课时划分

3课时

教学课时

第2课时

总备课数

第课时

教

学

目

标

知识与能力：

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

过程与方法：

在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

情感、态度与价值观：

培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值

教学重点

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学难点

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.

教法

探究式教学法.

学法

学生互相交流、合作探究.

教学准备

小黑板

教学过程

教学札记

第一步：

课堂引入、创设情境

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

第二步：

应用举例、能力提高：

例1（P83例2）

分析：

⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：

⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

第三步：

课堂练习

1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

为什么？

3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：

甲巡逻艇的航向？

参考答案：

1．向正南或正北。

2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2；

3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°。

第四步：

课后练习

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90五.布置作业

P76第1.2.3.

课

后

反

思

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八年级数学学科下册第三单元（章）

单元（章）

名称、课题

勾股定理逆定理

课时划分

3课时

教学课时

第3课时

总备课数

第课时

教

学

目

标

知识与能力：

1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

过程与方法：

在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。

情感、态度与价值观：

培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值

教学重点

灵活应用勾股定理及逆定理解综合题目

教学难点

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.

教法

探究式教学法.

学法

学生互相交流、合作探究.

教学准备

小黑板

教学过程

教学札记

第一步：

课堂引入

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

第二步：

应用举例：

例1已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

分析：

利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2已知：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。

本题辅助线作平行线间距离无法求解。

创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。

⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

例3已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC是直角三角形。

分析：

勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。

∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD·BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

第四步：

课后练习：

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

求证：

△ABC是等腰三角形。

3．已知：

如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。

求证：

AB2=AE2+CE2。

4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=

，试判定△ABC的形状。

五