概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理.docx

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概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

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2010-2011

学年第一学期期末复习资料

概率论与数理统计期末复习重要知识点

第二章知识点：

1.离散型随机变量：

设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：

（1）两点分布（0-1分布）：

若一个随机变量X

P{X=x1}=p,P{X=x2}=1-p只有两个可能取值，且其分布为（0

则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。

两点分布的概率分布：

两点分布的期望：

（2）二项分布：

P{X=x1}=p,P{X=x2}=1-p（0

D（X）=p（1-p）

若一个随机变量X的概率分布由式

给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。

记为X~b（n,p）（或B（n,p））.

两点分布的概率分布：

二项分布的期望：

（3）泊松分布：

P{x=k}=Cnp（1-p）kkn-kkkn-k,k=0,1,...,n.P{x=k}=Cnp（1-p）,k=0,1,...,n.E（X）=np；二项分布的方差：

D（X）=np（1-p）

lk

P{X=k}=e

若一个随机变量X的概率分布为

数为l的泊松分布，记为X~P（l）-lk!

l>0,k=0,1,2,...，则称X服从参

P{X=k}=e

泊松分布的概率分布：

泊松分布的期望：

4.连续型随机变量：

-llkk!

l>0,k=0,1,2,...E（X）=l；泊松分布的方差：

D（X）=l

如果对随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数

F（x）=P{X£x}=f（x），使得对于任意实数x，有òx

-¥f（t）dt，则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，

简称为概率密度函数。

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5.常用的连续型分布：

（1）均匀分布：

ì1ï,

若连续型随机变量X的概率密度为f（x）=íb-a

ï0,î

a

，则称X在区间（a,b）上服

从均匀分布，记为X~U（a,b）

ì1,均匀分布的概率密度：

f（x）=ïíb-a

ï0,î

a+b2

a

均匀分布的期望：

（2）指数分布：

E（X）=

；均匀分布的方差：

D（X）=

（b-a）12

2

ìle-lx

f（x）=í

î0若连续型随机变量X的概率密度为

x>0l>0

，则称X服从参数为

l

的指数分布，记为X~e（l）

x>0

ìle-lx

f（x）=í

î0指数分布的概率密度：

l>0

指数分布的期望：

（3）正态分布：

E（X）=

1

l

；指数分布的方差：

D（X）=

1

l

2

f（x）=

-

（x-m）2s

2

2

-¥

若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为

m

和s

2

ms2

的正态分布，记为X~N（,）

-（x-m）2s

22

f（x）=

正态分布的概率密度：

正态分布的期望：

E（X）=m

-¥

D（X）=s

-x

2

2

；正态分布的方差：

（4）标准正态分布：

m=0,s

2

=1

j（x）=

，

2

f（x）=

x-¥

e

-

t

2

2

dt

标准正态分布表的使用：

（1）

x<0

f（x）=1-f（-x）

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X~N（0,1）

P{a

=P{a

X~N（m,s）,Y=2

（2）X-m

（3）

P{a

2Y=ms定理1：

设X~N（,）,则X-ms~N（0,1）

6.随机变量的分布函数：

设X是一个随机变量，称

分布函数的重要性质：

0£F（x）£1

P{x1

x1

F（+¥）=1,F（-¥）=0F（x）=P{X£x}为X的分布函数。

7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布

（1）由X的概率分布导出Y的概率分布步骤：

①根据X写出Y的所有可能取值；

②对Y的每一个可能取值yi确定相应的概率取值；

③常用表格的形式把Y的概率分布写出

（2）由X的概率密度函数（分布函数）求Y的概率密度函数（分布函数）的步骤：

①由X的概率密度函数

②由FY（y）fX（x）随机变量函数Y=g（X）的分布函数FY（y）求导可得Y的概率密度函数

（3）对单调函数，计算Y=g（X）的概率密度简单方法：

定理1设随机变量X具有概率密度

有fX（x）xÎ（-¥,+¥），又设y=g（x）处处可导且恒g（x）>0’

（或恒有g（x）<0’

），则Y=g（X）是一个连续型随机变量，其概率密度为

ìf[h（y）]|h’（y）|,fY（y）=íî0a

a=min（g（-¥）,g（+¥））,b=max（g（-¥）,g（+¥））

练习题：

2.4第7、13、14

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总习题第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19

第三章重要知识点：

（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似P63例2

（2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；

类似P71例3

（3）要会根据联合概率分布表求形如

P{a

（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

2.二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:

设（X,Y）为二维随机变量，F（x,y）为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f（x,y）,使对

x

y

F（x,y）=

-¥-¥任意实数（x,y），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。

（1）要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；

òò

f（s,t）dsdt

（2）要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F（x,y），以及形如率值;P64例3

P{X

（3）（4）

要会根据联合概率密度求出

x,y

的边缘密度;类似P64例4

要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：

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（1）ååijpij=1ò；

（2）ò-¥+¥+¥-¥f（x,y）dxdy=1

要会根据这些性质解类似P68第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布

二维均匀分布：

设G是平面上的有界区域，其面积为A。

若二维随机变量（X,Y）具有概率

ìAf（x,y）=íî0密度函数

5.独立性的判断：

（x,y）ÎG，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

定义：

设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F（x,y）,边缘分布函数为

意实数x,y，有FX（x），FY（y），若对任P{X£x,Y£y}=P{X£x}P{Y£y}

（1）离散型随机变量的独立性：

①由独立性的定义进行判断；

②所有可能取值（xi,yj），有P（X=xiY,=yj）=PX（=xP）Y（y=）ji，pij=pi.p.j则X与Y相互独立。

（2）连续型随机变量的独立性：

①由独立性的定义进行判断；

②联合概率密度f（x,y），边缘密度fX（x），fY（y）

"x,y有f（x,y）=fX（x）fY（y）几乎处处成立,则X与Y相互独立。

（3）注意与第四章知识的结合

E（XY）=E（X）E（Y）

D（X±Y）=D（X）+D（Y）

Cov（X,Y）=0

X与Y相互独立ÞrXY=0

E（XY）¹E（X）E（Y）

D（X±Y）¹D（X）+D（Y）

Cov（X,Y）¹0

因此rXY¹0ÞX与Y不独立。

6．相互独立的两个重要定理

定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立，即，对任意实数集A，B，有P{XÎA,YÎB}=P{XÎA}P{XÎB}

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定理2如果随机变量X与Y独立，则对任意函数

（1）要求会使用这两个定理解决计算问题

练习题：

习题2-3第3、4题习题2-4第2题

习题3.2第5，7，8题

总习题三第4，9

（1）-（4），12,13

g1（x）

，

g2（y）

相互独立。

第四、五章知识点

设总体密度函数如下，x1,x2,...xn是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

p（x;q,m）=

（1）

E（X）=

2

1

q

x-m

e

-

x-m

q

x>m,q>0

òm

+¥

x

1

q

x

2

e

-

q

dx=

x-m

ò

+¥0

t

1

q

e

-

t

q

dt+

2

ò

1

+¥0-

1

q

t

me

-

t

q

dt=q+m

+¥0

E（X）=

òm

+¥

1

q

e

-

q

dx=

ò

+¥0

（t+m）

q

2

e

q

dt=

ò

t

2

1

q

e

-

t

q

dt+

ò

+¥0

2mt

1

q

-

t

q

dt+

ò

+¥0

m

2

1

q

-

t

q

dt=2q+2mq+m

22

D（X）=E（X）-[E（X）]=q，由此可推出q=

Ù

22

m=E（X）-，

从而参数q，m的矩估计值为q=s,m=x-s

（2）似然函数为：

L（q）=（）exp{-

qq

1

n

1

n

å（x

i=1

n

i

-m）},x

（1）>m

å（x

其对数似然函数为：

lnL（q,m）=-nlnq-

i=1

i

-m）

q

由上式可以看出，lnL（q,m）是m的单调增函数，要使其最大，m的取值应该尽可能的大，

Ù

由于限制x

（1）>m，这给出的最大似然估计值为m=x

（1）将lnL（q,m）关于q求导并令其为0得到关于q的似然方程

n

n

i2

Ùi

dlnL（q,m）

dq

=-

n

å（x

+

i=1

-m）

Ù

å（x

i=1

-m）

=x-x

（1）

qq

=0，解得q=

n

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第四章重要知识点：

1.随机变量X数学期望的求法：

¥

（1）离散型E（X）=å

i=1

（2）连续型E（X）=xipi；ò+¥-¥xf（x）dx

2.随机变量函数g（X）数学期望的求法：

¥

（1）离散型E（X）=åg

i=1

（2）连续型E（X）=x（ip）i；ò+¥-¥g（x）f（x）dx

3.二维随机向量期望的求法：

¥¥

ij

（1）离散型E[g（X,Y）]=ååg（x,y

j=1i=1）pij；

（2）连续型E[g（X,Y）=]ò

4.随机变量X方差的求法：

+¥-¥ò+¥-¥g（x,y）f（x,y）dxdy

（1）简明公式D（X）=E[X-E（X）]2=E（X2）-E（X）2

¥

（2）离散型D（X）=å

i=1x[i-EX

（2）p]i

（3）连续型D（X）=ò+¥

-¥[x-E（X）]f（x）dx2

5.随机变量X协方差与相关系数的求法：

（1）简明公式Cov（X,Y）=E{[X-E（X）]}{[Y-E（Y）]}=E（XY）-E（X）E（Y）

（2）离散型Cov（X,Y）=

（3）连续型Co（vX,Y）=

（4）rXY=åi,jx[-EX（i+¥-¥y）]j-[EY]p（ij）E（Y）]f（x,y）dxdyòò-¥+¥[-xE（X）]-[y

6.数学期望、方差、协方差重要的性质：

（1）E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）

（2）设X与Y相互独立，则E（XY）=E（X）E（Y）

D（X±Y）=D（X）+D（Y）±2E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}

=D（X）+D（Y）±2Cov（X,Y）（3）

若X与Y相互独立，则D（X±Y）=D（X）+D（Y）

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（4）D（CX）=C2D（X）

（5）Cov（X1+X2,Y）=Cov（X1,Y）+Cov（X2,Y）（6）Cov（aX,bY）=abCov（X,Y）若X与Y相互独立，则Cov（X,Y）=0

（7）若（X,Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立，当且仅当rXY=07.

n维正态分布的几个重要性质：

Xi

（1）n维正态变量（X1,X2,...,Xn）的每个分量

（

i=1,2,...n）都是正态变量，反之，

若X1,X2,...,Xn都是正态变量，且相互独立，则（X1,X2,...,Xn）是n维正态变量。

（2）n维随机向量（X1,X2,...,Xn）服从n维正态分布的充分必要条件是X1,X2,...,Xn的任意线性组合均服从一维正态分布l1X1+l2X2+...+lnXn均服从一维正态分布（其中

l1,l2,...ln

不全为零）。

（3）若（X1,X2,...,Xn）服从n维正态分布，设Y1,Y2,...,Yk是Xj（j=1,2,...n）的线性函数，则（Y1,Y2,...,Yk）服从k维正态分布。

（4）设（X1,X2,...,Xn）服从n维正态分布，则“X1,X2,...,Xn相互独立”等价于“X1,X2,...,Xn两两不相关”练习题：

1.设（X,Y）的联合密度函数为f（x,y）=í解：

E（X）=

E（X）=

2

+¥

+¥

+¥-¥2

ì24（1-x）y,0

10x0

，求CovX（Y,）及rXY

3

òò

-¥+¥-¥

xf（x,y）dxdy=24ò

10

ò

x0

（1-x）xydydx=

2

òò

10

12（1-x）xdx=

4

3525

òò

-¥xf（x,y）dxdy=24ò

2

ò

（1-x）xydydx=

1

12（1-x）xdx=

D（X）=E（X）-E（X）=

2

321

-（）=5525

10

x0

2

同理

E（Y）=

òò

-¥

+¥+¥-¥

xf（x,y）dxdy=24òò

（1-x）ydydx=

2

25

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E（Y）=

2

òò

-¥

+¥+¥-¥

1

xf（x,y）dxdy=24ò

x0

10

ò

x0

（1-x）ydydx=415415

3

15

又因E（XY）=

òò

xy[24（1-x）y]dydx=

-625

=275

从而Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=

27525

23

rXY=

==

2.习题4.3第10题8.中心极限定理

（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量

n

X1,X2,...Xn,...

相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，

å

有limPn®¥

Xi-np

£x}=

ò

x-¥

-

t

2

2

dt=F（x）

（2）定理3（独立同分布的中心极限定理）设随机变量

X1,X2,...Xn,...

相互独立，服从同一分布，且

n

E（Xi）=m,D（Xi）=s

2

（i=1,2,...）,

åX

则limPn®¥

i

-nm£x}=

ò

x-¥

1-

t

2

2

dt

练习题：

习题4-411题12题总习题四24，25，26题

第五章重要知识点

确定或求证统计量所服从的分布1.三大分布

22222

（1）c分布：

：

设X1,X2,...Xn是取自总体N（0,1）的样本，称统计量c=X1+X2+...+Xn

服从自由度为n的c分布。

（2）t分布：

设X~N（0,1）,Y~c（n），且X与Y相互独立，则称t=n的t分布。

22

（3）F分布：

设X~c（m）,Y~c（n），且X与Y相互独立，则称F=

2

2

服从自由度为

X/mY/n

服从自由度

为（m,n）的F分布。

2.三大抽样分布

2

（1）设总体X~N（m,s）,X1,X2,...,Xn是取自X的一个样本，X为该样本的样本均值，

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则有X~N（m,s

2

/n），U=

X-m

~N（0,1）

（2）定理2设总体X~N（m,s2）,X1,X2,...,Xn，是取自X的一个样本，X与S2为该样本的样本均值与样本方差，则有c

2

=

n-1

s

2

S=

2

1

n

s

2

å（X

i=1

i

-X）~c（n-1），

22

X与S相互独立

2

（3）定理3设总体X~N（m,s2）,X1,X2,...,Xn，是取自X的一个样本，X与S2为该样本的样本均值与样本方差，则有c=

2

1

n

s

2

å

i=1

（Xi-m）~c（n），T=

2

2

~t（n-1）

练习题：

1.设X1,X2...X2n是来自正态总体X~N（0,1）的样本，求统计量

Y=

2

解：

因为X1+X3+...+X2n-1~N（0,ns）X+X+...+X~N（0,1）

Xi

s

~N（0,1）,i=1,2,...2n

2

由样本的独立性及c分布的定义，有（

X2

s

再由样本的独立性以及t分布的定义，有

）+（

2

X4

s

）+...+（

2

X2n

s

）~c（n）

22

X+X+...+XY=

=

~t（n）

2．总习题五14题

3.求样本函数相关的概率问题

练习题：

习题5-32总习题五16、17

第六章重要知识点：

1.矩估计的求法：

设总体X的分布函数

F（x;q1,...,qk）

中含有k个未知参数的函数

q1,...,qk

，则

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（1）求总体X的k阶矩

m1,...mk

它们一般都是

是这k个未知参数的函数，记为

（2）从

（1）中解得（3）再用

mi=gi（q1,...qk）,i=1,2,...k

qj=hj（m1,...mk）,j=1,2,...k

的估计量

mi（i=1,2,...k）

Ai

分别代替上式中的

mi

，即可得

qj（j=1,2,...k）

的估计信度，又分别称

信上限。

（2）单侧置信区间：

设q为总体分布的未知参数，

1-a

q

_

与q为q的双侧置信下限与双侧置

X1,X2,...Xn

-

-

是取自总体X的一个样本，对给定的数

，

1-a，0

满足

P{q

-

q=q（X1,X2,...Xn）

，则称

（q,+¥）

--

-

为q的置信度为1-a的单侧置信区间，称-为q

-

q

的单侧置信下限；若存在统计量

-

q=q（X1,X2,...Xn）

，满足

-

P{q

则称

（-¥,q）

为q的置信度为1-

a

的单侧置信区间，称q为q的单侧置信上限。

5.寻求置信区间的方法：

一般步骤：

（1）选取未知参数q的某个较优估计量q

（2）围绕q构造一个依赖于样本与参数q的函数（3）对给定的置信水平1-a，确定

P{U£l1}=

Ù

Ù

U=U（X1,X2,...Xn,q）

P{l1£U£l2}=1-a

l1

与

l2

a

2

，使

a

2与

通常可选取满足数表查得。

P{U³l2}=

的

l1

与

l2

，在常用分布情况下，这可由分位

-

（4）对不等式

-

l1£U£l2

作恒等变形后化为

P{q

-

则

（q,q）

-

就是q的置信度1-

a

为的双侧置信区间。

6.置信区间的公式：

（1）0-1分布参数的置信区间：

（12a（-b-

212a

（-b+2

2

a=n+（ua2）,b=-2nX-（ua）,c=n（X）

而为未知参数，

X1,X2,...Xn

（2）设总体

X~N（m,s）

2

，其中s已知，

2

m

是取自总体X

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的一个样本。

均值

m

的1-a置信区间为：

（

2

X-ma

s

n，

2

X+ma

s

2

n）

X~N（m,s），其中m，s（3）设总体

未知，

X1,X2,...Xn

是取自总体X的一个样本。

m均值

的1-a置信区间为：

（

X-ta2（n-1）

，s

2

Sn，

X+ta2（n-1）

Sn）

是取自总体X的一

（4）设总体个样本。

X~N（m,s）

2

m，其中

未知，

X1,X2,...Xn

方差s

2

c1-a的置信区间为：

（

（n-1）S

2

2

a（n-1）c

（n-1）S

21-a2

（n-1）

）

的1-a置信区间为：

练习题：

习题6-2第1，2，5，6题

s

习题6-3第3，4，5，6题

习题6-4第4题

总习题六第7，8，9，10，16，17，18，20，21题

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第1章随机事件及其概率

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第二章随机变量及其分布

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第三章二维随机变量及其分布

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第四章随机变量的数字特征

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第五章大数定律和中心极限定理

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