圆锥题.docx
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圆锥题
年级
六年级
科目
数学
主讲老师
崔小兵
【同步教育信息】
一、本周主要内容
圆柱和圆锥的体积
二、本周学习目标
1、结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式正确计算圆柱体积或圆柱形容器的容积以及解决简单的实际问题。
2、通过转化的思想，在实验的基础上使学生理解和掌握圆锥体积公式，能运用公式正确地计算圆锥的体积以及解决简单的实际问题。
3、通过圆柱、圆锥体积计算公式的推导、运用的过程，培养学生的观察、操作能力和初步的空间观念，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，并体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，获得成功的喜悦。
三、考点分析
1、圆柱所占空间的大小是圆柱的体积，圆柱的体积（容积）=底面积×高，用含有字母的式子表示是：
V=sh或者V=лr²h。
2、圆锥所占空间的大小是圆锥的体积，圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。
即V=
sh或者V=
лr²h。
【典型例题】
例1、（计算圆柱的体积）一个圆柱，底面周长9.42分米，高20厘米。
求它的体积？
分析与解：
求圆柱的体积，一般根据V=sh或者V=лr²h，题中没有给出底面积,又没有给出底面半径,所以要先求出底面半径，同时题目中单位名称不统一,要注意化单位,可以统一为分米,也可以统一为厘米。
20厘米=2分米
底面半径：
9.42÷3.14÷2=1.5（分米）
体积：
3.14×1.5²×2=14.13（立方分米）
答：
它的体积是14.13立方分米。
点评：
会使用圆柱体积计算公式是一个基本的要求。
但知道圆柱体积计算公式的推导过程也非常重要。
体积计算公式的推导过程和之前的圆柱的侧面积计算公式推导过程一样，都用了转化的数学思想。
例2、（计算圆柱的容积）一个圆柱形的粮囤，从里面量得底面周长是9.42米，高是2米，每立方米稻谷约重545千克，这个粮囤约装稻谷多少千克？
（得数保留整千克数）。
分析与解：
先通过底面周长求出底面半径，再求出底面积，进而求出容积。
再去求能装稻谷多少千克。
3.14×（9.42÷3.14÷2）²×2×545=7700.85≈7701（千克）
答：
这个粮囤约装稻谷7701千克。
点评：
虽然求容积的方法和求体积的方法相同，但并不意味着体积就是容积。
体积的数据是从外面量的，而容积的数据要从里面量。
所以一个物体的体积都比其容积要大。
例3、（计算和圆柱的体积相关的实际问题）有一个高为6.28分米的圆柱形机件，它的侧面展开正好是一个正方形，求这个机件的体积？
分析与解：
圆柱侧面展开是个正方形，说明圆柱的底面周长和高相等。
先通过底面周长求出底面积，再求体积。
3.14×（6.28÷3.14÷2）²×6.28=19.7192（立方分米）
答：
这个机件的体积是19.7192立方分米。
点评：
圆柱侧面展开之后得到一个长方形，长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。
在这儿展开之后是个正方形，就说明这个圆柱的底面周长和高相等。
例4、（综合题）一种抽水机出水管的直径是1分米，管口的水流速度是每秒2米，1分钟能抽水多少立方米？
分析与解：
每秒流出来的水的形状，可以看成是一个底面直径1分米，高2米的圆柱，这个圆柱的体积就是1秒种流出的水的体积，再乘60得出1分钟抽水的体积。
1分米=0.1米
3.14×（0.1÷2）²×2=0.0157（立方米）
0.0157×60=0.942（立方米）
答：
1分钟能抽水0.942立方米。
例5、（综合题）把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加31.4平方厘米。
这根钢材的体积是多少立方厘米？
分析与解：
长4米是圆柱的高，要求圆柱的体积还要知道底面积。
把圆柱截成两段，增加了两个底面的面积，即增加31.4平方厘米，可以求出圆柱的底面积。
4米=400厘米
31.4÷2=15.7（平方厘米）
15.7×400=6280（立方厘米）
答：
这根钢材的体积是6280立方厘米。
例6、（计算圆锥的体积）一个圆锥的底面半径是6厘米，高是4厘米，求它的体积。
分析与解：
已知圆锥的底面半径、直径、周长时，都要先求出底面积，然后根据V=
sh来计算圆锥的体积。
在计算时，千万不要忘记“除以3”或“乘
”。
×3.14×6²×4=150.72（立方厘米）
答：
圆锥的体积是150.72立方厘米。
点评：
求圆锥的体积不能忘了最后要除以3。
如果不除以3，求的就是和这个圆锥等底等高的圆柱的体积，而不是圆锥的体积。
计算时，可以先算
×6²×4，最后再乘3.14，可以使计算简便，提高正确率。
例7、（解决和圆锥体积计算相关的实际问题）一个圆锥形沙堆高1.5米，底面周长是18.84米，每立方米沙约重1.7吨，这堆沙约重多少吨？
分析与解：
要求沙堆的质量，先要求沙堆的体积。
沙堆是圆锥形，已知它的高和底面周长，根据圆锥体积的计算公式，先求圆锥的底面积。
底面半径：
18.84÷3.14÷2=3（米）
体积：
×3.14×3²×1.5=14.13（立方米）
沙堆的质量：
14.13×1.7=24.021（吨）
答：
这堆沙约重24.021吨。
例8、判断：
（1）圆锥的体积是圆柱体积的
。
…………（）
（2）如果一个圆锥的体积是一个圆柱体积的
，那么它们等底等高。
…（）
分析与解：
（1）一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的
，这一结论是将它的体积和它等底等高的圆柱进行比较得到的。
（2）等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的
；但圆锥的体积是圆柱体积的
，并不意味着它们等底等高。
例9、（综合题）一个圆锥的底面半径是3厘米，体积是75.36立方厘米，高是多少厘米？
分析与解：
要求圆锥的高，根据圆锥体积计算的公式，可以先用体积乘3，求出和它等底等高的圆柱的体积，再除以底面积，即高=体积×3÷底面积，注意不能用圆锥的体积直接除以底面积。
也可以根据圆锥体积计算的公式列方程解答。
方法1：
底面积：
3.14×3²=28.26（平方厘米）
高：
75.36×3÷28.26=8（厘米）
方法2：
设高是ⅹ厘米。
×3.14×3²×ⅹ=75.36
9.42ⅹ=75.36……先算左边的
×3.14×3²
ⅹ=8
答：
高是8厘米。
点评：
通过体积去求圆锥的高时要注意先用体积乘3，求出与这个圆锥等底等高的圆柱的体积，再除以底面积，求出高；也可以根据圆锥体积计算公式用方程解答。
例10、（综合题）把一个棱长为12厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方厘米？
削去的部分是多少立方厘米？
分析与解：
将正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。
正方体的体积：
12×12×12=1728（立方厘米）
圆锥的体积：
×3.14×（12÷2）²×12=452.16（立方厘米）
削去部分的体积：
1728–452.16=1275.84（立方厘米）
答：
圆锥的体积是452.16立方厘米，削去的部分是1275.84立方厘米。
【模拟试题】
一、圆柱体积
1、求下面各圆柱的体积。
（1）底面积0.6平方米，高0.5米
（2）底面半径是3厘米，高是5厘米。
（3）底面直径是8米，高是10米。
（4）底面周长是25.12分米，高是2分米。
2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7。
第一个圆柱的体积是24立方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？
3、在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？
4、牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。
这支牙膏可用36次。
该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。
这样，这一支牙膏只能用多少次？
5、一根圆柱形钢材，截下1.5米，量得它的横截面的直径是4厘米。
如果每立方厘米钢重7.8克，截下的这段钢材重多少千克？
（得数保留整千克数。
）
6、把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？
7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。
这个圆柱体积减少多少立方厘米？
二、圆锥体积
1、选择题。
（1）一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是（ ）
①
a立方米②3a立方米③9立方米
（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是（ ）立方米
①6立方米②3立方米③2立方米
2、判断对错。
（1）圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍………（ ）
（2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比是2 ：
1………（ ）
（3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米
………（ ）
3、填空
（1）一个圆柱体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（）立方厘米。
（2）一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方厘米。
（3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。
圆柱的体积是（）立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米。
4、求下列圆锥体的体积。
（1）底面半径4厘米，高6厘米。
（2）底面直径6分米，高8厘米。
（3）底面周长31.4厘米，高12厘米。
5、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。
这堆沙约重多少吨？
6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长12.56米，高1.2米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
7、一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。
这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？
【试题答案】
一、圆柱体积
1、求下面各圆柱的体积。
（1）底面积0.6平方米，高0.5米0.6×0.5=0.3（立方米）
（2）底面半径是3厘米，高是5厘米。
3.14×3²×5=141.3（立方厘米）
（3）底面直径是8米，高是10米。
3.14×（8÷2）²×10=502.4（立方米）
（4）底面周长是25.12分米，高是2分米。
3.14×（25.12÷3.14÷2）²×2=100.48（立方分米）
2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7。
第一个圆柱的体积是24立方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？
底面积相等的两个圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7，第一个圆柱的体积也就是是第二个圆柱的4/7。
24÷4/7–24=18（立方厘米）
答：
第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多18立方厘米。
3、在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？
3.14×（0.8÷2）²×2×60=60.288（立方米）
答：
那么1分钟流过的水有60.288立方米。
4、牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。
这支牙膏可用36次。
该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。
这样，这一支牙膏只能用多少次？
牙膏体积：
1厘米=10毫米
3.14×（5÷2）²×10×36=7065（立方毫米）
7065÷[3.14×（6÷2）²×10]=25（次）
答：
这样，这一支牙膏只能用25次。
5、一根圆柱形钢材，截下1.5米，量得它的横截面的直径是4厘米。
如果每立方厘米钢重7.8克，截下的这段钢材重多少千克？
（得数保留整千克数。
）
1.5米=150厘米
3.14×（4÷2）²×150×7.8=14695.2（克）=14.6952（千克）≈15（千克）
答：
截下的这段钢材重15千克。
6、把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？
3.14×（6÷2）²×6=169.56（立方分米）
答：
这个圆柱的体积是169.56立方分米。
7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。
这个圆柱体积减少多少立方厘米？
底面周长：
94.2÷3=31.4厘米
3.14×（31.4÷3.14÷2）²×3=235.5（立方厘米）
答：
这个圆柱体积减少235.5立方厘米。
二、圆锥体积
1、选择题。
（1）一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是（ ② ）
①
a立方米②3a立方米③9立方米
（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是（ ③ ）立方米
①6立方米②3立方米③2立方米
2、判断对错。
（1）圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍………（ ×）
（2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比是2 ：
1………（ √）
（3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米
………（ ×）
3、填空
（1）一个圆柱体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（6）立方厘米。
（2）一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（54）立方厘米。
（3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。
圆柱的体积是（108）立方厘米，圆锥的体积是（36）立方厘米。
4、求下列圆锥体的体积。
（1）底面半径4厘米，高6厘米。
×3.14×4²×6=100.48（立方厘米）
（2）底面直径6分米，高8厘米。
×3.14×（60÷2）²×8=7536（立方厘米）
（3）底面周长31.4厘米，高12厘米。
×3.14×（31.4÷3.14÷2）²×12=314（立方厘米）
5、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。
这堆沙约重多少吨？
×3.14×2²×1.5×1.8=11.304（吨）
答：
这堆沙约重11.304吨。
6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长12.56米，高1.2米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
×3.14×（12.56÷3.14÷2）²×1.2×750=3768（千克）
答：
这堆小麦重3768千克。
7、一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。
这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？
5×4×3=60（立方厘米）
60×3÷6=30（平方厘米）
答：
这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米。
一、知识之窗（每空1.5分，共27分）1、沿着圆柱的高剪，侧面展开得到一个（），它的一条边就等于圆柱的（），另一条边就等于圆柱的（）2、长方体、正方体、圆柱体的体积计算公式都可以写成（）。
3、3.6立方米=（）立方分米8050毫升=（）升4、边长是6分米的正方形纸围成一个圆柱形纸筒（接头处不计），这个纸筒的侧面积是（）平方分米，体积是（）立方分米。
5、一个盛满水的圆锥体容器高9厘米，如果将水全部倒入与它等底等高的圆柱体容器中，则水高（）厘米。
6、有一个圆柱形罐头盒，高是1分米，底面周长6.28分米，盒的侧面商标纸的面积最大是（）平方分米，做这个盒至少要用（）平方分米的铁皮，它的体积是（）立方分米。
7、一个圆锥体的体积是15立方米，高是6米，它的底面积是（）平方米。
8、把一个棱长2分米正方体的削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（）立方分米。
9、一个圆柱体和一个圆锥体的底面积和体积分别相等，已知圆柱体的高6厘米，那么圆锥体的高是（）厘米。
10、等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，这个圆柱的体积是（）立方米，圆锥的体积是（）立方米.二、请你当回裁判（每题2分，共10分）1、圆柱的体积比圆锥的体积大（）2、圆锥的体积等于圆柱体积的1/3（）3、两个圆柱的体积相等那么它们的表面积也相等。
（）4、圆柱体的高扩大2倍，体积就扩大2倍。
（）5、圆柱的底面直径是3厘米，高9.42厘米，侧面展开后是一个正方形。
（）三、快乐ABC（每题2分，共10分）1、求圆柱形木桶内盛多少升水，就是求水桶的（）A、侧面积B、表面积C、体积D、容积2、等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积相比较.（）A、正方体体积大B、长方体体积大C、圆柱体体积大D、体积一样大3、一个圆柱的侧面展开以后正好是一个正方形，那么圆柱的高等于它的底面（）。
A.半径B.直径C.周长D.面积4、压路机滚筒滚动一周能压多少路面是求滚筒的（）A、表面积B、侧面积C、体积5、一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，体积是（）立方分米。
A、50.24B、100.48C、64四、生活直通车（共53分，）1、把120升汽油倒入底面积是25平方分米的圆柱形油桶里，油面高多少分米?
2、一个圆柱形的汽油桶，底面半径是2分米，高是5分米，做这个桶至少要用多少平方分米的铁皮?
它的容积是多少升?
3、要建一个圆柱形状的水池。
底面直径4米，深1.8米。
要粉刷它的底面和侧面，粉刷面积至少是多少平方米?
4、学校大厅有4根圆柱形柱子，每根柱子的底面周长是25.12分米，高是5米。
如果每平方米需要油漆费0.5元，那么漆这4根柱子需要油漆费多少元?
5、一个圆锥形的沙堆，底面积是18平方米，高是1.5米。
如果每立方米的沙重1.6吨，这堆沙重多少吨?
6、有一个圆锥体沙堆，底面积是3.6平方米，高2米。
将这些沙铺在一个长4米，宽2米的长方体沙坑里，能铺多厚?
7、节约用水是我们每个小学生的义务，学校用的自来水管内直径为0.2分米，自来水的流速，一般为每秒5分米，如果你忘记关上水龙头，一分你将浪费多少升水?
六.你真了不起会做附加题（每题10分，共20分）1、在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径3里米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。
圆锥形铁块的高是多少厘米?
2、把一根长4米的圆柱形的钢材截成相等的两段以后，表面积增加了0.28平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，这根钢材重多少千克?
参考答案一、1、长方形高底面周长2、底面积×高3、36008.054、36365、36、6.2812.563.147、7.58、6.289、1810、248二、1、×2、×3、×4、√5、√三、1、D2、D3、C4、B5、C四、1、120÷25=8（分米）答:
油面高8分米2、L=2×2×3.14=12.56（分米）S侧=12.56×5=62.8（平方分米）S底=2×2×3.14=12.56（平方分米）S=S侧+2×S底=87.92（平方分米）V=S底×高=62.8（立方分米）答:
这个桶至少要用87.92平方分米的铁皮，容积是62.8立方分米、3、S侧=4×3.14×1.8=22.608（平方米）S底=4×3.14=12.56（平方米）S=S侧+S底=22.608+12.56=35.168（平方米）答:
粉刷至少要刷35.168平方米4、25.12平方分米=0.2512平方米S侧=0.2512×5=1.256（平方米）1.256×0.5×4=2.512（元）答:
要用2.512元。
5、V=1/3×18×1.5=9（立方米）9×1.6=14.4（吨）答:
重14.4吨6、V=3.6×2=7.2（立方米）S底=4×2=8（平方米）H=7.2÷8=0.9米答:
高0.9米7、0.1×0.1×3.14=0.0314（平方分米）V=0.0314×5=0.157（立方分米）0.157×60=9.52（平方分米）=9.42（升）答:
每分钟浪费9.42升水六、1、V=10×10×3.14×0.3=94.2（立方厘米）S底=3×3×3.14=28.26（平方厘米）H=V÷S底×3=10（厘米）答:
圆锥高10厘米2、4米=40分米V=0.28÷2×40=5.6（立方分米）5.6×7.8=43.68（千克）答:
这根钢材重43.68千克
一、选一选。
（把合适答案的序号填在括号里）
1、在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆柱体的是（ ① ），得出圆锥体的是（ ③ ）。
2、右图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向看
会看到不同的形状。
从上面看到的形状是（ ②），
从左面看到的形状是（ ④ ）。
3、一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，圆柱的高是圆锥高的（ ③）。
二、算一算。
4、求下列圆柱体的表面积。
（1）底面半径是4厘米，高是底面直径的厘米。
3.14×4×2＋2×4×3.14×（2×4）×=226.08（平方厘米）
（2）高是6分米，侧面展开是一个正方形。
3.14×6＋6×6=54.84（平方厘米）
5、看图计算（单位：
厘米）。
三、做一做。
6、请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。
（1）你选择的材料是（ ①或②）号和（④或③）号。
（2）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？
（1升水重1千克） 1×62.8=62.8（千克）
四、联系生活，解决问题。
7、如下图，做一对这样的“美味鲜蚝油”罐,需要多少铁皮？
（铁皮的接头处忽略不计）
8、红星广场有一个圆锥形玻璃罩，底面周长31.4米，高15米，这个玻璃罩的容积是多少立方米？
（玻璃厚度忽略不计）
9、某技工学校开展操作技能竞赛，要求把完全一样的圆柱形铁块平均切割成两块，且切成的零件不是圆柱体。
下图是张勇和李丽按要求切去一半后的形状，原来圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？
10、压路机的滚筒是个圆柱，它的宽是2米，滚筒横截面半径是0.6米，如果滚筒每分钟滚动5周，那么1小时可压路多少平方米？
11、牙膏出口处直径为6毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。
这支牙膏可用30次。
该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为5毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。
这样，这一支牙膏最多只能用多少次？
12、李大妈包的粽子是近似圆锥形的，底面直径5厘米，高6厘米。
如果每立方分米的糯米重1.8千克,那么包200个粽子，15千克糯米够吗?
（粽叶厚度忽略不计）
13、一张DVD光盘的外直径是120mm，厚1.2mm,下图的光盘盒装满了50张这样的光盘,这个光盘盒的容积最少是多少立方厘米?
（得数保留整数）
14、用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图），打结处正好是底面圆心，打
结用去绳长10厘米。
（1）扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？
20×4＋40×4＋10=250（厘米）
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