第五六讲 数阵图与第七讲 最不利原则.docx

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第五六讲数阵图与第七讲最不利原则

第五讲数阵图

（一）

　　在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

　　那么，到底什么是数阵呢？

我们先观察下面两个图：

　　左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

【例1】把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

【思路】中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以

　　（1+2+3+4+5）+重叠数=9+9，重叠数=（9+9）-（1+2+3+4+5）=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。

同步练习1

将1～7这七个数分别填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。

【例2】把1～5这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。

【思路】与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所

　　以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于

　　[（1+2+3+4+5）+5]÷2=10。

因此，两条直线上另两个数（非“重叠数”）的和等于10-5=5。

在剩下的四个数1，2，3，4中，只有1+4=2+3=5。

故有右上图的填法。

同步练习2

将1～9这九个数分别填入右上图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。

【例3】把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

【思路】例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。

但由例1、例2的分析知道，

　　（1+2+3+4+5）+重叠数

　　=每条直线上三数之和×2，

　　所以，每条直线上三数之和等于（15+重叠数）÷2。

　　因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。

　　若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为（15+1）÷2=8。

填法见左下图；

　　若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为（15+3）÷2=9。

填法见下中图；

　　若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为（15+5）÷2=10。

填法见右下图。

由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。

【例4】将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

【思路】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。

因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。

于是得到：

（1+2+…+7）+重叠数×2=10×3。

　　由此得出重叠数为：

　[10×3-（1+2+…+7）]÷2=1。

剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。

可得右上图的填法。

如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？

怎样填？

课外作业

　　1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于10.

2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里（其中5已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。

　　3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。

（至少找出两种本质上不同的填法）

　　4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。

第六讲数阵图

（二）

上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

【例1】将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

【思路】中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为

　　21×2-（1+2+…+8）=6。

　　在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。

每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。

　　如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有

　　2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。

　　如果两个重叠数为2与4，那么同理可得右上图的填法。

【例2】将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

【思路】本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。

所以三个重叠数之和等于

　　11×3-（1+2+…+6）=12。

　　1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。

　　如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。

容易发现，所填数不是1～6，不合题意。

　　同理，三个重叠数也不能是3，4，5。

经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法（见右上图）。

同步练习1

把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

【例3】将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

【思路】与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。

因为三个重叠数都重叠了一次，由（1+2+…+6）+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于

　　[（1+2+…+6）+重叠数之和]÷3

　　=（21+重叠数之和）÷3

　　=7+重叠数之和÷3。

　　因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。

考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。

　　与例2的方法类似，可得下图的四种填法：

每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12.

同步练习2

把1～6这六个数填入下图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。

【例4】将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

【思路】四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。

所以四个重叠数之和等于

　　18×4-（2+3+…+9）=28。

　　而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：

　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。

　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。

由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：

　　“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。

　　以上例题都是封闭型数阵图。

一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。

　　与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。

　　对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以：

　各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。

　　由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。

【例5】把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

【思路】这道题的“重叠数”很多。

有重叠2次的（中心数，记为a）；有重叠1次的（三个数，分别记为b，c，d）。

根据题意应有

　　（1+2+…+7）+a+a+b+c+d=13×3，

　　即a+a+b+c+d=11。

　　因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。

课外作业

1.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。

2.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

3.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。

第七讲最不利原则

　　在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。

下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。

【例1】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：

一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？

分析与解：

如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。

回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。

如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。

　　“最不利”的情况是什么呢？

那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。

这样摸出的9个球是“最不利”的情形。

这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。

所以回答应是最少摸出10个球。

由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。

如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。

现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。

同步练习1

1.袋子里有同样大小、质地的红、黄、绿三种颜色的小球各15个。

问：

一次最少摸出几个球，才能保证至少有3个小球颜色相同？

2.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。

问：

最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？

例2袋子里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。

其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。

现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？

分析与解：

与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。

最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。

此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。

因此所求的最小值是12。

同步练习2

袋子里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共22个。

其中红球4个、黄球5个、蓝球10个。

现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有6个同色，n的最小值是多少？

例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。

问：

在乐乐之前已就座的最少有几人？

分析与解：

将15个座位顺次编为1～15号。

如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。

根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。

因此所求的答案为5人。

同步练习3

一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。

问：

在乐乐之前已就座的最少有几人？

例4一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？

分析与解：

从最不利的情形考虑。

用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙。

同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，共要试验：

9＋8＋7＋…＋2＋1＝45（次）。

所以，最少试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。

同步练习4

一把钥匙只能开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？

例5在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？

分析与解：

一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。

最不利的情形是：

取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。

这41张牌中没有四种花色。

剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。

因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。

课时作业

1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：

一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？

2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。

问：

一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？

3.一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。

问：

在乐乐之前已就座的最少有几人？

4.一把钥匙只能开一把锁，现有12把锁和12把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？

5.口袋里有三种颜色的筷子各10根。

问：

（1）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？

（2）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？