数量关系公式.docx
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数量关系公式
数量关系常用公式总结:
1.行程问题
基础公式:
路程=速度*时间
一、相遇追及型
追及问题:
追及距离=(大速度-小速度)×追及时间
相遇问题:
相遇距离=(大速度+小速度)×相遇时间
背离问题:
背离距离=(大速度+小速度)×背离时间
二、环形运动型
反向运动:
第N次相遇路程和为N个周长,
环形周长=(大速度+小速度)×相遇时间
同向运动:
第N次相遇路程差为N个周长,
环形周长=(大速度-小速度)×相遇时间
三、流水行船型
顺流路程=(船速+水速)×顺流时间
逆流路程=(船速-水速)×逆流时间
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2
四、扶梯上下型
扶梯总长=人走的阶数×[1±(V梯÷V人)],顺行用加法,逆行用减法
解析:
设扶梯为s级,速度为v,根据公式带入
S=30×1×(1+v÷1)解得v=1
S=20×2×(1+v÷2)s=60,所以选择B。
五、队伍行进型
队头→队尾:
队伍长度=(人速+队伍速度)×时间
队尾→队头:
队伍长度=(人速-队伍速度)×时间
解析:
假设通讯员和队伍的速度分别为v和u,所求时间为t,则:
600=(v-u)×3解得v=250
600=v×(2+24÷60)u=50
600=(v+u)×tt=2,所以选择D
六、往返相遇型
左右点出发:
第N次迎面相遇,路程和=全程×(2N-1)
第N次追上相遇,路程差=全程×(2N-1)
同一点出发:
第N次迎面相遇,路程和=全程×2N
第N次追上相遇,路程差=全程×2N
解析:
a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇,实际上是两辆车第3次迎面相遇,根据公式,路程和为5个全程,即5×210=1050(公里),使用的时间为1050÷(90+120)=5(小时),所以b汽车共行驶了120×5=600(公里),选择B
七、典型行程模型
等距离平均速度=(2速度1×速度2)÷(速度1+速度2)(调和平均数公式)(速度1和速度2分别代表往﹑返的速度)
解析:
代入公式v=2×60×120÷(60+120)=80
等发车前后过车:
发车间隔T=(2t1×t2)÷(t1+t2);
V车/V人=(t2+t1)÷(t2-t1)
例:
某人沿电车线路匀速行走,每分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面开来,假设两个起点站的发车间隔相同,则这个发车间隔为多少?
解析:
依据公式,发车间隔T=(2t1×t2)÷(t1+t2)=2×12×4÷(12+4)=6(分钟)。
推导原型:
设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,每隔t2分钟就有辆公共汽车从后面超过该人,有方程组:
S=(V车+V人)×t1→V车=(S/t1+S/t2)÷2→
S=(V车-V人)×t2V人=(S/t1-S/t2)÷2
T=S/V车=2t1t2/(t1+t2)
N=V车/V人=(t2+t1)/(t2-t1)
(S表示发车间距,T为发车间隔时间,V车为车速,V人为人速,N为车速与人速的比)
不间歇多次相遇:
单岸型:
S=(3S1+S2)/2(S表示两岸的距离)
推导原型:
设第一次相遇地点距离A地S1,第二次相遇地点距离A地S2,则V甲/V乙=S1/(S-S1)=(2S-S2)/(S+S2)→
S=(3S1+S2)/2(注:
单岸指的是S1、S2都是距离同一出发地的距离)
解析:
假设AB两地相距S,第一次相遇时,甲、乙各走了80、(S-80),根据时间相同,速度和路程成正比可得,V甲/V乙=80/(S-80),第二次相遇时,甲、乙各走了(2S-60)、(S+60),同理可得,V甲/V乙=(2S-60)/(S+60),综上80/(S-80)=(2S-60)/(S+60),解得S=150。
选择B
注:
直接代入单岸型公式S=(3×80+60)/2=150。
两岸型:
S=3S1-S2
推导原型:
设第一次相遇地点距离A地S1,第二次相遇地点距离B地S2,则V甲/V乙=S1/(S-S1)=(S+S2)/(2S-S2)→
S=3S1-S2
解析:
假设AB两地相距S,第一次相遇时,甲、乙各走了6、(S-6),根据时间相同,速度和路程成正比可得,V甲/V乙=6/(S-6),第二次相遇时,甲、乙各走了(S+3)、(2S-3),同理可得,V甲/V乙=(S+3)/(2S-3),综上6/(S-6)=(S+3)/(2S-3),解得S=15。
选择D
注:
直接代入两岸型公式S=3×6-3=15。
无动力顺水漂流:
漂流所需时间=2T逆T顺÷(T逆-T顺)(其中T逆T顺分别代表船逆流和顺流所需的时间)
解析:
根据公式:
漂流所需时间=2T逆T顺÷(T逆-T顺)=2×7×5÷(7-5)=35(天),选择B
2.排列组合问题
排列:
与顺序有关,用A
组合:
与顺序无关,用C
排列公式:
Anm=n﹗/(n-m)﹗=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)(简单记忆就是从n开始,连续乘以m个数)
组合公式:
Cnm=n﹗/(n-m)﹗m﹗=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)/m×(m-1)×(m-2)×(m-3)×…×1
一、相邻问题-捆绑法
6人排成一队,ab要排在一起:
A22*A55(先排ab,再捆在一起与剩下的4人一起排队)
二、不相邻-插空法
6人排队,ab不排在一起:
A44*A52(先排除了ab之外的4人,4人排好后有5个空位,再选择其中2个排ab两人)
三、围成一圈
6人围成一圈:
A55(选定6人中其中一人标定位置,其余5人按顺序排队)
四、几对夫妻排队
4对夫妻排队:
A88(相当于8人排队)
五、夫妻要排一起
4对夫妻排队,并且夫妻要排在一起:
(A22*A22*A22*A22)*A44(先把每对夫妻排好,再将每队夫妻捆绑在一起排队)
六、夫妻坐在一起圆桌吃饭
4对夫妻坐在圆桌上吃饭,并且每队夫妻要坐在一起:
((A22*A22*A22*A22)*A33)
七、错位排列型
N个封信和N个信封,每一封信都不装在自己的信封里,可能的种数为Dn,则D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44。
八、分配插板
○将8个苹果,分给3个小朋友,每人至少一个,共有多少种分法?
答:
C72。
(8个苹果排成一排,除两头外共有7个空档,选择2个空档插入)
○将8个苹果,分给3个小朋友,每人至少2个,共有多少种分法?
答:
C42。
(8个苹果先给每个小朋友分1个,剩下5个苹果排队,除去两头外共有4个空档,选择2个空档插入)
3.牛吃草问题
核心公式:
y=(N-x)*Ty代表草量,N代表牛的数量,x代表草长的速度,T代表吃完草需要的时间
表格法解牛吃草问题
例:
一片草地(草匀速生长),240只羊可以吃6天,200只羊可以吃10天,则这片草可供190只羊吃多少天?
1905012N3N3-xT3
20060102000N1N1-xT1N1*T1
24010061440N2N2-xT2N2*T2
1404560x=右两项之商T1-T2N1*T1-N2*T2
y=(N3-x)*T3=(N1-x)*T1=(N2-x)*T2
注:
题目中有牛有羊时,可将其全部转换成牛或羊;如果草场面积有区别,如M头牛吃W亩草时,N可用M/W带入,N代表单位面积上的牛数。
4.钟表问题
基本常识:
时针每分钟走0.5°,分钟每分钟走6°;
24h内,时针和分钟重合22次,垂直44次;
钟表上每两格之间为30°
钟表问题追及公式:
T=To+(1/11)To,其中T为追及时间,To为静态时间,及假设时针不动,分针和时针达到条件要求时的虚拟时间。
例:
时针和分针在7点多少分重合?
假设时针不动,分钟需要走35分钟才能与时针重合(7点时分钟和时间间间隔35分钟的空格),所以To为35分钟,带入公式,T=35+35/11
5.余数同于问题
核心口诀:
余同取余,和同加和,差同减差,公倍数作周期。
(1)余同:
一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,则取1,表示为60n+1。
(60为4,5,6的最小公倍数,可取60的任意整倍数)
(2)和同:
一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,则取7,
表示为60n+7。
(3)差同:
一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,则取3,
表示为60n-3。
注:
n的取值范围为整数,可为负值,也可以取0。
6.容斥原理
两集合标准型核心公式:
满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数
三集合标准型核心公式:
︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱A∩C︱-
︱B∩C︱+︱A∩B∩C︱
三集合整体重复型核心公式:
B
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3AC
其中满足三个条件的元素数量分别为A、B、C,而至少满足三个条件之一的元素总量为W,满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为y。
例:
一个班级共有55个学生,暑假参加特长培训班,35人参加书法,28人参加美术,31人参加舞蹈,其中以上三种培训班都参加的有6人,则有多少人只参加一种培训班?
22
解答:
W=55,z=6,A=35,B=28,C=31,代入公式
55=x+y+6解得x=22
35+28+31=x×1+y×2+6×3y=27
7.几何问题模块
周长计算公式:
正方形周长=4a;长方形周长=2(a+b);圆周长=2πR;扇形周长=2πR×(n/360°)
面积计算公式:
正方形面积=a²;菱形面积=对角线乘积的一半;长方形面积=ab;圆面积=πR²;扇形面积=πR²×(n/360°);三角形面积=1/2ah=1/2absinC;平行四边形=ah;梯形面积=1/2(a+b)h;正方体表面积=6a²;长方体表面积=2ab+2ac+2bc;
球表面积=4πR²=πD²
体积计算公式:
正方体体积=a²;长方体体积=ab;球体积=3/4πR²;棱柱体积=sh;圆柱体积=sh=πR²h;棱锥体积=1/3sh;圆锥体积=1/3sh=1/3πR²h
勾股定理:
a²+b²=c²
几何特性:
1等比放缩
一个几何图形,其尺寸变为原来的m倍,则:
1.所有对应角度不发生改变
2.所有对应长度变为原来的m倍
3.所有对应面积变为原来的m²倍
4.所有对应体积变为原来的m³倍
2几何最值
1.平面图形中,若周长一定,越接近于圆,面积越大。
2.平面图形中,若面积一定,越接近于圆,周长越小。
3.立体图形中,若表面积一定,越接近于球,体积越大。
4.立体图形中,若体积一定,越接近于球,表面积越小。
3三角形三边关系
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
几何边端:
1植树型
1.单边线型植树公式:
棵数=总长÷间隔+1;
总长=(棵数-1)×间隔
2.单边环形植树公式:
棵数=总长÷间隔;
总长=棵数×间隔
3.单边楼间植树公式:
棵数=总长÷间隔-1;
总长=(棵数+1)×间隔
4.双边植树问题公式:
响应单边植树问题所需棵数的2倍
2方阵型(N为每边人数)
三角形方阵:
总人数=3N-3四边形方阵:
总人数=4N-4
五边形方阵:
总人数=5N-5六边形方阵:
总人数=6N-6
M排N列实心方阵:
总人数=M×N,外围人数=2M+2N-4
N排N列实心方阵:
总人数=N×N,外围人数=4N-4
规律总结:
1.无论是方阵还是长方阵,相邻两圈的人数都满足:
外圈比内圈多8人。
2.在方阵中,总人数=N²=(外圈人数÷4+1)²
8.其他一些常用公式:
1.前n个奇数之和为n²;
2.等差数列公式:
和=(首项+末项)×项数÷2=平均数(中位数)×项数;项数=(末项-首项)÷公差+1
3.等比数列公式:
an=a1×qn-1;sn=a1×(qn-1/q-1)
4.三位数的页码公式:
页码=(数字+111)÷3-1=数字÷3+36(数字代表用了多少个数字,如115,用了2个1和1个5,共3个数字)
5.四位数页码公式:
页码=(数字+1111)÷4-1
6.如果所有的年不是闰年,那么N年之后星期几相当于N天之后星期几
7.空瓶换酒型,讲M个空瓶换N瓶酒转化为(M-N)个空瓶换N个(无瓶)酒
例:
超市规定每3个空汽水瓶可换一瓶汽水,小李有11个空汽水瓶,最多可以换几瓶汽水?
解析:
3空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水,可得2空瓶=1汽水,
11÷2=5.5,所以最多可换5瓶汽水。
李委明老师懒人专供部分:
1.ABCAC-相对效率问题
例:
小王和小刘一起手工制作一种工艺品,每个工艺品由甲部件和乙部件组成,小王每天可制作150个甲部件,或者制作75个乙部件,小刘每天可制作60个甲部件,或者制作24个乙部件。
现两人一起制作工艺品,10天时间最多可制造多少件工艺品?
A.660B.675C.700D.900
解析:
先列表
甲
乙
小王
150C
75A
小刘
60B
24
将表中的数字十字相乘并比较大小即:
150×24
60×75=150×30,显然60×75>150×24,将相乘最大的两个数,把大数设为A,小数设为B,A所在同一行(左边或右边)所在的数设为C,则得公式A(B+C)/(A+C),代入可得75×210÷225=70,再乘以天数10,得出700,即为答案。
2.九宫格
以下九宫格每行、每列以及两条对角线的和相同,为w
a
b
c
d
e?
f
g
h
i
关于九宫格的结论:
①正中间那个数为和的1/3,即e=1/3×w
②d,e,f成等差数列,b,e,h,成等差数列,即2e=d+f=b+h,由此可知两对腰之和相等
3顶点处数字为远处两腰的平均数,即i=(d+b)/2
3.分数求最大公约数和最小公倍数
分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数
分数的最大公约数=分子的最大公约数/分母的最小公倍数
4.对角面切长方体,大边则大,小边则小。
(大小包括周长和面积)
蚂蚁走路,一点走到另一对点,切割长的棱则路线短,切割短的棱则长。
(这个较抽象,可取观看李委明老师的讲课视频理解)
5.容斥原理扩展
二多型:
参与两种的至多有多少
例:
一个班级有30(M)名学生,12(A)个人会跳拉丁舞,8(B)个人会跳肚皮舞,10(C)会跳芭蕾舞,问至多有多少人会跳两种舞蹈?
1.若ABC可以构成三角形,则答案为(A+B+C)/2
2.若ABC无法构成三角形,B+C3.若(A+B+C)>2M,则答案为3M-(A+B+C)
三少型:
参加三种的至少有多少
例:
一小偷藏匿于某商场,三名保安甲乙丙分别行动搜查商场的100家商铺。
已知甲检查过80家,乙检查过70家,丙检查过60家,则三人都检查过的商铺至少有多少家?
公式:
(A+B+C)-2M
同理四少型:
(A+B+C+D)-3M
(以上公式,有不足及错误之处,敬请大家指出,谢谢)