初三数学体系讲义第8讲圆的有关位置关系.docx

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初三数学体系讲义第8讲圆的有关位置关系

第八讲圆的有关位置关系

一、主要知识点回顾

1．点与圆的位置关系有三种；

如图1，⊙O的半径为r，

若A点在，则OAr，

若B点在，则OBr，

若C点在，则OCr。

2．

（1）直线与圆的位置关系：

（d是圆心到直线的距离）

当d＞r时，直线与圆；

当

时，直线与圆；

当d＜r时，直线与圆。

（2）直线是圆的切线必须具备两个条件：

直线经过圆上一点，直线与经过这点的半径

垂直。

若点A在⊙O上，且，则直线

与⊙O相切。

（3）切线的性质：

如图2，若直线

与⊙O相切于点A，则。

（4）切线长定理：

如图3，若PA、PB与⊙O相切于点A、B，则，。

3．圆与圆的位置关系：

设⊙O1和⊙O2的半径分别为R和

，

，则

（1）⊙O1与⊙O2外离

；

（2）⊙O1与⊙O2外切

；

（3）⊙O1与⊙O2相交

；

（4）⊙O1与⊙O2内切

；

（5）⊙O1与⊙O2内含

。

二、感悟与实践

例题1：

如图4，已知AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，

。

（1）求∠P的大小；

（2）若

，求PA的长。

变式练习1：

如图5，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，

已知

厘米，

厘米。

（1）求⊙O的半径；

（2）如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的

距离应是多少？

请说明理由。

例题2：

如图6，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BD⊥AB，点B是垂足，

OD∥AC，连接CD。

求证：

CD是⊙O的切线。

变式练习2：

（2010德化）如图7，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且

。

判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

例题3：

如图8，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D，∠B=30°。

求证：

（1）AD平分∠BAC；

（2）若BD=

，求BE的长。

变式练习3：

如图9，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP。

求证：

MO∥BC。

例题4：

已知：

如图10，在

中，

，点

在

上，以

为圆心，

长为半径的圆与

分别交于点

，且

。

（1）判断直线

与⊙

的位置关系，并证明你的结论；

（2）若

，求⊙O的面积。

变式练习4：

已知：

如图11，点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，

，

。

（1）求证：

AB是⊙O的切线；

（2）若

，

，求弦CD的长。

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）。

A．外离B．外切C．相交D．内切

2．如图12，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且

，

，则

的值等于

（）。

A．

B．

C．

D．

3．已知，如图13，

与

的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，

，则∠CAB等于（）。

A．50°B．45°C．40°D．35°

4．如图14，王大爷家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用

（）。

A．3m　　　　B．5m　　　　C．7m　　　　D．9m

5．如图15，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果

，那么∠AOB等于

（）。

A．60°B．90°C．120°D．150°

6．（2010兰州）正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）。

A．2B．3C．

D．

E

7．如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，过点D的切线交BA

的延长线于点E，若

，则∠C的度数为。

8．两圆半径分别是1和2，当两圆外离时，这两圆的圆心距d的取值范围是。

9．如图17，直线AB与⊙O相切于点B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连接BD，

则图中直角三角形有个。

10．如图18，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC。

若

，

则

。

（B）能力拓展

1．如图19，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm

的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）。

A．相离B．相切C．相交D．相切或相交

2．已知矩形ABCD的边

，

，以点B为圆心作圆，使A、C、D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径

的取值范围是（）。

A．

＞15B．15＜

＜20C．15＜

＜25D．20＜

＜25

3．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且

。

则O1O2的

长为。

4．如图20所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，

，点P是圆上异于B，C的

一动点，则∠BPC的度数是_________。

5．如图21，△ABC是直角三角形，

，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D为BC边的中点，连接DE。

（1）求证：

DE与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为

，

，求AE的长。

（C）趣味数学

电话、手机、计算机，朋友之间传信息；新年、新春、新景象，祝福朋友皆安康。

逢年过节，近道的走亲访友，远路的打电话问候。

随着生活的发展，除打电话拜年问好之外，用手机、计算机发短信祝福又成了时尚。

除夕夜，我的手机短信接连不断，读着远方朋友的真挚祝福，我发现这短信里也有很多数学。

 例如：

一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘子六斤桃，年年招财又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒果十斤瓜，愿你天天乐开花！

还有：

祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安，五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同心，十全十美。

四、考考你

1．如图22，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是（）。

A．内含B．内切C．相交D．外切

2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图23所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）。

A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块

3．已知圆的半径等于5厘米，直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离是（）。

A．4厘米B．5厘米C．6厘米D．7厘米

4．已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为1，那么这两个圆的位置关系是（）

A．内切B．相交C．外离D．外切

5．如图24，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且

，

，则

，⊙O的半径=。

五、课外练习

如图25，在Rt△ABC中，

，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

求证：

；

补充讲义圆的有关位置关系

【能力拓展】

1．如图1，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D

在线段AP上，连结DB，且AD＝DB。

（1）求证：

DB为⊙O的切线；

（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长。

2．如图2，直线

经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC

＝30°，点P是直线

上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q。

（1）问：

是否存在点P，使得QP=QO；（用“存在”或“不存在”填空）。

（2）若存在，满足上述条件的点有几个？

并求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请

简要说明理由。

3．如图3，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C。

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由。

【课堂小测】每小题20分，共100分。

1．两圆相切，圆心距为6，其中一圆的半径分别为2，则另一圆的半径为（）。

A．8B．4C．4或8D．5

2．如图4，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P、Q两点，P在Q点的下方，若P点的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（）。

A．（0，3）B．（0，2）C．

D．

3．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）。

A．120°B．125°C．135°D．150°

4．如图5，⊙O中，

的度数为320°，则圆周角∠MAN＝____________。

5．如图6，过圆O外一点P的两条直线分别与圆O相交于点A、B和C、D。

则当____时，PB＝PD。

（不添加字母符号和辅助线，不需证明，只需填上符合题意的一个条件）。

初三数学讲义第八讲参考答案（56期）

二、感悟与实践

例题1：

（1）60°

（2）

（点评：

解题关键是切线的性质和切线长定理，可得△PAC是等边三角形。

）

变式练习1：

解：

（1）∵直线l与半径OC垂直，∴

。

∴

。

（2）

。

所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时，平移的距离是4cm。

例题2：

（点评：

要证CD是圆的切线可转化为证OC⊥CD，而由已知有∠OBD=90°，即只要证）△OCD≌△OBD。

变式练习2：

直线CE与⊙O相切。

证明：

∵四边形ABCD是矩形∴BD∥AD，

，

又∵

∴

，

连接OE，则

，∵

∴

∴

∴直线CE与⊙O相切。

例题3：

证明：

（1）连接OD

∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC

又∵AC⊥BC∴OD∥AC，∴∠2=∠3；

∵OA=OD，∴∠1=∠3；

∴∠1=∠2；

∴AD平分∠BAC。

（2）在Rt△ODB中，∠ODB=90°，∠B=30°，BD=

∴OD=3∴

。

∵

，∴

变式练习3：

点评：

由已知可得

，即得MO∥BC。

例题4：

解：

（1）直线

与⊙

相切。

证明：

如图1，连结OD。

，

。

，

。

又

，

。

，∴直线

与⊙

相切。

（2）连

、DE

。

在

中

，

，

，即有

得

。

又

，

为等边三角形，

。

即⊙

的半径

，故⊙

的面积

。

变式练习4：

（1）证明：

如图，联结OA。

∵

，

，

∴

。

∴

是等边三角形。

∴

，

。

∴

。

∴

。

所以，AB是⊙O的切线。

（2）解：

作

于E点。

∵

，∴

。

又

，

，所以在

中，

。

在

中，∵

，∴

。

由勾股定理，可求

。

所以，

。

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．D2．B3．D4．A