11 全等三角形 教案人教版八年级上册 28.docx

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11全等三角形教案人教版八年级上册28

全等三角形

◆课前热身

1.已知图中的两个三角形全等，则∠

度数是（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）

A．7B．9C．12D．9或12

3.如图，已知

那么添加下列一个条件后，仍无法判定

的是（）

A．

　　　　　　　B．

C．

D．

4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（）

A．2对B．3对C．4对D．5对

【参考答案】

1.D

2.C分析：

等腰三角形有两种情况：

（1）2、2、5；

（2）5、5、2；

（1）不满足三角形三边关系，所以只有5、5、2；周长=12

3.C4.B

◆考点聚焦

知识点

全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定

大纲要求

1.了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念；

2.理解全等三角形的概念和性质。

掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。

3.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。

考查重点与常见题型

论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题

◆备考兵法

1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．

2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．

◆考点链接

1．全等三角形:

____________、______________的三角形叫全等三角形.

2.三角形全等的判定方法有:

_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.

3.全等三角形的性质：

全等三角形___________，____________.

4.全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.

◆典例精析

例1（2009山西太原）如图，

，

=30°，则

的度数为A．20°B．30°C．35°D．40°

【解析】本题考查全等三角形的性质，

，

∴∠ACB=∠A′CB′，

∴

=

=30°，故选B．

【答案】B

例2（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.

【分析】首先进行判断：

OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA＝∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论。

解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识。

答案：

OE⊥AB．　　　　　　　　　

证明：

在△BAC和△ABD中，

∴△BAC≌△ABD．　　

∴∠OBA＝∠OAB,

∴OA＝OB．　　　

又∵AE＝BE,∴OE⊥AB．

（注：

若开始未给出判断“OE⊥AB”，但证明过程正确，不扣分）

例3（2009年山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

，且EF交正方形外角

的平行线CF于点F，求证：

AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

，所以

．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

【分析】构造全等三角形解题

解：

（1）正确．

证明：

在

上取一点

，使

，连接

．

．

，

．

是外角平分线，

，

．

．

，

，

．

（ASA）．

．

（2）正确．

证明：

在

的延长线上取一点

．

使

，连接

．

．

．

四边形

是正方形，

．

．

．

（ASA）．

．

◆迎考精炼

一、选择题

1.（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：

①

；

②

；

③

；

④

．

其中，能使

的条件共有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

2.（2009年黑龙江牡丹江）尺规作图作

的平分线方法如下：

以

为圆心，任意长为半径画弧交

、

于

、

，再分别以点

、

为圆心，以大于

长为半径画弧，两弧交于点

，作射线

由作法得

的根据是（）

A．SASB．ASAC．AAS　　D．SSS

3.（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）

A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB

4.（2009年甘肃定西）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）

A．2B．3C．

D．

二、填空题

1.（2009年广东清远）如图，若

，且

，则

=．

2.（2009年湖南邵阳）如图，点

是菱形

的对角线

上的任意一点，连结

．请找出图中一对全等三角形为___________．

3.（2009年湖南怀化）如图，已知

，

，要使

≌

，可补充的条件是（写出一个即可）．

4.（2009年福建龙岩）如图，点B、E、F、C在同一直线上．已知∠A=∠D，∠B=∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是（写出一个即可）．

5.（2009年四川遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个.

三、解答题

1.（2009年四川宜宾）已知：

如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.

求证：

∠C=∠A.

2.（2009年四川南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，

于E，

，交AG于F．

求证：

．

3.（2009年浙江丽水）已知命题：

如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.

4.（2009年上海市）已知线段

与

相交于点

，联结

，

为

的中点，

为

的中点，联结

（如图所示）．

（1）添加条件∠A=∠D，

，求证：

AB=DC．

（2）分别将“

”记为①，“

”记为②，“

”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是命题，命题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）．

5.（2009年吉林省）如图，

，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

6.（2009年湖南省娄底市）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

（1）求证：

△ABE≌△ACE

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是

菱形？

并说明理由.

【参考答案】

一、选择题

1.C2.D3.A4.C

二、填空题

1.3002.

（或

或

）

3.

（或填

或

）

4.AB=DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF也对）

5.7

三、解答题

1.连接BD.在△ABD和△CBD中，

∵AB=CB,AD=CD，BD=BD，

∴△ABD≌△CBD.∴∠C=∠A.

2.证明：

是正方形，

．

，

．

．

又

，

．

，

．

在

与

中，

，

．

．

，

．

3.解：

是假命题.

以下任一方法均可：

①添加条件：

AC=DF.

证明：

∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.

在△ABC和△DEF中,

AB=DE，

∠A=∠FDE，

AC=DF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

②添加条件：

∠CBA=∠E.

证明：

∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.

在△ABC和△DEF中，

∠A=∠FDE，

AB=DE，

∠CBA=∠E，

∴△ABC≌△DEF（ASA）.

③添加条件：

∠C=∠F.

证明：

∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.

在△ABC和△DEF中，

∠A=∠FDE，

∠C=∠F，

AB=DE，

∴△ABC≌△DEF（AAS）

4.

（1）∵

∴OE=OF

∵

为

的中点，

为

的中点，

∴OB=OC

又∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，

△AOB≌△DOC

∴AB=DC

（2）真，假

5.解：

（1）

、

、

、

、

（写出其中的三对即可）

（2）以

为例证明．

证明：

在Rt

和Rt

中，

Rt

≌Rt

.

6.

（1）证明：

∵AB=AC

点D为BC的中点

∴∠BAE=∠CAE

AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SAS）

（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=

AE）时，四边形ABEC是菱形

理由如下：

∵AE=2AD，∴AD=DE

又点D为BC中点，∴BD=CD

∴四边形ABEC为平行四形边

∵AB=AC

∴四边形ABEC为菱形