初中数学勾股定理的应用初中教育精选.docx

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初中数学勾股定理的应用初中教育精选

初中数学勾股定理的应用

一．解答题（共30小题）

1．问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

、

、

，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　　　　　　；

（2）若△ABC三边的长分别为

、

、2

（m＞0，n＞0，且m≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为　　　　　　．

2．如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．

（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB=4，CD=6．试求AD的长；

（2）如图②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的长．

3．定义：

若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．

（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；

（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；

（3）如图，△ABC中，AB=

，BC=2，AC=1+

，求证：

△ABC是勾股三角形．

4．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时？

有DC2=AE2+BC2．

6．已知，如图，点A（a，b），B（c，d）在平面直角坐标系中的任意两点，且AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．

（1）CD=　　　　　　，|DB﹣AC|=　　　　　　；（用含a，b，c，d的代数式表示）

（2）请猜想：

A，B两点之间的距离　　　　　　；

（3）利用猜想，若A（﹣2，5），B（4，﹣4），求AB两点之间的距离．

7．在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．

（1）如图①，求DE的长（用a，b表示）；

（2）如图②，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与

（1）相同？

8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求CD的长．

9．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，D是BC中点，且DE⊥BC于D，交AB于E，求证：

BE2﹣EA2=AC2．

10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的值．

11．我们新定义一种三角形：

两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：

某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．

（1）若△ABC三边长分别是2，

和4，则此三角形　　　　　　常态三角形（填“是”或“不是”）；

（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为　　　　　　（请按从小到大排列）；

（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．

12．已知：

如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

+1，BC=

﹣1．求：

（1）Rt△ABC的面积；

（2）斜边AB的长．

13．已知：

在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=2．求：

（1）AB、BC的长；

（2）△ABC的面积．

14．已知Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b．

（1）∠C=90°，若a=5，b=12，求c．

（2）若a=3，b=5，求c．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如果D是AC上的点，且当AD=4时，∠BDC=45°，求BC的长．

16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=1.5，AB=2，连接BD．

（1）求BD的长度；

（2）若BD⊥BC，CD=6.5，求四边形ABCD的面积．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．

（1）当t=2时，CD=　　　　　　，AD=　　　　　　；

（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；

（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？

并说明理由．

18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE．求证：

BE2=AC2+AE2．

19．如图，5×5网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点A、B、C、D均在格点上，连接BD．

（1）四边形ABCD的周长是　　　　　　，面积是　　　　　　；

（2）求△BCD的BC边上的高．

20．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13

（1）求BC边上的高AD；

（2）若BC边上的中线的长为a，写出a的整数部分．

21．如图，在四边形中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5，AD=

．求：

（1）AC的长；

（2）四边形ABCD的面积．

22．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．

（1）求证：

DE⊥AB；

（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；

你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？

试一试吧．

23．已知：

如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．

24．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？

25．2015年8月5日，河南省长恒县第一中学发布了体育看台建设项目施工招标的公告，该看台的部分侧面示意图如图所示，该看台每个台阶的高度都相等，线段MN表示的是看台上方的遮阳板．已知∠ACE=30°，CD=2

m，DE=BN=1m，∠E=∠ADE=90°，MN∥CE．

（1）求CF的高度；

（2）若MN=

m，求点M到点C的距离．

26．如图所示，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=53°，∠B=37°．AB=5km，BC=4km，若每天凿0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？

27．学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为2m，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端6m，求旗杆的高度．

28．省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为60m，这辆小汽车超速了吗？

29．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子的顶端A到墙底端C的距离为2.4米，如果梯子的底端B沿CB向外平移0.8米至B1，求梯子顶端A沿墙下滑的距离AA1的长度．

30．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A1处，问梯子底部B将外移多少米？

一．解答题（共30小题）

1．（2016•南开区一模）问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

、

、

，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　

　；

（2）若△ABC三边的长分别为

、

、2

（m＞0，n＞0，且m≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为　5mn　．

【解答】解：

（1）S△ABC=3×3﹣

×1×2﹣

×2×3﹣

×1×3=

；

（2）构造△ABC如图所示，

S△ABC=3m×4n﹣

×m×4n﹣

×3m×2n﹣

×2m×2n=5mn．

故答案为：

（1）3；

（2）5mn．

2．（2016•安徽模拟）如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．

（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB=4，CD=6．试求AD的长；

（2）如图②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的长．

【解答】解：

（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，

∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，

∴AP=PE，

在Rt△ABP和Rt△EBP中，

，

∴Rt△ABP≌Rt△EBP，

∴AB=BE=4，

同理可得CE=CD=6，

∴BC=BE+CE=10，

易证四边形ABFD是矩形，

∴BF=AD，CF=6﹣4=2，

∴AD=

=4

；

（2）延长CB和PA，记交点为点Q．

∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，

∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．

∵BA⊥MN，CD⊥MN，

∴AB∥CD，

∴△QAB∽△QDC，

∴

，

∴CD=2AB=2×4=8．

3．（2016•安徽模拟）定义：

若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．

（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；

（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；

（3）如图，△ABC中，AB=

，BC=2，AC=1+

，求证：

△ABC是勾股三角形．

【解答】

（1）解：

“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：

∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，

若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，

∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；

（2）解：

由题意可得：

，

解得：

x+y=102；

（3）证明：

过B作BH⊥AC于H，如图所示：

设AH=x

Rt△ABH中，BH=

，

Rt△CBH中，（

）2+（1+

﹣x）2=4，

解得：

x=

，

∴AH=BH=

，HC=1，

∴∠A=∠ABH=45°，

∴tan∠HBC=

=

=

，

∴∠HBC=30°，

∴∠BCH=60°，∠B=75°，

∴452+602=752

∴△ABC是勾股三角形．

4．（2016•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【解答】解：

（1）由题意得：

AC=25米，BC=7米，

AB=

=24（米），

答：

这个梯子的顶端距地面有24米；

（2）由题意得：

B