完整word版二次函数中考压轴题题型汇总讲义推荐文档.docx
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完整word版二次函数中考压轴题题型汇总讲义推荐文档
二次函数压轴题
命题规律总结：
二次函数压轴题是近10年必考题型，考查题位均在第23题，分值均为11分：
其中7次是二次函数与一次函数、几何图形的综合题，3次是二次函数单独与几何图形的综合题，且涉及的图形多为三角形和特殊四边形，未涉及到圆；考查类型有：
线段问题、面积问题，等腰三角形问题，直角三角形问题，平行四边形问题，三角形相似问题和角度问题，除2017、2012、2011和2009年是两问，且第二问里有两小问，其他年份均为3问；第一小问多以待定系数法求二次函数解析式；线段问题包括线段的数量关系，线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值；面积问题包括三角形面积的关系式及最值；此类题题目多涉及数形结合和分类讨论思想。
类型一线段问题
●典例精析
◇例题1◇.如图，抛物线y=
x2－bx＋c与直线l：
y=
x－1交与A（4，2）、B（0，-1）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线l下方的抛物线上的动点，过点D作DE∥y轴交l于点E，作DF⊥l于点F，设点D的横坐标为t。
①用含t的代数式表示DE的长②求DE的最大值，DF的最大值③设RT△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求出p的最大值及此时点D的坐标。
总结：
1.用点坐标表示线段长度：
先在图中找到对应线段，分清已知点和未知点，再联系二次函数和一次函数，设出未知点坐标，使其只含有一个未知数；继而表示出线段长度，如果该线段与坐标轴平行则利用横纵坐标相加减确定，如果与坐标轴不平行的话，先转化到有边与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或者三角形相似确定。
2.一条线段的最值问题，根据前面所得的点坐标表示线段长度，通过运用配方法或运用二次函数的性质求最值，从而得到线段的最值。
3.线段数量关系问题：
根据前面所得的用点坐标表示线段长度，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程即可。
4.两条线段和的最小值问题：
解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的图形就是“将军饮马模型”。
★★★试题演练★★★
练习1.如图，抛物线y=－
x
＋bx＋c的图象过点A（4，0）、B（－4，－4），且与y轴交于点C，连接AB、BC、AC。
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标。
（3）
若点E是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点E作y轴的平行线，分别交抛物线及X轴与F、D两点，请问是否存在这样的点E，使得DE＝2DF？
若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由。
练习2.在平面直角坐标系中，抛物线y=－
x2＋bx＋c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x＋4经过A、C两点。
（1）求抛物线解析式
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P，设点P的横坐标为m。
①如图1，过点P作PD∥y轴交AC于点D，当线段PD取得最大值时，求m的值；
②如图2，过点O，P的直线y＝kx交AC于点E，若PE：
OE＝3：
8，请直接写出k的值。
●典例精析
◇例题2◇.如图，抛物线y=
x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．
◇例3◇如图，已知直线
与
轴交于点A，与
轴交于点D，抛物线
与直线交于A、E两点，与
轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使
的值最大，求出点M的坐标。
★★★试题演练★★★
练习1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D是线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式
O
y
x
A
B
C
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
练习2.（2011广东深圳）如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
练习3.如图，已知直线y=
x－3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=x2＋bx＋c的顶点是（-1，-2），且与y轴交于点C（0，-1），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥AB于点M。
（1）求抛物线解析式；
（2）求线段PM的长的最小值及此事点P的坐标；
（3）
若点F在直线y=
x－3上移动，则在抛物线的对称轴上是否存在点E，使CE+EF取得最小值？
若存在，请直接写出点E的坐标和该最小值；否则，请说明理由。
类型二面积问题
●典例精析
◇例题1◇。
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2＋bx＋c与x轴交于点A、B两点，（A在B的左侧），与y轴交与C点，直线y=-x＋3经过B、C两点。
（1）求该抛物线的解析式：
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P,使四边形PCOB的面积最大？
如果存在，求出最大面积，并指出此时P点坐标，如果不存在，请简要说明理由；
（3）
若点E是抛物线对称轴上的一动点，把OE绕点E旋转90°，点O的对应顶点G，若点G恰好落在抛物线上，则称这样的点E为“好点”，请直接写出所有好点的坐标。
总结：
1.与图形面积最值有关的
①首先可以利用动点的横坐标（设为t）表示该动点的纵坐标，②求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的三角形或四边形面积最值时，以该边为底边，用含t的代数式表示出来，结合图形可用含t的代数式表示出该边上所对应的高；③求三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形图形面积时，先采用割补法把它转变易于求出面积的图形，④用含有未知数的代数式表示出图形面积；⑤利用二次函数的性质求出最大值或者最小值。
2.与图形面积数量关系有关的
对于图形的运动产生的相等关系问题，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤：
①画出符合条件的图形②确定存在的情况，然后分别求解，一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形面积③过动点作有关三角形的高或者平行与y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段的长度或者面积大小的代数式，列方程求解。
★★★试题演练★★★
练习1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在
（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？
若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
A
x
y
B
O
（4）如果点P是
（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？
若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
◇例题2◇.如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
x
C
O
y
A
B
D
1
1
图2
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝
S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
练习2.如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？
并求出最大面积．
练习3．如图，已知：
直线
交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线
上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在
（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？
如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
练习4.如图，在平面坐标系中，抛物线y=x2＋bx＋c交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，-3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB与点E，作PD⊥AB于点D。
①当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标；②连接AP以AP为边在其右侧作正方形APMN，随点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，则当顶点M或者N恰好落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点P坐标。
练习5.如图，已知抛物线y=ax2＋bx（a≠0）过点A（
，-3）和点B（3
，0），过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出P点坐标；
（3）
抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=
S△AOQ若存在，求出Q点坐标；若不存在说明理由。
练习6.（2012河南23题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=
x＋1与抛物线y=ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3，点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D。
（1）求a，b及sin∠ACP的值；
（2）
设点P的横坐标为m，①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在合适的m值，使这两个三角形的面积之比为9：
10？
若存在，请直接写出m的值，若不存在请说明理由。
类型三等腰三角形的判定类
●典例精析
◇例题1◇.如图，已知抛物线
（a≠0）与
轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点Q使得△ACQ为等腰三角形？
若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与
轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？
若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
方法总结:
探究等腰三角形存在性的解题方法一般为:
（1）用点坐标表示三角形三边长的平方；
（2）根据等腰三角形的性质,分别令三边长中两两相等,得到三组方程；
（3）分别解这三个方程,若方程有解,则这个解即为所求,若方程无解,则不存在这样的三角形。
此类问题也可以利用数形结合的方法，先找点，再计算：
等腰三角形利用两圆一线找交点，即分已知边为腰时，作圆找点，已知边为底时作线段垂直平分线找点。
★★★试题演练★★★
练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
练习2.如图，抛物线
经过
的三个顶点，已知
轴，点
在
轴上，点C在
轴上，且AC=BC．
（1）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（2）探究：
若点
是抛物线对称轴上且在
轴下方的动点，是否存在
是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点
坐标；不存在，请说明理由．
A
C
B
y
x
0
1
1
类型四直角三角形的判定类
●典例精析
◇例题1◇（2018洛阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝-
x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C；抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝
对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点B。
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PM⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ最大值，并求出此时△APC的面积。
（3）在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D，请直接写出D点的坐标。
★★★试题演练★★★
练习1.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．
练习2.如图，抛物线y=-x2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点。
（1）求抛物线解析式
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D。
若OD=m，△PCD的面积为S，试判断S是否有最大值或最小值？
（3）
在线段MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？
如果存在请直接写出点P坐标，如果不存在，请说明理由。
练习3.如图，在平面直角坐标系中，△ACB为等腰直角三角形，
∠ACB=90°，抛物线y=-x2＋bx＋c经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为（1，0），（-4，0），抛物线的顶点为点D。
（1）求抛物线解析式；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），过点E作x轴垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求E点坐标。
（3）
在
（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PEF是以EF为直角边的直角三角形？
若存在，求出所有点P的坐标，否则说明理由。
练习5.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0），抛物线y=-x2＋bx＋c经过A，B两点
（1）求抛物线解析式
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=
DE。
①求点P的坐标②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？
若存在，求出符合条件的所有点M坐标；若不存在，请说明理由。
练习6.如图，已知抛物线y=ax2+bx经过点A（2，4），B（4，0）。
（1）求抛物线的解析式
（2）点P是直线y=x上方的抛物线上一点，点E是直线y=x上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线y=x于点F，当△ODF与△PEF全等时，求点P的坐标。
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使△ABC是等腰三角形？
若存在，请直接写出点C的坐标；否则，请说明理由。
.
类型五平行四边形的判定类
●典例精析
◇例题1◇如图，抛物线y=ax2＋bx－3过A（1，0）、B（-3，0），直线AD交抛物线与点D，点D的横坐标为－2，点P（m，n）是线段AD上的动点。
（1）求直线AD及抛物线解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）
在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、O、R为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，说明理由。
★★★试题演练★★★
1.如图，抛物线y=-x2＋6x－5与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C。
点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交直线BC于点E。
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）连接CP，当CP平分∠OCB时，求点P坐标；
（3）平面坐标内是否存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
2.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交于x轴于A（-2，0），B（1，0）两点。
（1）求抛物的解析式；
（2）如图
（1），点M为线段AB上一点（不与点A点B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P，过点P作PC∥AB交抛物线于点C，过点C作CD⊥x轴于D，若点P在点C的左边，则当矩形PCDM的周长最大时，求点M的坐标；
（3）如图
（2），在
（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC，抛物线上一点E的横坐标为n，过点E作EF∥PM交直线AC于点F，当以P，M，E，F四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出n的值。
3.如图，直线y=-
x＋3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2＋
x＋c经过B、C两点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；
（3）在
（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
4.如图，抛物线y=
x2＋bx＋c经过点B（3，0），C（0，-2），直线l：
y=-
x-
交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）。
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l与点M，PN∥y轴交l于点N，求PM＋PN的最大值；
（3）
设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？
若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由。
类型六相似三角形的分类讨论类
●典例精析
◇例题1◇如图①，已知抛物线y=-x2＋bx＋c交于y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP，设点P的横坐标为m。
（1）求抛物线解析式和点C坐标。
（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；
（3）
如图②，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△AQP沿AP对折，点Q的对应点为点Q’，请直接写出当点Q’落在坐标轴上时点P的坐标。
★★★试题演练★★★
练习1.在平面坐标系xOy中,抛物线y＝-
x2＋bx＋c经过点A（-2,0）,B（8,0）
（1）请求出抛物线解析式;
（2）点C是抛物线上与y轴的交点,连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PD⊥BC,垂足是点D.①是否存在点P，使线段PD的长度最长，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标。
练习2.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（-1，0）、
B（3，0）、C（0，2），作直线BC。
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；
（3）条件同
（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标。
类型七角度问题类
●典例精析
◇例题1◇如图，直线y=-3x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2＋bx＋c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）。
若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C、F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m。
（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式
（2）当m为何值时，△MBA面积S取得最小值和最大值？
（3）
求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标。
★★★试题演练★★★
练习1.如图，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2＋bx＋c上，
（1）求抛物线解析式
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为1；
（3）
在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q使得∠BCQ＝∠BAC？
若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由。
练习2.如图，直线y=-x-4与坐标轴交于A，C两点，经过A，C两点的抛物线与x轴交于点B（2，0），D为抛物线的顶点，过点D作DE⊥x轴交直线AC于点E。
（1）求抛物线的解析式
（2）点P为抛物线对称轴上一点，若△APE为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）
点Q是y轴上一点，是否存在点Q，使得∠OQB+∠OCB=∠BAC，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
练习3如图，二次函数y＝-
x2＋bx＋c的图象经过点A（4，0），B（-4，-4），且与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线，分别交直线AB及x轴于点H，E。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当点P在线段AB上方的抛物线上运动时，试问：
是否存在这样的点P，使PH=2PE？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）
直线AB与y轴交于点D，当∠BAC＝2∠PDH时，请直接写出点P的坐标。
类型八点、线运动类
●典例精析
◇例题1◇
★★★试题演练★★★
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