四年级下册数学试题第二讲 幻方和数阵图 全国通用含答案.docx
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四年级下册数学试题第二讲幻方和数阵图全国通用含答案
第二讲幻方和数阵图
2.1幻方
[同步巩固演练]
1、用8—16这9个数排成一个三阶幻方
2、用3—11这9个数补全图中的幻方，并求出幻和。
4
8
5
第2题
3、在图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一个横行、竖列和对角线上的三个数之和都等于30。
9
第3题
4、在图（a）（b）的空格中填入不大于15且互不相同的数（其中已填好一个数），使每一横行，每一竖列和对角线上的三个数之和都等于30。
8
14
（a）（b）
第4题
5、将5—20这16个数排成一个四阶幻方。
6、将5—29这25个数排成一个五阶幻方。
7、将7—42这36个数排成一个六阶幻方。
[能力拓展平方]
1、在图中的方格中填入不相同的数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，问图中左上角的数是几？
？
19
13
第1题
2、从1—13这十三个数中选出12个数填到图的方格中，使每一横行四个数之和相等，每一竖列三数之和也相等。
3、在图中每个方格内填一个数，使得每行、每列及每条对角线上的四个方格中的数都是1、3、5、7，那么带“☆”号的两个方格中的数之和等于几？
1
3
5
7
7
1
☆
☆
第2题第3题
4、在3×3的方阵图中，每格中填入一个不同的自然数，使得每一行、每一列及对角线上的三个数的乘积都相等。
5、将八个数填入图的空格中，使这八个数的总和等于12，如果总和为13、14、15呢？
6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数，分别填入图的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。
第5题第6题
2.2数阵图
[同步巩固演练]
1、把1—7这七个数填入图中的○中，使每条直线上三个数的和都等于14。
第1题第2题
2、将1—9这九个数填入图中的○中，使每条边上四个数的和都等于17。
3、将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16。
第3题
4，将1—8填在图中的○中，使每条线上的三个数的和都相等，并求出这个和的取值范围。
○
○○
○○
○
○○
第4题
5、将1—8填在图中的○中，使大圆上、小圆上、横线上、竖线上四个数的和都相等，而且在大圆上的四个数中最大的数尽可能小。
第5题
6、把1—7七个自然数分别填在图中的○内，使得四个三角形的三个顶点数之和等于11，则a填。
○○
○○
第6题
7、把1—9各数填入图中“七、一”9个空格内，使第一横行、竖列的数字的和是13。
第7题
8、将1—8个数填入图中的八个方格内，使上面四格，下面四格，左边四格，右边四格，对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是18。
第8题
[能力拓展平台]
1、将1，2，3，4，8，12这六个数分别填入图中的○内，使每条线上的三个数的积相等。
第1题
2、右图是一部古怪的电话，中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形和四个正方形，若想打电话，必须首先将1~12这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26，假如你要打电话，那么你将怎样填数？
第2题
3、请在下图的空格内填入1~46这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之和都等于93，应怎样填？
第3题
4、将1~9九个数分别填入图中○内，使外三角形边上○内数字之和等于里面三角形边上○内数字之和。
第4题
5、在下左图中，将1~9这九个数，填入圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等。
第5题
6、（全国奥赛预赛题，1992）把1~10这十个自然数填入图中的10个方格中，要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等，那么，这个和的最小值是几？
第6题
7、将1~8填入图中，使每条线段两端的两个数的差不为1。
第7题
8、（全国奥赛决赛题，1992）在图中的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？
第8题
[本讲综合训练]
1、把20以内的质数分别填入右图中的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等。
第1题
2、10月1日是国庆节，图是“10.1”两个数，请把1~18这18个数填入图中的18个空格内，要使每一横划与竖划上所填的数的和都相等。
第2题
3、将1~10这十个数填入图中各○内，使得三个正方形的四个顶点上的数之和等于21。
第3题
4、将1~8分别填入○内，使图中用箭头连接起来的4个数之和都等于18。
第4题
5、请在下图中圆圈内填入1~9这九个数，其中6，8已填好，要求A、B、C、D四个小三角形边上各数字之和全都相等。
第5题
6、将1~10这十个数填入如上图的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？
第6题
7、（第四届华杯赛复赛试题）在图的小圆圈内，分别填入1~8这八个数字，使得图中用线段连接的两个圆圈内所填的数字之差（大数减小数）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字。
第7题
8、（第一届华杯赛决赛试题）在图的六个圆圈内，分别填入六个质数（可以相同）它们的和都是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等，问这个质数的乘积是几？
第8题
9、把1~9这9个数，填入图11中的九个○内，使每条线段上三个数的和相等，两个四边形四个顶点上数的和也相等。
第9题
10、把1~8这8个数，填入图12中的八个○内，使每条线段上的四个数的和，与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。
第10题
11、把1~8这八个数字分别填入下图中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法。
第11题
12、下图中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的数，使交点上的数恰好等于四个方格内的数的和，应怎样填？
第12题
13、图中共七个不同的三角形，把1到9九个数分别填到图中九个黑点旁，使每个三角形三个顶点旁的数字之和都相等。
第13题
14、把1到8这八个数填入图的正方体的八个顶点的圆圈里，使每个面上的四个圆圈里的四个数之和都等于18。
第14题
15、把1~10的十个数填入图中的十个○内，使每个正方形四个顶点上各数的和都是24。
第15题
16、将1~9这九个数字填入图中的○内，使每个三角形（三个）和每条直线（三条）上的3个数字之和都相等（写出一个答案）。
第16题
17、如图，正六边形六条边上的六个○中分别填1~6六个自然数，再在六边形三条对角线上的六个○中也分别填入1~6六个自然数，问能否找到一种填法，使得图中每个三角形三条边上的三个数字之和都相等？
为什么
第17题
18、大正方形的4个角上已填入4个数，4个数之和是264，奇妙的是，把这个图倒过来看，和仍然是264。
请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填入四个数，使每条对角线上的4个数之和正看和倒看都是264，而且小正方形角上的4个数之和正看和倒看也都是264。
第18题
19．用1-8这八个数分别填在下图的○〇内，使图中4条线上的三个数相加的和相等，而且大正方形顶点四个数的和是小正方形顶点四个数的和的2倍。
第19题
20．（浙江省竞赛题，2003）将1，2，3，...12这12个自然数分别填入下图中的12个小方格中（每个数字只填一次），使得每条边上的四个数的和相等，那么这和最大是多少？
21．（江苏省吴江市竞赛题，2002）在下图的方格中，分别填上数，使每行每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么x=（）。
（第20题）（第21题）
22．（江苏省吴江市竞赛题，2002）下面球体有三个圆周，在六个〇里分别填上1，2，3，4，5，6使得每个圆周上相加的和都是14。
第22题
23．（第二届“鲁外杯”竞赛试题，2003）下图中有9个方格，每个方格中填入一个汉字，9个不同的汉字代表9个连续自然数，其中“外”代表19，“学”代表13，如果每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，那么“欢迎”两个汉字所代表的数字之和是（）。
欢
迎
你
到
鲁
外
来
学
习
第二讲幻方和数阵图
2.1幻方
[同步巩固演练]
7
12
11
14
10
6
9
8
13
1、2、3、
9
16
11
14
12
10
13
8
15
4
9
8
11
7
3
6
5
10
13
5
12
9
10
11
8
15
7
11
5
14
13
10
7
6
15
9
4、
5、6、
5
19
18
8
16
10
11
13
12
14
15
9
17
7
6
20
21
28
5
12
19
27
9
11
18
20
8
10
17
24
26
14
16
23
25
7
15
22
29
6
13
7、
7
41
10
39
38
12
18
14
33
34
17
31
30
23
21
22
26
25
19
29
27
28
20
24
36
32
16
15
35
13
37
8
40
9
11
42
[能力拓展平台]
1、如图，设空格内填入a、b、c、d、e，则（b+d+19）+（d+13+e）
a
b
c
19
d
13
e
=（a+b+d）+（a+c+e），所以2a=13+19，a=（13+19）÷2=16。
9
5
8
6
1
4
10
13
11
12
3
2
2、如图所示。
3、5+7=12，排法如图，所以两个带“☆”的空格内数之和为12。
1
3
5
7
7
5
3
1
3
1
7
5
5
7
1
3
4、如图所示
100000
100000
10
1
10000
100000000
10000000
100
1000
5、如图所示
1
2
3
4
1.1
0.6
0.2
0.1
1
2
3
4
1.1
1.3
0.2
0.4
（a）（b）
1
2
3
4
1.1
1.2
1.3
1.4
1
2
3
4
1.1
1.2
1.3
0.4
（c）（d）
1
9
2
3
8
4
5
7
6
6、如图所示
2.2数阵图
[同步巩固演练]
1、这道题先求出中间一个数，即[14×3-（1+2+3+4+5+6+7）]÷2=7，这样每条线上另外两个数和为7，如图所示。
2、先求出三个角上三个数17×3-（1+2+…+9）=6，这样三个角上的数分别为1、2、3。
如图：
3、中间两数和为16×2-（1+2+3+4+5+6）=11，所以是5和6，填法如图：
4、设角上的数为a，b，c，d，则（1+2+…+8）+a+b+c+d=36+a+b+c+d被4整除，所以a+b+c+d最小为12，最大为24，这样每边三个数的和最小为（36+12）÷4=12，最大为（36+24）÷4=15。
5、如图所示
6、6，只有左右两下角的数A、B属于一个三角形，其余均属于两个三角形，故四个三角形的所有顶点数之和为：
4×11=（1+2+…+7）×2-A-B，A+B=12，A、B只能是5和7，如图所示：
7、“一”字形中两个方框中的数字和13，它有填4与9、5与8、6与7三种情况，先把5与8填入“一”字形，其余7个数是1、2、3、4、6、7、9，又“七”字形下面，两个方框中数字之和是13，它还有填6与7、4与9两种填法，如果将6与7填入这两个方框内，则还余下1、2、3、4、9这5个数，而要使“七”字形横线上的三个方框里的数字之和是13，只能填1、3、9，同样要使竖线上的4数之和是13，1只能填在中间的方格中，因此，得出如图的填法。
4
3
1
9
2
6
7
5
8
经试填，除改变右图的数左右和上下位置得出几种不同的填法外“一”字形中填4与9，6与7这两组中的任一组，都使得本题无解。
8
3
1
6
4
7
5
2
A
D
B
C
G
E
H
F
8、用A~H八个字母表示图中八格中的数，根据题中要求：
（A+B）+（C+D）=（A+B）+（H+G）=18，由上式可知：
C+D=H+G=9，同理可得A+B=C+D=H+G=E+F=9，因此把1~8分成如下四组：
1和8，2和7，3和6，4和5，再考虑内、外四格，内四格的数，是由上述四组中每组的一个数组成的，可分为1、4、6、7组和2、3、5、8组。
[能力拓展平台]
1、如图所示
2、如图所示（答案不唯一）
3、如图所示（答案不唯一）
4、如图所示
5、如图所示
6、2+3+4+5+…+10=54，∵54是3的倍数，∴每两个2×2正方形的公共部分的和为3的倍数，最小为6。
所求的和的最小值是（56+6）÷3=20
7、如图所示
8、如图所示。
a=
=15，d=2b-15，c=2b-17，
∵2c-d=13
∴2（2b-17）-（2b-15）=13
2b-19=13
b=16
x=16×J2-13
=19
[本讲综合训练]
1、设起点数为a，终点数为b，每条路上4个数的和为s，则：
3s=2a+2b+2+3+5+7+11+13+17+19
s=
s最小为29，此时a=2，b=3。
S最大=25+
=17，此时a=19，b=13，但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17＞15，17无处填，所以只有一解，如图：
2、如图a设四个顶上的数分别为a、b、c、d，每一笔画的和为k，则：
6k=（1+2+……+18）+（a+b+c+d）
6k=171+a+b+c+d
得k=（171+a+b+c+d）÷6①
a+b+c+d=6k-171②
当a+b+c+d取最小值10时，由①式将k=30.16.
所以k的最小值为31,当a+b+c+d取最大值66时,k=39.5,所以k的最大值为39.
试验求解:
将k=34时,a+b+c+d=6×34-171=33，因为6+8+9+10=33，以试验可知，当a=6，b=8，c=9，d=10时，可得解如图（b）。
a
d
b
c
3
5
11
15
6
18
10
16
13
4
2
8
17
9
1
7
12
14
（a）（b）
3、（1+2+……+10）+a+b=3×21，55+a+b=63，a+b=8，可取a=1，b=7，（答案不唯一）填法如图：
4、（1+2+……+8）+2（a+b）=3×18，a+b=9，取a=1，b=8，填法如图（答案不唯一）
5、填法如图：
6、
7、填法如图所示：
8、900，因为20=（2+3+5）×2，所以这6个数分别是2、3、5、2、3、5，积是2×2×3×3×5×5=900。
9、设图中心数为a，每条线段上三个○内数的和为k，则4k=（1+2+3+……+9）+3a，即4k=45+3a，所以k=（45+3a）÷4，由于k为整数，所以a的值为1，5，9，当a=9时，可保k=18，填法如图：
10、每个四边形四个顶点上○内数的和为：
（1+2+3+……+8）÷2=36÷2=18，每条线段上四个○的和应为18，因为18是偶数，所以每个四边形四个顶点○内的数奇、偶各占二个，每条线段上四○的数奇、偶也各占二个，而18÷2=9，但1+8=9，2+7=9，3+6=9，4+5=9，填法如图：
11、填法如图（答案不唯一）
12、填法如图（答案不唯一）
13、填法如图：
14、填法如图：
15、图中A、B各重复使用两次，所以1+2+3+……+10+（A+B）=24×3，可知A+B=17，A、B圆内可填7和10或8和9，下面为其中一种填法。
16、6k=45×2，k=15。
1~9中三个数字之和等于15且有数字1的只有1+5+9=1+6+8=15，所以与1在同一个三角形和同一条直线上的只能分别是5，9和6，8。
当1，5，9在同一个三角形上，1，6，8在同一直线上时，有下图的解法。
17、不能。
假设有一种填法，可以使得每个三角形上的三个数字之和都相等，不妨假设都等于s，则六个三角形各边上的数之和为6s，是偶数，另一方面，在求六个三角形各边上的数字和时，六边形六条边上的数字被加了两遍，所以和为（1++2+4+5+6）×（1+2）=21×3=63。
63是奇数，与63是偶数矛盾，这个矛盾说明假设存在这种填法是错误的，即不存在这种填法。
18、由于可以倒过来看的数字只有1、6、8、9四个，因此只能在这四个数字组成的两位数19、18、16、61、68、69、81、86、89、91、96、98中挑选，填法如图：
19、因为大正方形顶点四个数之和是小正方形顶点四个数之和的2倍，所以小正方形顶点四个数之和为（1+2+3+……+8）÷（1+2）=12，大正方形顶点四个数之和为12×2=24，每条直线上的三个数之和为：
（24+12×2）÷4=12。
考虑小正方形上的四个数，在1~8中，四数之和等于12的只有12=1+2+3+6=1+2+4+5，若小正方形顶点的四个数是1，2，4，5，则其中必有两个数与8在一条直线上，但这四个数中任意两个数与8的和都不能等于12，故小正方形顶点的四个数只能是1，2，3，6。
此时，与8在一条直线上的是1，3与7在一条直线上的是2，3。
填法如下图：
20、30．只有四个角上的四个小方格中的数在求和中用到两次，要使得每条边上的和最大，即要求这四个数最大，填9，10，11，12即可。
最大和为[（1+2+3+……+12）+（9+10+11+12）]÷4=30。
21、51．因为每行、每列，每条对角线上的三个数都等于（39+x），所以左下角为39-16=23。
中间为x+39-37-23=x-21，下中的数为x+39-2-（x-21）=58，再由右下角数推知：
x+（x-21）=23+58，解得x=51。
22、因为1+6=2+5=3+4=7。
分别将1，6；2，5；3，4填在大圆直径的两端。
填法如下图：
23、37．由题目要求很容易想到1~9的三阶幻方，其中一种表示见下图：
2
9
4
7
5
3
6
1
8
19
13
如上图所示，已知的两个数相差19-13=6。
在左上图类似位置中，只有7-1=6，所以应将左上图水平翻转到左下图，再将每个数增大12。
4
9
2
3
5
7
8
1
6
16
21
14
15
17
19
20
13
18
所以“欢”=16，“迎”=21，“欢”+“迎”=16+21=37。
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