人教版八年级下册数学期末复习培优练习《平行四边形》三.docx

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人教版八年级下册数学期末复习培优练习《平行四边形》三

期末复习培优练习：

《平行四边形》（三）

1．如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，G是CD上一点，满足AF＝CG．

（1）求证：

△ADF≌△CBG；

（2）分别延长BG、AD交于点E，若∠E＝45°，∠C＝60°，求∠BGC的度数．

2．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G．

（1）求证：

△ABE≌△BCF；

（2）若四边形AECF的面积为12．

①正方形ABCD的面积是　　；

②当FG＝2时，求EG的长．

3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：

OM＝ON．

（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．

4．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，过点A作AN∥BD，过点B作BN∥AC，两线相交于点N．

（1）求证：

AN＝BN；

（2）连接DN，交AC于点F，若DN⊥NB于点N，求∠DOC的度数．

5．如图，已知AC∥DF，点B在AC上，点E在DF上，连结AE，BD相交于点P，连结CE，BF相交于点Q，若AB＝EF，BC＝DE．

（1）求证：

四边形BPEQ为平行四边形；

（2）若DP＝2BP，BF＝3，CE＝6．求证：

四边形BPEQ为菱形．

6．如图，△ABC中，AB＝BC，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC的延长线交于E点，连接EO，若BC＝

，AC＝2，直接写出OE的长．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F．过点F作FG⊥AB交AB于点G，连接EG．

（1）求证：

四边形CEGF是菱形；

（2）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长．

8．如图，矩形ABCD，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．过点D作DH⊥BE于H，G为AC中点，连接GH．

（1）求证：

BE＝AC．

（2）判断GH与BE的数量关系并证明．

9．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC和边AD上，且AF＝CE，EF与对角线BD相交于点O．连接EF，BD．

（1）求证：

EF和BD互相平分．

（2）若EF⊥BD，△ABF的周长为10，则▱ABCD的周长为多少？

10．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF．

（1）求证：

▱ABCD是矩形．

（2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长．

参考答案

1．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝CB，AD∥BC，

在△ADF和△CBG中，

，

∴△ADF≌△CBG（SAS）；

（2）解：

∵AD∥BC，

∴∠CBG＝∠E＝45°，

∵∠C＝60°，

∴∠BGC＝180°﹣∠C﹣∠CBG＝180°﹣60°﹣45°＝75°．

2．

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠CBF＝90°，

∵BE⊥CF，

∴∠ABE+∠CBG＝∠ABE+∠BFC＝90°，

∴∠BFC＝∠AEB，

∴△ABE≌△BCF（AAS）；

（2）解：

①∵△ABE≌△BCF，

∴S△ABE＝S△BCF，

∴S△ABE﹣S△BFG＝S△BCF﹣S△BFG，

∴S四边形AEGF＝S△BGC，

∵四边形AECF的面积为12，

∴S△BCE＝12，

∴正方形ABCD的面积是24，

故答案为：

24；

②设CG＝x，则BE＝CF＝x+2，

∵S△BCE＝

BE•CG＝

x（x+2）＝12，

解得x＝4，

∴CG＝4，

∵正方形ABCD的面积＝24，

∴

，

由勾股定理求得

，

∴

；

3．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，

∴∠OAM＝∠OBN＝135°，

∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠AOM＝∠BON，

在△OAM和△OBN中，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM＝ON；

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为8，

∴OH＝HA＝4，

∵E为OM的中点，

∴HM＝8，

则OM＝

＝4

，

∴MN＝

OM＝4

．

4．解：

（1）证明：

∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，

∴OA＝OB，

∵AN∥BD，BN∥AC，

∴四边形OANB是平行四边形，

∵OA＝OB，

∴▱OANB是菱形，

∴AN＝BN，

（2）由

（1）可知：

BN＝OB＝OD，

∴BD＝2BN，

∵DN⊥NB，

∴∠DNB＝90°，

∴∠BDN＝30°，

∵BN∥AC，

∴∠DFO＝∠DNB＝90°，

∴∠DOF＝90°﹣30°＝60°，

∴∠DOC＝180°﹣60°＝120°．

答：

∠DOC的度数为120°．

5．证明：

（1）∵AC∥DF，AB＝EF，BC＝DE，

∴四边形ABFE和四边形BCED是平行四边形，

∴AE＝BF，AE∥BF，BD∥CE，

∴四边形BPEQ为平行四边形；

（2）由

（1）得：

四边形ABFE、四边形BCED和四边形BPEQ为平行四边形，

∴AE＝BF＝3，BD＝CE＝6，

∵DP＝2BP，

∴QE＝BP＝

BD＝2，

∵AC∥DF，

∴△APB∽△EPD，

∴

＝

＝

，

∴EP＝

AE＝2，

∴BP＝EP，

∴四边形BPEQ为菱形．

6．证明：

（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB

∴AB＝AD，且AB＝BC，

∴AD＝BC，且AD∥BC

∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形，

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

CO＝

AC＝1，

∵BC＝

，

∴BO＝

＝2，

∴BD＝2OB＝4，

∵DE⊥BC，

∴OE＝

BD＝2．

7．

（1）证明：

∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，

∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝FG，

在Rt△ACF与Rt△AGF中，

，

∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），

∴∠AFC＝∠AFG，

∵CD⊥AB，FG⊥AB，

∴CD∥FG，

∴∠CEF＝∠EFG，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∴CE＝FG，

∵CE∥FG，

∴四边形CEGF是平行四边形，

∵CE＝CF，

∴平行四边形CEGF菱形；

（2）解：

∵Rt△ACF≌Rt△AGF，

∴AG＝AC＝6，

∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，

∴AB＝2AC＝2×6＝12，

∴BG＝AB﹣AG＝12﹣6＝6，

在Rt△BGF中，tan∠B＝

＝

，

∴tan30°＝

，

∴FG＝6×tan30°＝6×

＝2

，

∴CE＝FG＝2

．

8．

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∵AC∥BE，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴BE＝AC；

（2）GH＝

BE，

证明：

连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，G为AC的中点，

∴G为BD的中点，AC＝BD，

∵DH⊥BE，即∠DHB＝90°，

∴GH＝

BD，

∵AC＝BD，AC═BE，

∴GH＝

BE．

9．解：

（1）在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，

∵AF＝CE，

∴AD﹣AF＝BC﹣CE，

∴DF＝BE，DF∥BE，

∴四边形FBED是平行四边形，

∴EF和BD互相平分；

（2）在▱FBED中，∵EF⊥BD，

∴四边形FBED是菱形，

∴BF＝DF，

∵△ABF的周长为10，

∴AB+AF+BF＝10，

∴AB+AF+DF＝10，即AB+AD＝10，

∴▱ABCD的周长为10×2＝20．

10．

（1）证明：

∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，

∴∠BEO＝∠CFO＝90°，

∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF，

∴△BOE≌△COF（AAS），

∴OB＝OC，

∵四边形BCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴AO＝OB＝OC＝OD，

∴AC＝BD，

∴▱ABCD是矩形；

（2）解：

∵OD＝13，

∴OB＝OC＝OD＝13，

∵CF＝12，

∴OF＝

＝

＝5，

∴BF＝OB+OF＝18．