数学新导学笔记人教A选修23讲义第一章 计数原理132.docx

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数学新导学笔记人教A选修23讲义第一章计数原理132

1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质

学习目标

　1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．

知识点　“杨辉三角”与二项式系数的性质

（a＋b）n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：

思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？

答案　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．

思考2　计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？

答案　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.

思考3　二项式系数的最大值有何规律？

答案　当n＝2,4,6时，中间一项最大，当n＝3,5时中间两项最大．

梳理　

（1）杨辉三角的特点

①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．

②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.

（2）二项式系数的性质

性质

内容

对称性

C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

增减性与最大值

如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项

的二项式系数最大

如果n为奇数，那么其展开式中间两项

与

的二项式系数相等且同时取得最大值

各二项式

系数的和

二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n

奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1

1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．（　×　）

2．二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.（　×　）

3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．（　×　）

类型一　与杨辉三角有关的问题

例1　

（1）杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是（　　）

A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行

（2）如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：

1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S（n），则S（16）等于（　　）

A．144B．146C．164D．461

考点　二项式系数的性质

题点　与杨辉三角有关的问题

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．

（2）由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C，所以S（16）＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝（C＋C＋…＋C）＋（C＋C＋…＋C）

＝（C＋C＋C＋…＋C－C）＋（C＋C＋…＋C）

＝C＋C－1＝164.

反思与感悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

跟踪训练1　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.

考点　二项式系数的性质

题点　与杨辉三角有关的问题

答案　34

解析　由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.

类型二　二项式系数和问题

例2　已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.

求下列各式的值：

（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；

（2）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；

（3）a1＋a3＋a5.

考点　展开式中系数的和问题

题点　二项展开式中系数的和问题

解　

（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.

（2）令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.

由（2x－1）5的通项Tk＋1＝C（－1）k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，

所|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|

＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.

（3）由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，

得2（a1＋a3＋a5）＝1－35.

所以a1＋a3＋a5＝＝－121.

引申探究

在本例条件下，求下列各式的值：

（1）a0＋a2＋a4；

（2）a1＋a2＋a3＋a4＋a5；

（3）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.

解　

（1）因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.

所以a0＋a2＋a4＝＝122.

（2）因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数，

所以a0＝25＝32.

又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.

（3）因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.

所以两边求导数得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.

令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.

反思与感悟　二项展开式中系数和的求法

（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f

（1），

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

跟踪训练2　在二项式（2x－3y）9的展开式中，求：

（1）二项式系数之和；

（2）各项系数之和；

（3）所有奇数项系数之和．

考点　展开式中系数的和问题

题点　二项展开式中系数的和问题

解　设（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.

（1）二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.

（2）各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝1，y＝1，

所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.

（3）令x＝1，y＝－1，可得

a0－a1＋a2－…－a9＝59，

又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，

将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，

即所有奇数项系数之和为.

类型三　二项式系数性质的应用

例3　已知f（x）＝（＋3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项．

考点　展开式中系数最大（小）的项问题

题点　求展开式中系数最大（小）的项

解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f

（1）＝（1＋3）n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.

∴（2n）2－2n－992＝0，

∴（2n＋31）（2n－32）＝0，

∴2n＝－31（舍去）或2n＝32，∴n＝5.

（1）由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C

·（3x2）2＝90x6，T4＝C

·（3x2）3＝270

.

（2）展开式的通项公式为Tk＋1＝C·3k·

，

假设Tk＋1项系数最大，

则有

∴

即∴≤k≤，∵k∈N，∴k＝4，

∴展开式中系数最大的项为T5＝C

（3x2）4＝405

.

反思与感悟　

（1）二项式系数的最大项的求法

求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行讨论．

①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

（2）展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．

跟踪训练3　写出（x－y）11的展开式中：

（1）二项式系数最大的项；

（2）项的系数绝对值最大的项；

（3）项的系数最大的项和系数最小的项；

（4）二项式系数的和；

（5）各项系数的和．

考点　展开式中系数的和问题

题点　二项展开式中系数的和问题

解　

（1）二项式系数最大的项为中间两项：

T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.

（2）（x－y）11展开式的通项为

Tk＋1＝Cx11－k（－y）k＝C（－1）kx11－kyk，

∴项的系数的绝对值为|C·（－1）k|＝C，

∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.

（3）由

（2）知中间两项系数绝对值相等，

又∵第6项系数为负，第7项系数为正，

故项的系数最大的项为T7＝Cx5y6，项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.

（4）展开式中，二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.

（5）令x＝y＝1，得展开式中各项的系数和为C－C＋C－…－C＝（1－1）11＝0.

1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（　　）

A．8B．6C．4D．2

考点　二项式系数的性质

题点　与杨辉三角有关的问题

答案　B

解析　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.

2．（1＋x）2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是（　　）

A．n，n＋1B．n－1，n

C．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3

考点　展开式中系数最大（小）的项问题

题点　求展开式中二项式系数最大（小）的项

答案　C

解析　2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第项，即第n＋1项与第n＋2项，故选C.

3．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（　　）

A．4B．5

C．6D．7

考点　二项式系数的性质

题点　二项式系数与项的系数问题

答案　C

解析　令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有＝64，所以n＝6.

4．设（－3＋2x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．

考点　展开式中系数的和问题

题点　二项展开式中系数的和问题

答案　－15

解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①

又Tk＋1＝C（－3）4－k（2x）k，

∴当k＝4时，x4的系数a4＝16.②

由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.

5．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．

考点　展开式中系数的和问题

题点　多项展开式中系数的和问题

答案　

解析　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n（n－1）＝37，解得n＝8（负值舍去），则第5项的二项式系数最大，T5＝C××（2x）4＝x4，该项的系数为.

1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．

2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．

3．注意以下两点：

（1）区分开二项式系数与项的系数．

（2）求解有关系数最大时的不等式组时，注