高中物理必修2同步学案第7章 机械能守恒定律 第12节.docx

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高中物理必修2同步学案第7章机械能守恒定律第12节

第七章　机械能守恒定律

第1节　追寻守恒量

第2节　功

【学习目标】：

知识与技能

理解动能、势能及能量的概念与意义。

（1）理解功的概念和做功两个要素。

（2）会利用公式进行有关运算．

过程与方法

会分析动能与势能间的相互转化。

（1）理解正、负功的含义，能解释相关现象．

（2）W=Fscosa要灵活运用．

情感、态度与价值观

通过动能、势能间的相互转化来研究生活中的物体的运动，培养热爱生活的情趣。

【预习要点】：

要点一能及其转化与守恒的认识

能是描述物质（或系统）运动状态的一个物理量，是物质运动的一种量度．任何物质都离不开运动，在自然界中物质的运动是多种多样的，相对于各种不同的运动形式，就有各种不同形式的能量．自然界中主要有机械能、热能、光能、电磁能和原子能等．各种

不同形式的能可以相互转化，而在转化过程中，能的总量是不变的，这是能的最基本的性质．

图7－（1、2）－1为伽利略的理想斜面示意图．伽利略发现：

无论斜面B比斜面A陡些还是缓些，小球最后总会在斜面上的某点速度变为0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同．这个过程中势能先转化为动能，动能又转化为势能，动能和势能的总量保持不变，因此小球才能上升到与出发点等高处．

图7－（1、2）－1

能量守恒告诉我们，尽管物质世界千变万化，但这种变化不是没有规律的，基本的规律就是守恒定律，也就是说，一切运动变化无论属于什么形式，反映什么样的物质特性，都要满足一定的守恒定律．机械能守恒定律是人们在认识到动能和势能的具体形式，以及探索了它们之间能以一定的数量关系相互转化之后建立起来的．

要点二对功的公式W＝Flcosα的理解

1．F表示力的大小，l表示力的作

用点相对于地面位移的大小，当力的作用点的位移与物体的位移相同时，也常常说是物体相对地面的位移大小，α表示力与位移方向间的夹角．

2．公式仅适用于求恒力的功．

3．计算功时首先要分清是求单个力做功还是求合力做功．

（1）求单个力做功时，某一个力做的功，不受其它力的影响．例如从斜面上滑下的物体，重力对物体做的功与斜面是光滑的还是粗糙的没有关系．

（2）求解合力做功时，有两种方法，一种方法是合力做的总功等于各个力做功的代数和，另一种方法是先求出物体所受各力的合力，再用公式W总＝F合lcosα计算．

4．功是过程量，是力在空间的积累量．功只有大小，没有方向，是标量．

5．实际计算时，不必生搬硬套公式W＝Flcosα，一般通过分解力或分解位移的方法求解．

要点三关于正功、负功的理解

功是标量，但有正功、负功之分，功的正负既不表示大小，也不表示方向，只表示两种相反的做功效果，即为动力功还是阻力功．

1．当0≤α<

，cosα>0，W>0，力对物体做正功，力是物体运动的动力，使物体的动能增加．

2．当α＝

时，cosα＝0，W＝0，表示力对物体不做功，力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用，力没有使物体的动能发生变化．

3．当

<α≤π时，cosα<0，W<0，力对物体做负功（或者说物体克服阻力做功），力是物体运动的阻力，使物体的动能减少．

对以上特别说明的是：

当力对物体做负功时，常常说成“物体克服某力做功”，这两种说法是等效的．

要点四变力做功的求法

1．图象法

我们可以用图象来描述力对物体做功的大小．以Fcosα为纵坐标，以l为横坐标．当恒力F对物体做功时，由Fcosα和l为邻边构成的矩形面积，即表示功的大小，如图7－（1、2）－2甲所示．

图7－（1、2）－2

如果外力不是恒力，外力做功就不能用矩形表示．不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和，如图7－（1、2）－2乙所示．

2．分段法（或微元法）

当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．

图7－（1、2）－3

例如：

用水平拉力，拉着一物块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图7－（1、2）－3所示，已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，求此过程中摩擦力做的功．

由题意知，物块受到的摩擦力在整个过程中大小不变为F＝μmg、方向时刻变化，是变力，把圆轨道分成l1、l2、l3、…、ln微小段，摩擦力在每一段上可视为恒力，则在每一段上做的功W1＝μmgl1，W2＝μmgl2，W3＝μmgl3，…，Wn＝μmgln，摩擦力在一周内所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…，Wn＝μmg（l1＋l2＋l3＋…＋ln）＝μmg·2πR.

从上述例子，可得到大小恒定的空气阻力、滑动摩擦力做功的大小，计算式为W＝－Fl，其中l为路程．

3．平均值法

当力F的大小发生变化，但F、l成线性关系时，可以代入F的平均值计算F做的功．

例如：

如图7－（1、2）－4所示，

图7－（1、2）－4

轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的物块连接，物块放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉物块，使物块前进的位移为l，求这一过程中拉力对物体做了多少功？

缓慢拉动物块，可认为物块处于平衡状态，故拉力等于弹力，大小为F＝kl.

因该力与位移成正比，可用平均力

＝

求功W＝

·l＝

kl2.

【答疑解惑】：

1.一个力是否对物体做功，如何判断？

公式中W＝Flcosα的位移l是以哪个物体为参考系的？

判断一个力对物体是否做功，可根据该力和物体位移方向的夹角是否为90°，或力与物体速度方向的夹角是否总是90°判断．

例如：

如图7－（1、2）－5所示，

图7－（1、2）－5

斜面体a放在光滑水平桌面上，物体b由光滑斜面的顶端从静止开始下滑，由题意可知物体b下滑的同时，斜面体a将沿桌面向右运动，由图可知，物体b所受斜面的弹力FN虽然垂直斜面，但它与物体b的位移l的夹角大于90°，所以弹力FN对物体b做负功．同理，b对a的弹力FN′对a做正功．

上述例子中b物体的位移l是以大地为参考系的，若误以斜面为参考系，则会错误的判断出FN对b不做功．公式中位移l必须是受力物体相对大地的位移．

2．摩擦力一定对物体做功吗？

一对相互作用力的功也一定相等吗？

不一定．

（1）摩擦力做功有以下特点：

①静摩擦力和滑动摩擦力都可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功．

例如：

汽车载着集装箱加速前进，集装箱与汽车间无相对滑动，则汽车施于集装箱的静摩擦力对集装箱做正功，集装箱施于汽车的静摩擦力对汽车做负功；物体在水平转台上随转台一起匀速转动，物体与转台间无相对滑动，则转台施于物体的静摩擦力对物体就不做功．

又如，将工件放在运转中的传送带上，传送带施于工件的

滑动摩擦力将对工件做正功，而工件施于传送带的滑动摩擦力将对传送带做负功；物体在粗糙地面上滑动，物体施于地面的滑动摩擦力对地面就不做功．

②一对静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况同时发生：

一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能．

③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做的功的总和等于零；一对滑动摩擦力所做的功的总和总是负值，其绝对值恰好等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，即恰等于系统损失的机械能．

（其中，机械能、内能在后面将会学到）

（2）一对相互作用力做功的特点

①作用力与反作用力的特点：

大小相等、方向相反，且作用在不同物体上．

②作用力、反作用力作用下的物体运动的特点：

可能向相反方向运动，也可能向同一方向运动，也可能一个运动，而另一个静止，还可能两物体都静止．

③由W＝Flcosα不难判断，作用力做的功与反作用力做的功，没有必然的关系，可能相等，也可能不等；可能同为正功，也可能一正一负；可能一个为零，另一个不为零.

【典例剖析】：

一、功的公式W＝Flcosα的基本应用

例1

质量m＝3kg的物体，受到与斜面平行向下的拉力F＝10N，沿固定斜面下滑距离l＝2m，斜面倾角θ＝30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝

.求各力对物体所做的功，以及力对物体所做的总功．（g取10m/s2）

解析　物体所受到的各个力均为恒力，

可用功的公式进行计算．

如右图所示，物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用，做单向直线运动

，其位移的大小与移动的距离相等．所以，重力所做的功为

WG＝mglcosα＝mglcos（90°－θ）

＝3×10×2×cos60°J＝30J

拉力所做的功WF＝Fl＝10×2J＝20J

支持力与物体运动方向垂直，它所做的功WN＝0

滑动摩擦力的方向与位移方向相反，做功为

WFf＝－（μmgcosθ）l＝－

×3×10×2×

J＝－

30J

总功W＝WG＋WF＋WN＋WFf

＝30J＋20

J＋（－30）J＝20J

答案　WG＝30J，WF＝20J，WN＝0，WFf＝－30J　W总＝20J

方法总结

求力的功，首先对物体受力分析，明确求哪个力的功，如果此力是恒力，可应用W＝Flcosα求功.

二、有关摩擦力的功的计算

例2

如图7－（1、2）－6所示的水平传送装置，

图7－（1、2）－6

AB间距为l，传送带以速度v匀速运转．把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功．

解析　要求摩擦力对零件做的功，关键是要弄清零件在摩擦力方向上的位移是多少．由于题中没有给出各物理量之间的定量关系，故存在两种可能．

当零件与传送带之间存在摩擦力时，摩擦力的大小为

F＝μmg.

分两种情况进行讨论：

（1）零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，零件在从A到B的过程中一直受摩擦力作用，则摩擦力对零件所做的功W＝Fl＝μmgl.

（2）零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，零件只是在达到速度v之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动，零件就不受摩擦力作用，即无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在，则摩擦力对零件所做的功W′＝Fl′＝μmg

＝

mv2.

答案　见解析

方法总结

1．摩擦力做功可以是正，也可以是负，也可以是零．

2．在传送带上分析摩擦力做的功，有可能出现两种情况：

一种情况是物体在传送带上一直加速运动，另一种情况是物体在传送带上先加速，后匀速，匀速时不受摩擦力作用.

三、变力做功问题

例3

如图7－（1、2）－7所示，

图7－（1、2）－7

摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力Ff的大小不变，求摆球从A运动到竖直位置B时，重力mg、绳的拉力FT、空气阻力Ff各做了多少功？

解析　因为拉力FT在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即WFT＝0.

重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影OB，且OB＝l，所以WG＝mgl.

空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任何时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题．如果将

分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段弧上Ff的大小、方向可以认为不变（即为恒力），这样就把变力做功的问题转化为恒力做功的问题，如右图所示．因此Ff所做的总功等于每一小段弧上Ff所做功的代数和．即

WFf＝－（FfΔl1＋FfΔl2＋…）＝－

Ffπl

故重力mg做的功为mgl，绳子拉力FT做功为零，空气阻力Ff做的功为－

Ffπl.

答案　WFT＝0，WG＝mgl，WFf＝－

Ffπl

方法总结

1．求变力做功有微元法，图象法，有时可通过转换研究对象，转换为恒力的功来计算．

2．滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，物体做曲线运动时，可把运动过程细分，其中每一小段做功为Fl，整个过程中所做的功是力与各小段位移大小之积的

和.

【课堂练习】：

1.伽利略的斜面实验反映了一个重要的事实：

如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地到达同它出发时相同高度的点，决不会更高一点，也不会更低一点．这说明，小球在运动过程中有一个“东西”是不变的，这个“东西”应是（　　）

A．弹力　　　B．势能　　　C．速度　　　D．能量

答案　D

解析　在伽利略的斜面实验中，小球从一个斜面滚到另一个斜面，斜面弹力是不同的，势能先减小后增大，速度先增大后减小，所以A、B、C错，不变的“东西”应是能量，包括动能和势能，D对．

2．下列关于做功的说法中正确的是（　　）

A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功

B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功

C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功

D．只要物体受力，又在力的方向上发生位移，则力一定对物体做功

答案　D

解析　做功有两个要素，第一要有力，第二在力的方向上物体要发生位移．A项错在物体可能没有发生位移，B项错在物体可能没受力，C项错在位移和力可能垂直，D项正确．

3．如图7－（1、2）－8所示，

图7－（1、2）－8

木块A放在木块B的左上端，用恒力F拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做的功为W1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，F做的功为W2，比较两次做功，可能是（　　）

A．W1

C．W1>W2D．无法比较

答案　AB

解析　若A、B间接触面光滑，则第二次即使B不固定，用水平力F拉木块A时，木块B也会静止，则W1＝W2；若A、B间接触面粗糙，则把A拉至B的右端时，A相对地面的位移大于第一种情况下的位移，所以W1

4．人以20N的恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0m，人放手后，小车还前进了2.0m才停下来，则小车在运动过程中，人的推力所做的功为（　　）

A．100JB．140JC．60JD．无法确定

答案　A

5.

图7－（1、2）－9

质量是2kg的物体置于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动，物体运动的速度—时间图象如图7－（1、2）－9所示，若物体受摩擦力为10N，则下列说法正确的是（　　）

A．拉力做功150J

B．拉力做功100J

C．摩擦力做功250J

D．物体克服摩擦力做功250J

答案　AD

解析　由图可知：

a＝

＝

m/s2＝2m/s2，物体做匀减速运动，故Ff－F＝ma，F＝Ff－ma＝（10－2×2）N＝6N，由图可知：

l＝

t＝

×5m＝25m，故拉力做的功：

WF＝Fl＝6×25J＝150J，摩擦力做的功WFf＝－Ffl＝－10×25J＝－250J，故物体克服摩擦力做功250J.

6．如图7－（1、2）－10所示，

图7－（1、2）－10

在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3N和F2＝4N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10m，求：

（1）F1和F2分别对物体做的功是多少？

代数和为多大？

（2）F1和F2合力为多大？

合力做功是多少？

答案　

（1）18J　32J　50J　

（2）5N　50J

解析　

（1）

力F1做的功

W1＝F1lcosθ1＝3×10×cos53°J＝18J

力F2做的功

W2＝F2lcosθ2＝4×10×cos37°J＝32J

W1与W2的代数和

W＝W1＋W2＝18J＋32J＝50J

（2）F1与F2的合力

F＝

＝

N＝5N

合力F做的功W′＝Fl＝5×10J＝50J

7.如图7－（1、2）－11所示，

图7－（1、2）－11

磨杆长为L，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F，求杆绕轴转动一周的过程中力F所做的功．

答案　F·2πL

解析　磨杆绕轴转动过程中，力的方向不断变化，不能直接用公式W＝Flcosα进行计算．这时，必须把整个圆周分成许多小弧段，使每一小段弧都可以看作是这段弧的切线即可以看成是这段的位移，这样，由于F的大小不变，加之与速度的方向相同，因而对于每一小段圆弧均可视为恒力做功．杆绕轴转动一周所做功的总和为

W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F·Δl1＋F·Δl2＋…＋F·Δln

因为Δl1＋Δl2＋…＋Δln＝2πL

所以W＝F·2πL.

8．如图7－（1、2）－12所示，是一个物体受到的力F与位移l的关系图象，由图象求力F对物体所做的功．

图7－（1、2）－12

答案　－20J

解析　F—l的面积表示F做的功：

0～2m内：

W1＝20J；2m～5m：

W2＝－60J；5m～6m：

W2＝20J，故整个过程W＝W1＋

W2＋W3＝－20J.

【课内探究】：

题型①功的正负判断及计算

如图1所示，

图1

质量m＝2kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面成θ＝37°，大小F＝10N的拉力作用，物体移动了l＝2m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10m/s2.求：

（1）拉力F所做的功W1.

（2）摩擦力Ff所做的功W2.

（3）重力G所做的功W3.

（4）弹力FN所做的功W4.

（5）合力F合所做的功W.

答案　

（1）16J　

（2）－8.4J　（3）0　（4）0　（5）7.6J

解析　

（1）对物体进行受力分析，如右图所示．

W1＝Flcosθ＝10×2×0.8J＝16J

（2）FN＝G－Fsinθ＝20N－10×0.6N＝14N

Ff＝μFN＝0.3×14N＝4.2N

W2＝Fflcos180°＝－4.2×2J＝－8.4J

（3）W3＝Glcos90°＝0

（4）W4＝FNlcos90°＝0

（5）W＝W1＋W2＋W3＋W4＝7.6J

或由合力求总功

F合＝Fcosθ－Ff＝10×0.8N－4.2N＝3.8N

F合与l方向相同，则W＝F合l＝3.8×2J＝7.6J

拓展探究

若上例中物体运动的加速度为4.9m/s2，则合外力F合所做的功是多少？

答案　19.6J

解析　由牛顿第二定律F合＝ma

W合＝F合·l＝mal＝2×4.9×2J＝19.6J

归纳总结

1．计算力的功，首先明确是哪个力做的功．

2．判断功的正负与力的性质无关，只看F与l的夹角α.若0≤α<90°，则W>0；α＝0，则W＝0；90°<α≤180°，则W<0.

3．求总功有两种方法，可灵活选择.

题型②摩擦力做功的特点

质量

为M的长木板放在光滑水平地面上，如图2所示．一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A端滑到B点，在木板上前进的距离为L，而木板前进的距离为x，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求：

图2

（1）摩擦力对滑块所做的功多大？

（2）摩擦力对木板所做的功多大？

答案　

（1）－μmg（l＋L）　

（2）μmgl

解析　由题图可知，木板的位移为l时，滑块的位移为l＋L，m与M之间的滑动摩擦力Ff＝μmg.

由公式W＝Flcosα可得摩擦力对滑块所做的功为Wm＝μmglmcos180°＝－μmg（l＋L），负号表示做负功．摩擦力对木板所做的功为WM＝μmglM＝μmgl.

拓展探究

如图3所示，

图3

质量为M的长木板B被固定在水平面上，一个质量为m的滑块A以某一速度沿木板表面由C点滑至D点，在木板上前进了L，若滑块与木板间动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？

答案　－μmgL　0

解析　对滑块W1＝－μmg·L

对木板：

因为板对地的位移为0，故摩擦力对木板做功W2＝0.

归纳总结

1．不能认为摩擦力总是做负功，摩擦力可以做正功，可以做负功也可以不做功，要搞清摩擦力与物体位移之间的关系，其中位移是相对地面的位移．

2．作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可以做正功，也可以做负功.

题型③变力做功的计算

如图4所示，

图4

一质量为m＝2.0kg的物体从半径为R＝5.0m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）．拉力F大小不变始终为15N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10m/s2.求这一过程中：

（1）拉力F做的功．

（2）重力mg做的功．

（3）圆弧面对物体的支持力FN做的功．

（4）圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功．

答案　

（1）62.8J　

（2）－50J　（3）0　（4）－12.8J

解析　

（1）将圆弧

分成很多小段l1，l2，…ln，拉力在每小段上做的功为W1，W2，…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成3

7°角，所以：

W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…，Wn＝Flncos37°，所以

WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°（l1＋l2＋…＋ln）

＝Fcos37°·

R＝20πJ＝62.8J

（2）重力mg做的功WG＝－mgR（1－cos60°）＝－50J

（3）物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0.

（4）因物体在拉力F作用下缓慢移动，合外力做功为零，所以WF＋WG＋WFf＝0.所以WFf＝－WF－WG＝（－62.8＋50）J＝－12.8J

归纳总结

将变力的功转化为恒力的功的常用方法：

1．当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程（不是位移）的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力做功等等．

2．当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位

移的平均值

＝

，再由W＝

lcosα计算，如弹簧弹力做功．

3．作出变力F随位移变化的图象，图线与横轴所夹的“面积”即为变力所做的功．如

图所示.

【课后练习】：

1.如图5所示，

图5

电动小车沿斜面从A匀速运动到B，则在运动过程中（　　）

A．动能减少，势能增加

B．动能不变，势能增加

C．动能减少，势能不变

D．动能不变，势能减少

答案　B

2．下列说法正确的是（　　）

A．功是矢量，正、负表示方向

B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功

C．力对物体做正功还是负功，取决于力和位移的方向关系

D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量

答案　BCD

解析　功是标量，功的正、负表示力对物体做正功还是做负功，功是力在位移上的积累，功是过程量．

3．关于摩擦力对物体做功，下列说法中正确的是（　　）

A．滑动摩擦力总是做负功

B．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功

C．静摩擦力对物体一定做负功

D．静摩擦力对物体总是做正功

答案　B

4．如图6所示，

图6

在加速向左运动的车厢中，一个人用力沿车前进的方向推车厢，已知人与车厢始终保持相对静止，那么人对车厢做功的情况是（　　）

A．做正功

B．做负功

C．不做功

D．无法确定

答案　B

解析　先分析水平方向车厢对人的作用力的合力的方向．人随车厢加速运动，车厢对人的作用力的合力

方向向左，则人对车厢的作用力方向向右，故人对车厢做负功．正确选项为B.

5．如图7所