第四讲 约数与倍数.docx

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第四讲约数与倍数

约数与倍数

一、约数与倍数的基本概念：

1、约数和倍数的定义：

如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

2、最大公约数的定义：

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

3、最小公倍数的定义：

如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

4、求两个数的最大公约数一般有三种方法：

①分解质约数法②短除法③辗转相除法。

5、最小公倍数一般有三种方法：

①分解质约数法②短除法③a×b=（a,b）×[a,b]。

其中辗转相处法的步骤如下：

辗转相除法：

用较小的数去除较大的数，如果整除，那么较小的数就是所求的最大公约数；如果有余数，则用余数去除刚才的除数，如果再有余数，再用余数去除新的除数。

以此类推，直到最后一次能整除为止。

这时，作为除数的数就是所求的最大公约数。

【定理1】两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1。

【定理2】两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

用字母表示：

[a，b]·（a，b）=a·b

【定理3】两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

注意：

求一组分数的最大公约数与最小公倍数：

先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；

即为所求。

例如：

求一组分数的最小公倍数方法步骤：

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；

即为所求。

例如：

〖经典例题〗

例1、把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？

例2、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

例3、甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？

例4、已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

〖方法总结〗

这几个题目是【定理1】和【定理2】的直接应用。

知道了最大公约数后，我们可以设出这几个数，然后再根据互质的关系确定出几组符合题意的解来。

别忘了最后要乘以最大公约数。

这两个定理应用非常广泛，一定要认真体会。

〖巩固练习〗

练习1：

甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？

练习2：

如果甲乙两数的最大公约数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是多少？

练习3：

小文和小佩计算甲、乙两个自然数乘积时，小文把甲数的个位数字看错了，得到结果是473；小佩把甲数十位数字看错了，得到结果407，那么甲、乙两个数分别是?

练习4：

一次考试，参加的学生中有

得优，

得良，

得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有人。

分析：

7，2，3的最小公倍数为42（小于50人），所以参加的学生总数为42人。

答案为1人。

练习5：

动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？

〖经典例题〗

例4、已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。

例5、两个自然数的差是21，它们的最大公约数与最小公倍数的和是287，那么这两个数的和是多少？

例6、（★★★）设a和b为两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72.那么a和b之和可以又多少种不同的值？

〖方法总结〗

和上个例题不同的是，这两个题中不知道最大公约数，但是两个数的和与差，最小公倍数以及它和最大公约数的和与差都是最大公约数的倍数。

利用这个特点我们可以找出最大公约数的范围，但要注意：

我们此时求出的公约数d并不是题中这两个数的最大公约数，而是最大公约数的倍数，因此我们要分情况讨论。

〖巩固练习〗

练习1：

已知两个数的差为48，最小公倍数为60，求这两个数。

练习2：

两个自然数的和是60，它们的最小公倍数与最大公约数的和是84，则这两个数分别是多少？

练习3：

已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。

练习4：

三个连续自然数的最小公倍数是9828，那么这三个自然数的和等于多少？

练习5：

（★★★）已知m、n两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m有12个约数，n有10个约数，求数m与n的和。

二、约数个数以及约数的和：

1、约数的个数：

一个合数的约数的个数是在严格分解质约数之后，将每个质约数的指数（次数）加1后所得的乘积。

2、约数的和：

约数的和是在严格分解质约数后，将M的每个质约数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积。

3、约数的积:

（★★★）设M的约数个数为x个，那么M所有约数的积为

。

（如果是完全平方数，先开方求得值为A，再计算

的值，即为所求）。

如：

21分解质约数为3×7，所以有（1＋1）×（1＋1）＝4个，所以21的所有约数的积为

＝441。

又如：

9分解质约数为

，所以有（1＋2）＝3个约数，为完全平方数，9开方为3，所以9的所有约数的乘积为

＝27。

〖经典例题〗

例1、按要求分别求出下列问题的解：

（1）2520的约数有多少个？

（2）在840的所有约数中，有多少个是三位数？

（3）

的约数有多少个？

例2、试求下列各数奇约数的个数。

（1）90；

（2）

〖方法总结〗

这两个例题中并不是简单的求一个数的约数的个数，要注意的是约数是“成对”出现的，这个思想我们以后也会经常用到。

当要求的是奇约数时，就要去掉含有2的约数。

所有的这些都建立在一个基础上，就是完全分解质因数。

〖巩固练习〗

练习1：

360的约数有多少个？

练习2：

求720所有三位的约数的个数。

练习3：

已知a（自然数）有两个约数，那么5a有多少个约数？

练习4：

求520和1224的奇约数的个数。

〖经典例题〗

例3、求：

（1）360的所有约数的和；

（2）360的所有3的倍数的约数的和。

〖方法总结〗

本题是利用约数求和的公式，这时我们要懂得约数求和公式的由来，只有这样，我们才能够遇到不同的题目灵活的运用求和公式，如本题中的第二小题，在学习工程中要大好基础。

〖巩固练习〗

练习1：

28的所有约数之和是多少？

练习2：

（1）520的约数中，有多少个是4的倍数。

（2）1224的约数中，有多少个是12的倍数。

〖经典例题〗

例4、请写出一个自然数，它的所有的约数的和恰好是78.

例5、一个合数恰有12个约数，满足这样条件的最小数是多少?

〖方法总结〗

这两个例题是我们前面学过的两个公式的逆用，我们要朝着公式的“模样”去分解质因数，要注意a、b、c都是质数，然后根据范围确定出结果。

〖巩固练习〗

练习1：

请写出一个自然数，它的所有约数的和恰好是28.

练习2：

含有6个约数的两位数有多少个？

练习3：

100以内有10个约数的最小数是几？

〖经典例题〗

例6、有6个自然数排成一排，他们的平均数是4.5，前四个平均数是4，后3个数的平均数是

，这6个数连乘积最小是多少？

例7、一张纸片，第一次将其撕成4小片，以后每次将其中的一片撕成更小的四小片，如此进行下去，试问：

（1）撕5次，8次，10次后各有多少张纸片？

（2）能否将纸片撕成1996片？

为什么？

例8、有三个连续的偶数，其中最小的自然数是15的倍数，最大的是19的倍数，另一个是17的倍数,且使这三个数和最小，那么满足条件的三个数是多少？

〖方法总结〗

这几个例题是约数与倍数的实际应用了，我们要根据题意确定出题目所说的本质是什么，千万别被题目“忽悠”了。

〖巩固练习〗

1、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳

米，黄鼠狼每次跳

米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔

米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?

2、大雪后的一天，李佳和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行的方向完全相同，李佳每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以各走完一圈后，雪地上留上了60个脚印，求圆形花圃的周长。

3、M,N是互为反序的两个三位数，且M〉N，如果M，N的最大公约数是7，M与M-N的最大公约数是多少？

如果M，N的最大公约数是21，求M。

4、有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后3人又可以相聚?

〖课后作业〗

1、分别求出上面的数有多少个正约数，并求72所有正约数的和。

2、

（1）把40、44、45、63、65、78、99、105这8个数平分成两组，使得每组四个数的积相等。

（2）二十几个小朋友围成一圈，从1开始按顺时针方向一圈一圈地连续报数，如果报6和2008的是同一个人，那么共有多少个小朋友？

（3）约数个数是8的两位数有哪些？

（4）一个自然数有12个约数，且它能被3和25整除，这个自然数最小是多少？

3、

（1）要使975×935×972×（）这个乘积的最后四位数字都为“0”，则（）内填入的最小值是多少？

（2）将1至100这100个自然数相乘，试求所得乘积尾部零的个数。

（3）1×2×3×……×99×100=

·M，其中M为自然数，n是使得等式成立的最大自然数。

求n的值，并说明M能否被2或3整除。

（4）若x、y、z、w是四个互不相等的自然数，且它们之积为1998，试求x＋y＋z＋w的最大值。

4、从1、2、3、……、100这100个数中取出不同的两个数，要使取出的这两个数的和是3的倍数，共有n种取法，那么n的约数共有（）个。

5、

（1）四个不同的非零自然数的和是1111，那么这四个数的最大公约数最大是多少？

（2）如图：

街道ACB在C处拐弯，AC=715米，CB=520米，在街道的一侧等距离的安装路灯，并且要求A、B、C处必须各安一盏灯，问这条街道最少装多少盏灯？

6、爷爷现在的年龄是明明现在年龄的7倍，再过若干年，爷爷的年龄分别是明明年龄的6倍、5倍、4倍、3倍。

那么爷爷现在多少岁？

7、

（1）两个整数A、B的最大公约数是C、最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A，也不等于B。

C＋D=187，则A＋B=（）。

（2）已知两数差是2，他们的最大公约数与最小公倍数之差是142，这两个数分别是多少？

8、一个数乘2是4的倍数，乘3是9的倍数，乘4是16的倍数，乘5是25的倍数，乘6是36的倍数，乘7是49的倍数，乘8是64的倍数，乘9是81的倍数.这个数最小是？

9、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

10、甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l

.乙数是_____.