结冰过程固液相变的传热研究.docx
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结冰过程固液相变的传热研究
结冰过程固-液相变的传热研究
题目
二○一一年六月
结冰过程固-液相变的传热研究
摘要
水在冷空气流中凝固问题的研究对于实际的生产生活有着深远意义，例如：
提高节能技术，避免飞机飞行过程中的结冰以保证飞行安全性，冰蓄冷空调系统中蓄冰槽内的蓄冰、融冰，延长食品的保存期，深入了解地球科学等。
水在冷空气流中凝固，是包含两种相变过程的传热传质、伴随两个移动边界的复杂问题，并且两个边界相互影响、相互耦合。
本文采用分区域模型，分别建立固、液两相的能量方程和传质方程，采用控制容积积分法进行网格差分，并运用移动网格技术追踪界面运动情况。
在此基础上利用Fortran语言程序进行计算，对不同工况下的传热传质规律进行结果分析，获得了空气流速和液滴尺寸对结冰过程的影响规律，并掌握了液滴中心和表面温度的分布状况。
本文对进一步研究液滴结冰过程的传热传质规律具有参考价值。
关键字：
结冰；固-液相变；传热；移动界面
InvestigationofHeatTransferofSolid-LiquidPhaseChangeduringFreezingProcess
Abstract
Theproblemofwatersolidificationincoldairflowhasfar-reachingimplicationfortheactualproductionandliving,suchas:
improvingenergy-savingtechnologies,toavoidtheaircrafticingproblemduringflighttoensuretheflightsafety,thestorageoficeorthemeltingoficefortheicestorageairconditioningsystem,toextendtheshelflifeoffood,in-depthunderstandingoftheearthsciencesandsoon.
Watersolidificationincoldairflowinvolvestwophaseheattransferandthemasstransferprocess,alongwiththecomplexityofthetwomovingboundaryproblem,andthetwointerfacescouplewitheachother.Thispaper,sub-regionalmodelwasusedtoestablishtheenergyequationandmasstransferequationofthesolidandliquidphases.Besides,thevolumecontrolintegrationmethodwasusedfordifferential,andthemovingmeshtechnologywasappliedtotrackthemovementoftheinterfaces.Onthisbasis,thefortranprogramminglanguageisusedtocalculatethemodel.Thecalculationresultsareanalyzedunderdifferentconditions.Theinfluencesofairflowrateanddropletsizeonthedropletfreezingprocessareobtained,andalsothetemperaturedistributioninthedropletcenterandatthedropletsurfaceisresearched.Thispaperhasreferencevalueforfurtherinvestigationofheatandmasstransferduringtheprocessofdropletfreezing.
Keywords:
freezing;solid-liquidphasechange;heattransfer;movinginterface
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目录
摘要I
AbstractII
1绪论1
1.1研究目的与意义1
1.2国内外研究现状1
1.3模型的选取2
1.4本文拟采用的研究方法2
2数学模型的建立3
2.1模型假设3
2.2模型示意图3
2.3模型的建立4
2.4传质传热和对流换热6
3应用Fortran程序计算过程8
3.1针对移动边界的坐标转换8
3.2控制容积积分法的网格离散9
3.3TDMA算法11
3.4程序思路12
3.5Fortran语言简介13
3.6计算结果16
4计算结果分析17
4.1空气流速对液滴温度变化的影响17
4.2液滴尺寸对温度变化的影响18
4.3中心温度与表面温度的比较19
结论21
参考文献22
致谢23
1绪论
1.1研究目的与意义
在自然界、工业生产、工程领域中存在着大量的结冰融冰现象。
例如：
冰蓄冷空调系统中蓄冰槽内的蓄冰、融冰，食品的冷冻、冷藏，飞机迎风面在飞行中的结冰及除冰等等。
结冰过程的固-液相变传热研究在避免飞机结冰以确保飞机飞行安全，延长食品保存期，深入了解地球科学等诸多领域有着深远的意义。
1.2国内外研究现状
人类在十九世纪就开始关注结冰、融冰问题，做了大量研究工作，并意识到时间和空间维度上的非线性是数值处理相变问题的难点所在。
国外在上世纪八十年代开始了对多维结冰过程的数值模拟，并考虑了液相对流的影响。
目前国内研究对对流换热的影响往往考虑的不够充分，对结冰过程中液相区流动的研究国内尚未见报道。
1891年，Stefan研究了具有移动边界和相变的冰的形成和融解过程。
他推导出潜热近似值，并以此来求解随时间变化的表面温度[1]。
二十世纪中期Carslaw、Jaeger和Crank主要研究了简单初始情况和边界条件下无限空间和半无限空间下的一维带有相变的导热问题[2][3]。
1986年，Beer和Rieger给出了圆柱体内固定融化的数值解[4]。
1996年，Chii对半无限大的冰层融化问题用积分法来求解偏微分方程。
1998年孔祥谦提出“显热容法”的有限元方法用于相变导热分析，并对能量方程中的相变潜热项提出了两种解决方案：
作为附加比热和作为附加源项处理。
在食品冷冻、冷藏方面，美国科学家首先提出了“食品聚合物”概念，其基本思想是：
冻结食品的玻璃化保存[5]。
从此以后国内外越来越多的科学家开始进行这方面的研究，众多实验结果表明：
冻结食品质量下降主要是由于冰晶对细胞的挤压破坏而引起的[6]。
对食品冷冻过程进行建模与优化，对食品工程的发展有着重要的意义。
进入二十世纪八十年代后，我国开始自行研制开发具有自主产权的食品速冻设备和装置，到二十世纪九十年代，我国已经开发出了十多种食品速冻设备，能满足冻结所需的各种规格、各种品种的食品之用。
在冰蓄冷空调系统的蓄冰槽研究方面，运用数值方法建立蓄冰槽的动态、静态数学模型，研究得到：
蓄冰槽内物质的物性、流动条件，及蓄冰槽的几何尺寸对蓄冰、融冰过程有着重要的影响[7]。
国内的一些专家学者也进行了相应的研究，其中刘道平针对单一圆管以及管束外有限空间内水体的冻结过程及其机理进行了深入研究,得出了指导壳管式蓄冰槽设计的有益结论,推动了闭环冰蓄冷系统的应用，掌握了固-液界面的变化规律[8]。
对蓄冰槽传热过程的模拟分析研究，有助于指导蓄冰槽的设计和运行控制的优化。
在飞机迎风面结冰、融冰方面，人类早在上个世纪20年代就对此予以关注，为此许多专家还专门设计了计算结冰过程的软件，如美国的LEWICE，法国的ONERA，加拿大的FENSAP—ICE等[9]。
国内近几年才开始进行数值模拟研究，杨倩采用Lagrange法对发动机进气道外的水滴撞击特性进行模拟，采用Euler法对机翼结冰进行数值模拟，分析了结冰对气动性能的影响[10]。
经过几十年的研究，人们发现影响飞机结冰量的大小、结冰的范围以及结冰的冰型主要取决于：
飞机飞行气象条件，飞机的外形形状，飞机的飞行状态，飞机表面粗糙度[11][12]。
对这四个因素的模拟分析研究，对于飞机的安全飞行有着很重要的作用。
1.3模型的选取
目前，在数值模拟相变导热过程中边界移动问题的方法主要有固定网格技术和追踪界面的动网格技术。
由于固定网格法在解决相变问题时，可以简单地从要求的温度场中直接得出相变界面，因而被广泛的使用[13]。
在使用动网格技术时，由于温度场和相变界面的位置都是变化的，因此，对相变位置的连续追踪就显得极为重要，但是执行起来也更为麻烦。
求解相变导热问题的数学模型，也分为两大类[14]。
第一类：
单区域模型，因模型同时应用于固相区、液相区和两相区、使得这些区域互相耦合，所以只需应用一套固定的网格和一组边界条件就可以对问题进行求解了，因而统一模型被广泛采用。
焓法、显热容法和固定网格法是目前数值计算中较好的统一模型，且适用于多维问题的数值求解。
第二类：
多区域模型，即对各相区分别建立控制方程组，通过在相界面上建立合适的边界条件来描述固相区、液相区和两相区的耦合关系。
1.4本文拟采用的研究方法
本文采用分区域模型，分别建立固、液两相的能量方程和传质方程，采用移动网格技术追踪界面运动情况。
在此基础上应用Fortran语言程序对模型进行计算，并对不同工况下的温度变化情况进行计算结果分析[15][16]。
2数学模型的建立
本文采用分区域模型，分别建立固、液两相的能量方程和传质方程，对单个水滴在冷空气流中的凝固过程以及表面冰层的升华过程建立数学模型，研究液滴相变过程的传热传质规律。
2.1模型假设
模型的建立基于以下几点假设：
1、水为不可压流体、纯净且各相同性；
2、液滴为理想球形；
3、液滴的结冰过程是由外向内的，固液两相的导热系数、定压比热、密度等均为常数，不随温度变化；
4、液滴与周围环境的辐射换热忽略不计。
2.2模型示意图
图2-1所示为液滴在冷空气流中凝固同时表面冰层升华过程的模型示意图，在冰层表面存在由升华引起的传质换热和对流换热，同时由于冰层升华液滴表面向中心运动，并且凝固过程从表面开始发生，液滴内部还存在凝固界面向中心运动。
图2-1液滴在冷空气流中凝固过程示意图
图中：
ε（t）——液滴内凝固界面半径/m；
rs（t）——液滴表面升华界面半径/m；
Tf——液滴内凝固界面温度/K；
Ts——液滴表面温度/K；
Vf——液滴内凝固界面移动速度/m·s-1；
VS——液滴表面升华界面移动速度/m·s-1；
——液滴表面冰层升华的质量变化率/Kg·s-1；
qS——液滴表面冰层升华的传质换热热流密度/W·m-2；
qh——液滴表面对流换热热流密度/W·m-2。
模型考虑了液滴在冷空气流中凝固过程时，液滴表面和空气的传质所引起的热量传递，液滴表面和周围空气的对流换热，凝固界面和升华界面的双移动边界，和液滴内部的温度分布情况。
2.3模型的建立
1、在固相区的导热微分方程为：
（2-1）
2、在液相区的导热微分方程为：
（2-2）
3、初始条件：
（2-3）
4、边界条件：
由于液滴内部存在两个移动边界，在两个边界上存在四个未知量，分别是升华界面和凝固界面两个移动界面的移动速度VS、Vf，以及界面温度Ts、Tf。
故需引入四个边界条件才能使方程组封闭。
对于液滴升华界面的传热，满足传热学的第二类边界条件，由于我们只考虑了液滴表面与周围空气的传质换热和对流换热，忽略了液滴的辐射换热，所以液滴升华表面的换热量就等于传质换热和对流换热的和；即：
（2-4）
针对升华界面的移动速度，我们考虑到升华界面和周围空气发生传质而引起液滴的质量减少是造成升华界面向液滴中心运动的原因。
即：
（2-5）
由于传质过程是因为液滴和周围空气的密度差引起的，表面冰层的升华率
可以由传质理论的Fick定律表示，即：
（2-6）
所以升华界面的运动速度为：
（2-7）
在液滴的凝固界面上，液滴凝固释放出凝固潜热Lf，使界面两侧的介质温度发生变化，凝固界面上满足能量守恒，即：
（2-8）
对于凝固界面的移动速度，根据非平衡热力学理论，实际的相变过程是在两相的吉布斯自由能差△G驱动下实现的。
在相变过程中，物质只可能从化学势高的一相向化学势低的一相转化。
图2-1为不同温度下固相和液相的吉布斯自由能的变化情况：
图2-1不同温度下固相和液相的吉布斯自由能变化
图中的交点为理论凝固点，所对应的温度为理论凝固温度。
低于该温度时，液相的自由能高于固相的，液滴凝固；相反高于理论凝固温度时，固相的自由能高于液相，液滴熔化。
因此，要想发生凝固，必须使液相的自由能高于固相的自由能，即实际凝固温度低于理论凝固温度，且温度的差距越大，即过冷度越大，凝固发生的越快。
由于吉布斯自由能差可采用如下近似表达式：
（2-9）
Lf——凝固潜热/J·mol-1；
Tm——平衡凝固温度/K。
因此，在过冷度不大的情况下，凝固界面移动速度Vf可简化为界面过冷度的线性关系：
（2-10）
式中
为动力学系数。
2.4传质传热和对流换热
液滴与外界环境的对流换热热流密度
为：
（2-11）
式中：
h——表面对流换热系数/W·m-2·K-1，可由努塞尔数Nu计算获得：
（2-12）
普朗特数：
（2-13）
，
分别是空气的密度和粘度，
为空气的热扩散率。
当空气低于零度时，Pr一般取0.7。
液滴表面冰层升华引起的质量变化率为：
（2-14）
则液滴表面冰层升华引起的传质换热热流密度
为：
（2-15）
该式基于传质理论的Fick定理，即冰层的升华是由于冰层表面水蒸气和环境空气中水蒸气的密度差造成的。
式中：
Lf——水升华的相变潜热/J·Kg-1
hm——传质系数/m·s-1
ρs——冰层表面水蒸汽密度/Kg·m-3
ρa——周围空气的密度/Kg·m-3
传质系数hm可由舍伍德数求得：
（2-16）
其中：
雷诺数
（2-17）
施密特数
（2-18）
式中：
为空气的流速。
上述公式中物性参数的取值方法如表2-1。
表2-1计算中物性参数的取值表
物理量
单位
取值
Tf
oC
0
kl
W·m-1·K-1
0.569
ks
W·m-1·K-1
2.26
ka
W·m-1·K-1
0.025
cl
J·Kg-1·K-1
4218
cs
J·Kg-1·K-1
2050
Lf
J·Kg-1
3.33×105
ρL
Kg·m-3
1000
ρS
Kg·m-3
917
ρa
Kg·m-3
2.69
μa
Pa·s
18.2×10-6
D0
m2s-1
0.000022
Km
ms-1K-1
0.0028
Pra
/
0.72
3应用Fortran程序计算过程
本章在上一章所建模型基础上，应用Fortran语言程序进行模型计算。
计算思路为：
首先利用坐标变换的方法，处理移动边界的问题；然后采用控制容积积分法将上一章所建立的模型进行网格离散；最后应用TDMA算法和Fortran程序进行计算。
下面对计算过程进行详细说明。
3.1针对移动边界的坐标转换
液滴在冷空气流中的凝固过程，存在液滴表面冰层升华和液滴内部快速凝固两种相变过程，并伴随同时向液滴中心运动的两个移动界面。
对移动边界的捕捉，采用坐标转换的动网格技术，在液相区内引入无量纲参数η：
（3-1）
则在液相区内，η从0到1变化，在液滴中心处η=0，凝固界面处η=1。
同样，在固相区内引入无量纲参数ξ：
（3-2）
则在液相区内，ξ从0到1变化，在液-固界面处ξ=0，在液滴表面ξ=1。
将液相区和固相区的导热微分方程经过坐标转换分别得到：
（3-3）
（3-4）
上述（3-3）式右侧第二项反映了凝固界面的运动对液相区能量守恒方程的影响；在固相区的能量守恒方程需同时考虑凝固界面和升华界面的运动，如（3-4）式右侧第二项和第三项。
边界条件经过坐标变换得：
r=rs（t）
（3-5）
（3-6）
r=
（3-7）
（3-8）
3.2控制容积积分法的网格离散
数值计算的第一步就是进行区域的离散化，工程上常用的区域离散化的方法主要有有限差分法中的Taylor展开法和有限容积法中的控制容积积分法。
Taylor展开法偏重于从数学角度进行推导，把控制方程式中的各阶导数用相应的差分表示式来代替，其优点是易于对离散方程进行数学特性的分析，但是对于变网格长度问题，导出过程的物理概念不清楚。
而控制容积积分法侧重于从物理的角度进行分析，每一个离散方程都是有限大小容积上某种物理量守恒的表达式，推导过程物理概念清晰，且结果一定是收敛的。
故本文采取控制容积积分法差分对计算区域进行网格离散。
图3-1为网格离散示意图。
图3-1网格离散示意图
对进行坐标转换后的液相控制方程采用控制容积积分法后，得到：
（3-9）
其中：
（3-10）
（3-11）
（3-12）
取
随
呈分段线性的变化，则：
（3-13）
（3-14）
（3-15）
（3-16）
将上式带入坐标转换的后的方程中得：
（3-17）
整理成如下形式：
（3-18）
其中：
（3-19）
（3-20）
（3-21）
（3-22）
同理，固相区导热微分方程通过网格离散，也可以得到如下形式：
其中：
（3-23）
（3-24）
（3-25）
（3-26）
式中：
△ε——一个时间步长内凝固界面的运动距离/m；
△rs——一个时间步长内升华界面的运动距离/m。
3.3TDMA算法
计算过程中，沿径向划分在液相区内的网格数为75，固相区内的网格数为75，液滴内的网格总数为150，时间步长△t为10-7s，数值求解方法采用三角对阵法（TDMA）。
即对于网格离散后控制方程的统一形式：
（J=1~150）（3-27）
显然当J=1时，CJ=0；而J=150时，BJ=0，即首位两个节点的方程中仅有两个未知数，下面采用消元和回代的方法。
消元时，从J=2开始，逐一把每个式子中的非零元素消去一个，使原来的三元方程化为二元方程。
消元进行到最后一行时，该二元方程化为一元方程，可立即得出该未知量的解，然后逐一往回代，由各二元方程解出其它未知量。
消元的目的是把（3-27）式化成下列形式的方程：
（3-28）
其中：
（3-29）
（3-30）
这两个计算
，
的通式是递归的，即要计算
，
，需要知道
，
，最终要知道P1，Q1之值。
P1，Q1可以由左端点的离散方程来确定：
其中：
所以：
，
当消元进行到最后一行时，有：
，
而：
所以：
=
逐个往回回代，可以得出TJ（J=149,……1）。
3.4程序思路
如上所述，应用fortran语言程序进行计算，首先需要对模型进行坐标变换以解决移动界面的问题，然后对坐标变换后的微分方程采用控制容积积分法进行网格离散，并用TDMA算法进行迭代计算。
最终得到某一工况下（即某一个空气流速和液滴尺寸下），液滴在凝固过程中液滴温度分布和变化情况。
具体程序设计步骤为：
（1）结冰开始时刻，已知升华界面与凝固界面温度一致Td,s0=Tf0。
（2）由式（2-10）可获得液滴表面过冷引起的凝固界面运动速度Vf，以及一个时间步长内凝固界面的移动距离△ε=Vf△t。
（3）由已知空气流速，获得雷诺数Re、施密特数Sc，并根据公式（2-16）计算得到舍伍德数Sh和传质系数hm。
根据液滴表面温度得到液滴表面冰层水蒸气压，由（2-7）和（2-15）式，得到升华界面运动速度VS、液滴表面传质换热的热流密度qm，以及一个时间步长内升华界面的移动距离△rs=VS△t。
（4）通过坐标转换后的能量方程和定解条件，求解液滴内部温度分布，得到新的液滴表面温度Td,s1和新的凝固界面温度Tf1。
（5）采用新的液滴表面温度和凝固界面温度，重复步骤
（2）~（4），直到满足收敛条件：
（3-31）
（6）液滴表面温度和凝固界面温度均收敛后，进入下一个时间步长，重复步骤
（2）~（5），液滴表面半径随时间的变化为：
（3-32）
液滴内凝固界面半径随时间的变化为：
（3-33）
3.5Fortran语言简介
FORTRAN，亦译为福传，是英文“FORmulaTRANslator”的缩写，译为“公式翻译器”，它是世界上最早出现的计算机高级程序设计语言，广泛应用于科学和工程计算领域。
FORTRAN语言以其特有的功能在数值、科学和工程计算领域发挥着重要作用。
1951年，美国IBM公司约翰·贝克斯（JohnBackus）针对汇编语言的缺点着手研究开发FORTRAN语言，并于1954年在纽约正式对外发布。
约翰·贝克斯提出的FORTRAN语言称为FORTRANⅠ，FORTRANⅠ虽然功能简单，但它的开创性工作，在社会上引起了极大的反响。
到1957年第一个FORTRAN编译器在IBM704计算机上实现，并首次成功运行了FORTRAN程序。
1958年，FORTRANⅠ进行了扩充和完善，引进了子函数等概念，推出了商业化的FORTRANⅡ版本。
之后，FORTRAN语言发展迅速，多种版本相继在其它计算机上实现。
Fortran语言的主要特性有：
1、Fortran语言最接近数学公式的自然描述，在计算机里具有很高的执行效率。
2、易学，语法严谨。
3、可以直接对矩阵和复数进行运算，这一点类似matlab。
4、自诞生以来广泛地应用于数值计算领域，积累了大量高效而可靠的源程序。
5、很多专用的大型数值运算计算机针对Fortran做了优化。
6、广泛地应用于并行计算和高性能计算领域。
Fortran语言是一种极具发展潜力的语言，在全球范围内流行过程中，Fortran语言的标准化不断吸收现代化编程语言的新特性，虽然没有现在流行的的JAVA，C++等高级语言具有创造性，但是很多优秀的工程计算软件都是运用Fortran语言编写，在工程计算领域仍然占有重要地位。
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