高二数学竞赛培训教材.docx

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高二数学竞赛培训教材

2011高中数学竞赛培训教材

（一）集合与容斥原理

　　集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。

它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。

对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言（术语与符号）来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。

如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程（组）或不等式（组）的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。

一、学习集合要抓住元素这个关键

例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：

X1X2∈A。

分析：

A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个（相同或不相同）数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：

两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即（a2+b2）（c2+d2）=（M）2+（N）2，M,N∈Z

证明：

设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝（a2+b2）（c2+d2）

＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝（ac+bd）2+（bc-ad）2

又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A

练习:

1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：

S=T。

2.设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z}.求证：

（1）一切奇数属于M;

（2）4k-2（k∈Z）不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。

3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f（x）},B={x|x=f[f（x）]}.

（1）求证:

A

B;

（2）若A={-1，3}时，求集合B.

二、集合中待定元素的确定

例2．已知集合M＝{X，XY，lg（xy）}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则（X＋1/Y）＋（X2＋1/Y2）＋……＋（X2002＋1/Y2002）的值等于（　）.分析：

解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。

这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系（子、全、补、交、异、空、等）有本质的理解，对于两个相等的有限集合（数集），还会用到它们的简单性质：

（a）相等两集合的元素个数相等；（b）相等两集合的元素之和相等；（c）相等两集合的元素之积相等.

解：

由M＝S知，两集合元素完全相同。

这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lg（XY）＝0，从而XY＝1.∴M＝{X，1，0}，S＝{0，∣X∣，1/X}.再由两集合相等知

当X＝1时，M＝{1,1，0}，S＝{0,1，1}，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X＝1不满足题目要求；

当X＝－1时，M＝{－1,1，0}，S＝{0,1，－1}，M＝S，从而X＝－1满足题目要求，此时Y＝－1，于是X2K＋1＋1/Y2K＋1＝－2（K＝0,1，2，……），X2K＋1/Y2K＝2（K＝1,2，……）,故所求代数式的值为0.

练习:

4.已知集合

，

，其中

是正整数，且

，并满足

，

中的所有元素之和为234，求集合A。

三．容斥原理基本公式:

（1）card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）；

（2）card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C）

问题：

开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？

只参加游泳一项比赛的有多少人？

设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学},则card（A）=15，card（B）=8，card（C）=14，card（A∪B∪C）=28,且card（A∩B）=3，card（A∩C）=3，card（A∩B∩C）=0,由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card（B∩C）+0,即card（B∩C）=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9（人）

四、有限集合子集的个数

例3．一个集合含有10个互不相同的两位数。

试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。

分析：

两位数共有10,11，……,99，计99－9＝90个，最大的10个两位数依次是90,91，……,99，其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有210－1＝1023个，这是解决问题的突破口。

解：

已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98＋99＝945<1023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。

如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含各数之和相等。

说明：

此题构造了一个抽屉原理模型，分两步完成，计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”，计算非空子集得1023个“苹果”，由此得出必有两个子集数字之和相等。

第二步考察它们有无公共元素，如无公共元素，则已符合要求；如有公共元素，则去掉相同的数字，得出无公共元素并且非空的两个子集，满足条件。

例4．设A＝{1,2，3，…，n}，对X

A，设X中各元素之和为Nx，求Nx的总和

.

解：

A中共有n个元素，其子集共有2n个。

A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次，（为什么？

因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也都是{1,2，…，i-1,i+1,…n}的子集，共2n-1个；另一类是含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去）。

因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了2n-1次，即出现了2n-1次，故得　

＝1×2n-1＋2×2n-1＋…＋n……2n-1＝（1＋2＋…＋n）·2n-1＝n（n+1）/2×2n-1＝n（n+1）×2n-2

说明：

这里运用了整体处理的思想及公式1＋2＋…＋n＝（1/2）n（n+1），其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等,集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次，是打开解题思路之门的钥匙。

练习:

5.设集合A

{1,2,3,……,100},且对任意x,y∈A,必有2x≠y,求集合A中所含元素个数的最大值.

6.某地区网球俱乐部都有20名成员,举行14场单打比赛,每人至少上场1次.求证:

必有6场比赛,其12名参赛者各不相同.

（二）二次函数

　一、二次函数的解析式:

①定义式：

f（x）=ax2+bx+c.②顶点式：

f（x）=a（x-h）2+k.

③零点式：

f（x）=a（x-x1）（x-x2）.（a≠0）

　二、二次函数的最值:

当自变量的取值范围为闭区间[p,q]时，其最值在f（p）、f（q）、f（-b/2a）三者中取得，最值情况如下表：

-b/2a∈[p,q]

　　　-b/2a 

[p,q]

a>0

fmin=f（-b/2a）=（（4ac-b2）/4a）

fmax=max{f（p）,f（q）}

fmin=min{f（p）,f（q）}

fmax=max{f（p）,f（q）}

a<0

fmax=f（-b/2a）=（（4ac-b2）/4a）

fmin=min{f（p）,f（q）}

例1.当x为何值时，函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2取最小值。

解：

∵f（x）=（x2-2a1x+a12）+（x2-2a2x+a22）+…+（x2-2anx+an2）=nx2-2（a1+a2…+an）x+（a12+a22+…+an2）∴当x=（a1+a2+…+an）/n时，f（x）有最小值.

　例2.已知x1,x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的两个实数根，x12+x22的最大值是____.

解：

由韦达定理得：

x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5.∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5

=-k2-10k-6=-（k+5）2+19.已知x1,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式Δ≥0，即Δ＝（k-2）2-4（k2+3k+5）=-3k2-16k-16≥0解得：

-4≤k≤-4/3.∵k=-5

[-4,-4/3]，设f（k）=-（k+5）2+19则f（-4）=18,f（-4/3）=50/9<18.∴当k=-4时，（x12+x22）max=18.

例3.已知f（x）=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式。

解：

f（x）=（x-1）2+1

（1）当t+1<1即t<0时，g（t）=f（t+1）=t2+1

（2）当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g（t）=f

（1）=1（3）当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t+2

　综合

（1）、

（2）、（3）得：

例4．

（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；

（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。

解：

（1）由x2+2y2=1得y2=1/2（1-x2），2x+3y2=2x+（3/2）（1-x2）=（-（3/2））（x-（2/3））2+（13/6）

又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1.∴当x=2/3时，y=（√10）/6，（2x+3y2）max=16/3；

当x=-1时，y=0，　（2x+3y2）min=－2

（2）由3x2+2y2=6x，得y2=（3/2）x（2-x），代入x2+y2=x2+（3/2）x（2-x）=-1/2（x-3）2+9/2

又y2=（3/2）x（2-x）≥0，得0≤x≤2.当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，（x2+y2）min=0

三、二次函数与二次方程

设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的二实根为x1,x2，（x1＜x2），Δ=b2-4ac，且α、β（α＜β）是预先给定的两个实数。

1．当两根都在区间（α,β）内，方程系数所满足的充要条件

∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f（x）的图象有下列两种情形

　当a＞0时的充要条件是：

Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f（α）＞0，f（β）＞0

　当a＜0时的充要条件是：

Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f（α）＜0，f（β）＜0

　两种情形合并后的充要条件是：

Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af（α）＞0，af（β）＞0  ①

　2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件

　∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f（x）的图象有下列四种情形

　从四种情形得充要条件是：

f（α）·f（β）＜0　　②

　3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件

（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时

∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f（x）的图象有下列两种情形

（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁