高三数学联考试题 理.docx
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高三数学联考试题理
2019-2020年高三数学联考试题理
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：
锥体体积公式
其中S为锥体的底面积，
为锥体的高.
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，那么集合
为
A．
B．
C．
D．
2．若复数
满足
则
在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．函数
的一条对称轴为
A.
B.
C.
D.
4．已知向量
的夹角为120
，
，且
，则
A．6B．7C．8D．9
5．函数
与
在同一平面直角坐标系内的大致图象为
6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果
的值为
A．0B．
C．
D．
7．已知椭圆
与双曲线
共焦点
，设它们在第一象限的交点为
，
且
，则双曲线的渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
8．若实数
满足
，则
的最小值为
A．8B．
C．2D.
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．已知
是等差数列，
，
，则该数列前10项和
．
10．一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为
的等边
三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为.
11．不等式
的解集是．
12．从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有种（用数字作答）．
13．给出下列四个命题：
①已知
服从正态分布
，且
，则
；
②“
”的一个必要不充分条件是“
”；
③函数
在点
处的切线方程为
；
④命题
；命题
．则命题“
”是假命题．
其中正确命题的序号是．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆
与直线
相交所得的弦长为.
15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙
是
的外接圆，
，延长
到点
，使得
，连结
交⊙
于点
，连结
，若
则
的大小为.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在
中，内角
所对的边长分别是
已知
，
.
（1）求
的值；
（2）若
，
为
的中点，求
的长.
17．（本小题满分12分）
甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为：
指标大于或等于85为正品，小于85为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
元件甲
8
12
40
32
8
元件乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估计元件甲、元件乙为正品的概率；
（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元.在
（1）的前提下，记
为生产1件元件甲和1件元件乙所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图所示，已知
垂直以
为直径的圆
所在平面，点
在线段
上，点
为圆
上一点，且
，
（1）求证：
⊥
；
（2）求二面角
的余弦值．
19．（本小题满分14分）
已知数列
的前
项和为
，满足
．
（1）求
；
（2）求
；
（3）设
，求证：
对任意正整数
，有
．
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系
中，
两点的坐标分别为
、
，动点
满足直线
与直线
的斜率之积为
，直线
、
与直线
分别交于点
．
（1）求动点
的轨迹方程；
（2）求线段
的最小值；
（3）以
为直径的圆是否经过某定点？
若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数
，
（
）．
（1）当
时，求函数
的值域；
（2）试讨论函数
的单调性．
海珠区2014学高三综合测试
（二）
理科数学参考答案与评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.解：
（1）
且
，∴
．………………1分
∴
………………2分
………………4分
………………5分
．………………6分
（2）由
（1）可得
．………………7分
由正弦定理得
，即
，………………8分
………………12分
17．解：
（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件甲有80件，为正品的元件乙有75件.………………1分
所以元件甲、乙为正品的频率分别为
，
.………………3分
根据频率可估计元件甲、乙为正品的概率分别为
，
.………………4分
（2）随机变量
的所有取值为150，90，30，－30，………………5分
则
，
，
，
．………………9分
所以
的分布列为：
150
90
30
-30
………………10分
的数学期望为
.……………12分
18．解：
（1）由
，知
，
，点
为
的中点．……1分连接
．∵
，∴
为等边三角形．……………2分
又点
为
的中点，∴
．……………3分
∵
平面
，
平面
，
∴
．……………4分
又
，
平面
，
平面
，
∴
平面
．……………5分
又
平面
，
∴
⊥
．……………6分
（2）解法1:
过点
作
，垂足为
，连接
．
由
（1）知，
平面
，又
⊂平面
，∴
⊥
．……………7分
又
，∴
⊥平面
．
又
⊂平面
，∴
⊥
．……………8分
∴
为二面角
的平面角．……………9分
因为
，∴
，则
．……………12分
在
中，由
（1）可知
，∴
，………13分
∴
，即二面角
的余弦值为
．……………14分
解法2:
由
（1）可知，
三线两两垂直，以
原点，以
分别为
轴建立空间直角坐标系.………7分
则
………8分
∴
………9分
设平面
与平面
的法向量分别为
显然平面
法向量为
，………10分
由
，
∴
，解得
………11分
∴
………12分
，………13分
∴二面角
的余弦值为
．………14分
19．解：
（1）当
时，
，∴
，……………1分
当
时，
，∴
，……………2分
∴
．……………4分
（2）由
（1）猜想：
.……………5分
下面用数学归纳法证明：
当
，
显然成立；
假设当
时命题成立，即
，那么当
时，
，
即
时命题也成立，
综上可知，
．……………9分
（3）由
（2）知
，……………10分
∴
，………11分
∴
，…13分
∴
．……………14分
20.解：
（1）已知
，设动点
的坐标
，
∴直线
的斜率
，直线
的斜率
（
），………2分
又
，∴
，………………3分
即
．………………4分
（2）设直线
的方程为的
，直线
的方程为的
，
………………6分
由
，得
，∴
；………………7分
由
，得
，∴
，………………8分
由
，∴
，………9分
当且仅当
，即
时，等号成立，
∴线段
长的最小值
．………………10分
（3）设点
是以
为直径的圆的任意一点，则
，即
，………………11分
又
，
故以
为直径的圆的方程为：
，………………12分
令
，得
，解得
，………………13分
∴以
为直径的圆经过定点
或
．………………14分
21.解:
（1）当
时，
，………………1分
当
时，
，当且仅当
时，
取最小值2．…………2分
当
时，
，
，
在
上单调递增，所以
．………………3分
所以当
时，
的值域为
．………………4分
（2）由
，得
，………………5分
①当
时，
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，………………6分
当
时，
，
在区间
上单调递增．………………7分
②当
时，
，
当
时，
，
在区间
上单调递增．………………8分
当
时，令
，解得
，舍去负值，得
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，………………9分
当
时，
，
在区间
上单调递增．………………10分
③当
时，
，
当
时，
，
在区间
上单调递减．……………11分
当
时，令
，得
，
下面讨论
是否落在区间
上，
令
，解得
，令
，解得
，
当
时，当
时，
，
在
上单调递减．……………12分
当
时，在
上存在极值点
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减．……………13分
综上所述：
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
和
上
单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减．……………14分
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