关于三角形旁切圆的若干命题.docx
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关于三角形旁切圆的若干命题
关于三角形旁切圆的若干命题
定理1如图
（1），⊙
、⊙
是△ABC的两个旁切圆，⊙
分别切BC、AB于D、E、⊙
分别切BC、AC于G、F,射线
E、
F交于K。
△ABC内心为I，求证：
KI⊥BC，且KI=K
=
。
图
（1）图
（2）
引理1：
图（3）四边形ABCD,若AB=AD,∠B+∠D=∠C,
则AB=AC=AD
证明：
若AC＞AB，则∠BCD＜∠B+∠D，反之亦然
所以AB=AC=AD
图（3）
现在证明定理：
证明：
如图
（2），连接
，
C，
B则两条线交于点I。
延长KI交BC于L。
则知
因此
，
，于是
进而
，根据引理得KI=K
=
。
于是知
，
所以AI⊥BC。
定理2如图（4），⊙
、⊙
、⊙
是△ABC的三个旁切圆，⊙
分别切AB于D，⊙
分别切BC于G,⊙
分别切边AB,AC于M,K，
D交
M于P，
G交
K于Q，求证：
（1）P
=Q
。
（2）PM=KQ,（3）PQ
是平行四边形
图（4）图（5）
证明
（一）：
如图（5），设△ABC内心为I，则I在A
上，于是根据定理1结论知PI=P
、QI=Q
，又∠I
P=∠I
Q，所以四边形PIQ
菱形。
于是知P
=Q
。
因为
M=
K,因此PM=KQ，根据定理1可知：
P
=PI=QI=Q
P
⊥BC,Q
⊥BC,所以P
//Q
于是PQ
是平行四边形
证明
（二）连接
，必过点C,根据旁切圆半径公式：
（
R分别是A-,B-,旁切圆半径，三角形ABC外接圆半径），易知∠C
Q=∠C
Q=
可知
Q=
Q,
于是
，
=
C+C
=
于是
Q=
Q=2R,同理
P=
P=2R，其他同（证法一）
推论1如图（6），⊙
、⊙
、⊙
分别是△ABC的C-,B-,A-三个旁切圆，⊙
分别切边AC,BC于D、F，⊙
分别切边AB,BC于E,G、⊙
分别切边AB,AC于M，K,
D交
M于P，
G交
K于Q，
F交
G于R，求证：
Q、
P、
R三线共点。
图（6）图（6）
证明：
图（7）根据定理2，可知
QP是平行四边形，
Q,
P互相平分，同理
P、
R互相平分，可知
Q、
P、
R三线共点。
且交点为三条对角线中点。
推论2如图（8）⊙
、⊙
、⊙
是△ABC的三个旁切圆，⊙
分别切边BC,AC于D、F，⊙
分别切边AB,BC于G、J，⊙
分别切边AC,AB于K、M，
D交
M于P，
J交
K于Q，
F、
G交于R，求证：
RA、PB、QC三线共点。
图（8）
证明：
根据定理2知：
RF=DP，PM=KQ，QJ=GR。
于是知
，根据赛瓦定理知RA、PB、QC三线共点。
定理（三）如图（9），⊙
、⊙
是△ABC的C-,B-个旁切圆,⊙
分别切边AC,BC于D、F，⊙
分别切边AB,BC于G,J,AH⊥FG
求证：
∠FAR=∠HAG
证明：
易知
因此
，可得:
进而
①，或
（舎）
②，①+②得∠FAR=∠HAG
图（9）
推论1如图（10）⊙
、⊙
、⊙
是△ABC的三个旁切圆，⊙
分别切边BC,AC于D、F，⊙
分别切边AB,BC于G、J，⊙
分别切边AC,AB于K、M，AU⊥FG，BV⊥DM，CW⊥JK，求证：
AU、BV、CW三线共点。
图（10）图（11）
证明：
如图，设
D交
M于P，
J交
K于Q，
F、
G交于R。
则根据定理3，定理2的推论2，知
。
根据赛瓦定理知AU、BV、CW三线共点。
定理4如图（12）⊙
、⊙
、⊙
是△ABC的三个旁切圆，⊙
分别切边BC,AC于D、F，⊙
分别切边AB,BC于G、J，⊙
分别切边AC,AB于K、M，DM交JK于S，求证：
AS⊥BC。
图（12）图（13）
引理图（14）已知H是△ABC边BC上一点，则
的充要条件
是AH⊥BC
证明：
设∠CAH=x,则∠BAC=A-X，
，
等价于
因为
A+B+C=180°，因此
，
可知
等价于
图（14）
即
或
=180°（舎），得
，
也就是C+x=90°，即AH⊥BC
证明：
如图（13），设
D交
M于P，
J交
K于Q，连接BP交DM于U，连接CQ交JK于V。
根据引理知要证AS⊥BC，只需证明：
，根据正弦定理：
可知
，结论就等价于
（1）
于是要证明
（1），只需证明：
，也即只需证明：
，即只需证明
，根据BD=CJ,定理2，此式显然成立，命题得证。
推论1如图（15），⊙
、⊙
、⊙
是△ABC的三个旁切圆，⊙
分别切边BC,AC于D、F，⊙
分别切边AB,BC于G、J，⊙
分别切边AC,AB于K、M，直线FG、DM、JK两两交于R、S、T，
求证：
AS、BT、CR交于一点,且交点就是△ABC垂心
证明：
根据定理4，AS⊥BC,BT⊥AC,RC⊥AB。
AS、BT、CR交于一点，且交点就是△ABC垂心
图（15）
定理5如图（16），圆
圆
，圆
分别是三角形ABC边BA,AC,BC的旁切圆，切点G,H,I,J,K,L，内切圆切点D,E,F,直线LK,IJ,FG,两两相交于M,N,P
求证:
证明设三角形ABC半周长为p,三边为a,b,c,
三角A,B,C,易知GC=HC=BK=BL=AJ=AI=p,因此
AG=CJ,HB=CK,BI=AL，
在三角形BNH,BNI,CJP,CKP,AJM,AJG中，图（16）
根据正弦定理：
于是
，
进而直线BN,CP,MA交于一点，
（1）得证
现在我们证明
（2）设AI交GH于T,AT截三角形CGH
根据Menelaus定理：
即
，得到：
，
IT=BT
BI=
=
，NJ截三角形JGH,根据Menelaus定理:
即：
，
，
，根据余弦定理：
，
（2002年保加利亚国家队选拔考试）如图（17），圆
圆
，圆
分别是三角形ABC边BA,AC,BC的旁切圆，切点G,H,I,J,K,L，内切圆切点D,E,F,直线LK,IJ,FG,两两相交于M,N,P
求证
（1）直线BN,CP,MA交于一点
（2）设直线BN,CP,MA交于一点U，
U点必是三角形ABC垂心，三角形MNP外心
证明：
根据定理5：
易知∠NIB=∠CJP,
于是∠BIN=∠CJP，进而∠INB=∠CJP,
∠NBI=∠JCP,可知UN=UP,同理UM=UP,
可得U是三角形MNP外心，根据∠NBI=∠JCP，
可知∠ABU=∠ACU,同理∠CBU=∠CAU,
∠BAU=∠BCU,可知∠A+∠ABU=90°，即
BU⊥AC,同理CU⊥AB,所以U点必是三角形ABC垂心
图（17）
推论1如图（18），圆
圆
，圆
分别是三角形ABC边BA,AC,BC的旁切圆，切点G,H,I,J,K,L，内切圆I,直线LK,HG相交于M,圆
切BC于S,
求证：
MS=A
MS//A
证明设R是三角形ABC外接圆半径，a,b,c是三角形ABC三边
根据定理5：
ML=
，
=
因此
=S
根据上题：
MA⊥BC,S
⊥BC,因此AMS
是平行四边形，
即MS=A
MS//A
图（18）
例一，已知如图，圆
圆
，分别是三角形ABC边AC,AB的旁切圆，切点
G,H,K,L，直线
L,
G相交于P,
求证：
AP⊥GL
引理2若
，
证明：
∵
∴
∴
（1）
又∵
∴
，
（2）
图19
于是
，代入
（1）有
（3）
若
，则由于
，知
。
由
（2）知
。
然而根据条件
，
知
。
矛盾。
若
（4）
由
（2）+（4）知
，
。
证毕。
证明有定理2可知N
=N
，根据定理3，只要证明∠GAN=∠PAL
根据引理：
只要证明
因为
，
所以
①,
因为N
=N
，所以∠N
=∠N
有①得：
=
=
=
②
③根据②，③可知
，即的结论
例二，已知如图，圆
圆
，分别是三角形ABC边AC,AB的旁切圆，切点
切点是D,E,FG,J,K,
K⊥AC于J,
J⊥AB于K,
K交
J于M,
求证AM⊥EF
证明：
根据定理3，延长
E交
F于N,连接
，
AN,我们可知∠EAN与△AEF边EF上高是等角线，
图20
只要证明∠EAN=∠BAM,
是四边形N
M
对称轴，所以
∠EAN=∠BAM,
例三圆
圆
，圆
分别是三角形ABC边BA,AC,BC的旁切圆，切点G,H,I,D,E,F，直线FG,HI,ED两两相交于K,J,L,直线
H,
Z交于Z,类似得到Y,X
求证：
JX,KJ,LZ共点
因此
，同理
根据定理2，可知YH=IZ,
DZ=XE,FX=GY,于是
，因此JX,KJ,LZ共
例四圆
圆
，分别是三角形ABC边BA,AC,的旁切圆，切点G,D,E,F，
G交AE于R,
D交AC于S
求证：
BC,RS,EF共点
证明：
记△ABC三角分别是A,B,C，边分别是a,b,c半周长p,设BC,SR交于P,EF,BC交于
易知
，
根据Menelaus定理得：
因此
BC,RS,EF共点等价于P,
重合，即证
，也就是证
，因为CF=CD,因此
例五△ABC三旁切圆切三边分别于D,E,F,G,H,I直线BF,CE,交于J,
直线AG,CH交于K,直线BI,AD交于L,
求证：
JA,KB,LC交于一点
证明易知
①
根据Menelaus定理：
因为FC=△ABC周长一半=BE,于是
代人①
得：
，②
同理
，③
，④
②×③×④得：
因此JA,KB,LC交于一点
例六已知如图，圆
，圆
分别是△ABC的B-,C-旁切圆，切点分别是D,E,F,G,H，直线
G交直线
H于Q,
D交直线AB于S,
Q交
S于P，O是△ABC外心
求证：
A,P,O共线
证明：
连接AJ并延长交BC于H
先证AH⊥BC,我们只要证明AJ//
G//
D
就可以了,因为
，
于是AJ//
G//
D，即AH⊥BC
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