学年浙江省湖州市高一下学期期中考试数学试题解析版.docx
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学年浙江省湖州市高一下学期期中考试数学试题解析版
2016-2017学年浙江省湖州市高一下学期期中考试数学试题
一、选择题
1．在等差数列
中，若
，
，则
A.6B.4C.0D.-2
【答案】D
【解析】由题意
2．如图，已知向量
，那么下列结论正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据向量加法的三角形法则，
向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，
与向量
反向且相等，所以
.故选择B.
3．用数学归纳法证明
（
）时，第一步应验证不等式为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据命题可知，不等式左边共
项，所以第一步验证当
时，左边应取3项.故选择D.
4．已知平面向量
与
的夹角等于
，
，则
A.2B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
.
5．在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，
，若
，
，
则
A.
B.
或
C.
D.
或
【答案】B
【解析】由正弦定理
得
或
.
点晴：
本题考查的是应用正弦定理解三角形.解决这类题的关键是一方面三角形中的正弦定理对应有两个角，锐角或者是钝角，不能丢掉其中一种情况;另一方面要借助三角形中大边对大角，进行取舍，本题中
又
，所以角
可以取两种情况，所以
或
.
6．已知等比数列
中，
，则前9项之和等于（）
A．50B．70C．80D．90
【答案】B
【解析】试题分析：
等比数列中，依次k项和成等比数列，
=（
）
=10，所以前9项之和为70，选B.
【考点】本题主要考查等比数列的性质、求和公式。
点评：
简单题，等比数列的性质散见在例题、练习之中，应注意汇总总结。
7．已知向量
满足
，且
在
方向上的投影与
在
方向上的投影相等，则
等于
A.
B.3C.
D.5
【答案】A
【解析】
在
方向上的投影与
在
方向上的投影相等,设这两个向量的夹角为
则
.
8．已知数列
满足
，
，则
的值为
A.0B.18C.96D.600
【答案】C
【解析】由题{
为等差数列，即
，所以
，所以
.
9．已知数列
是各项均不为0的正项数列，
为前
项和，且满足
，
，若不等式
对任意的
恒成立，求实数
的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由
得
整理得
数列
是各项均不为0的正项数列,
由
令
可得
，
不等式
即
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
单调递增，
取最小
，
，综上可得
，所以实数
的最大值为
.
点睛：
本题考查了数列通项的求法和数列求和，
（1）中是由
的关系求通项，要注意分
和
两种情况讨论，并且最后结果要看两种情况最后能否合并，根据情况写出正确的通项公式的表达形式;
（2）转化为
恒成立，要分
为偶数和
为奇数两种情况下求
的范围，再取交集.
10．在
中，
，点
在
上，
，
是
的中点，
，
，则
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
在
和
中，由正弦定理可得
.
二、填空题
11．已知向量
，且
，则
______，
_____.
【答案】5，
【解析】由题
，
.
12．在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，
，若
，
，
则
____，
的面积
____．
【答案】1
【解析】由余弦定理
.
13．已知等差数列
中，
，
，则公差
______，
______.
【答案】2193
【解析】
.
14．在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，
，若
，
，
，则
______，
____．
【答案】-1
【解析】
.
为锐角.由
可得
由正弦定理
得
.
15．已知向量
，
，点
在
内，且
，设
，则
_______.
【答案】
【解析】∵
，
即
.
又点
在
内，
.
16．已知数列
的前
项和
满足
，则
_______.
【答案】961
【解析】因为
，故当
时，
两式相减得
即
，故等比数列的公比为
所以
；由
点睛：
本题考查了数列通项的求法和数列求和，
（1）中是由
的关系求通项，要注意分
和
两种情况讨论，并且最后结果要看两种情况最后能否合并，根据情况写出正确的通项公式的表达形式;
（2）的求和，，由
所以从第6项开始各项为正，前五项为负，分组求和即可.
17．
是
所在平面上的一点，内角
所对的边分别是3、4、5，且
．若点
在
的边上，则
的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题知
为直角三角形，以
为原点，
所在直线为轴建立坐标系，则
设
由
可得
则
为
乘以
在
方向上的投影,所以当
重合时取最大为10，
重合时取最小时为-5.所以
的取值范围为
.
点晴：
平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数
量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
三、解答题
18．已知向量
是同一平面内的三个向量，其中
.
（Ⅰ）若
，且
，求向量
的坐标；
（Ⅱ）若
，且
，求
与
的夹角
.
【答案】
（1）
，或
;
（2）
.
【解析】试题分析：
（1）设
则由条件可得
可得向量
的坐标.
（2）由条件利用两个向量垂直的性质求得
可得
与
的夹角
余弦值.
试题解析：
（1）设
，由
，且
可得
所以
或
故
，或
（2）因为
，且
，所以
即
，所以
，
故
19．在
中，角
的对边分别是
，已知
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
，
，求
的面积．
【答案】
（1）
;
（2）
.
【解析】试题分析：
（1）根据余弦定理
，可得角
的大小；
（2）由余弦定理可得
的值，利用三角形面积公式即可求解．
试题解析：
（1）∵
，
，
，…4分
（2）∵
，所以
，，
∴
，
20．等比数列
的各项均为正数，且
，数列
满足
．
（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；
（Ⅱ）求设
，求数列
的前
项和
．
【答案】
（1）
;
（2）
.
【解析】试题分析：
（1）根据题干中给出的
之间的关系，解出公比和首项，从而得到等比数列的通项公式,将
的通项公式代入到
中可得
;
（2）由
（1）可得
，分组求和即可.
试题解析：
（1）因为等比数列
中
，故
，
，故
，又因为
，所以
，
（2）因为数列
，令数列
前
项和
，数列
自前
项和为
则
，
点睛：
本题考查了数列求和，一般数列求和方法
（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，
（2）裂项相消法求和，如
形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,（5）或是具有某些规律求和.
21．在锐角
中，角
所对的边分别是
，且
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）求
的范围．
【答案】
（1）
;
（2）
.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由条件可得
，因为
是锐角三角形,从而得到
，
.
（Ⅱ）利用诱导公式、两角和差的余弦公式化简
为
由角
的范围求出
的范围,即可得到
的取值范围.
试题解析：
（1）因为
，
所以
因为
，
所以
，
，所以
，因为
是锐角三角形，所以，
，
（2）因为
，所以
，
因为
是锐角三角形，所以
，
的范围
点晴：
本题考查的是三角恒等变换及三角函数的图像和性质.第一问的关键是，是由正弦定理结合三角形内角和及两角和的正弦公式求得
，结合
是锐角三角形，求得
，第二问中化两角为一角
，利用
是锐角三角形，求出
角范围即可求解.
22．已知数列
满足
．
（Ⅰ）若数列
是常数列，求
的值；
（Ⅱ）当
时，求证：
；
（Ⅲ）求最大的正数
，使得
对一切整数
恒成立，并证明你的结论．
【答案】
（1）
;
（2）见解析;（3）1.
【解析】试题分析：
（1）
.
（2）由条件得
得
，
又
显然有
，所以
与
同号,而
所以
即
.
（3）先由
猜测
.然后用数学归纳法证明即可.
试题解析：
（1）若数列
是常数列,则
；显然,当
时，有
（2）由条件得
得
，
又因为
两式相减得
显然有
，所以
与
同号,而
所以
；
从而有
（3）因为
，
所以
.这说明，当
时，
越来越大，不满足
，所以要使得
对一切整数n恒成立,只可能
.下面证明当
时,
恒成立；用数学归纳法证明:
当
时,
显然成立;假设当
时成立，即
则当
时,
成立，
由上可知对一切正整数
恒成立.因此,正数
的最大值是1.
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