协整与误差修正模型.docx

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协整与误差修正模型

第六讲协整与误差修正模型

一、非平稳过程与单位根检验

二、长期均衡关系与协整

三、误差修正模型

一、非平稳过程与单位根检验

1、非平稳过程

1）随机游走过程（randomwalk）。

yt=yt-1+ut,ut~IID（0,σ2）

差分平稳过程（difference-stationaryprocess）。

2）有漂移项的非平稳过程（non-stationaryprocesswithdrift）或随机趋势非平稳过程（stochastictrendprocess）。

yt=μ+yt-1+ut,ut~IID（0,σ2）

迭代变换：

yt=μ+（μ+yt-2+ut-1）+ut=…=y0+μt+

=μt+

差分平稳过程

3）趋势平稳过程（trend-stationaryprocess）或退势平稳过程。

yt=μ+αt+ut,ut~IID（0,σ2）

趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程：

∆yt=α+ut-ut-1。

所以应该用退势的方法获得平稳过程。

yt-αt=μ+ut。

4）确定性趋势非平稳过程（non-stationaryprocesswithdeterministictrend）

yt=μ+αt+yt-1+ut,ut~IID（0,σ2）

确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，∆yt=μ+αt+ut。

确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程，yt-αt=μ+yt-1+ut。

只有既差分又退势才能得到平稳过程，∆yt-αt=μ+ut。

5）单位根过程

前述的差分平稳过程可改写为：

（1-L）yt=μ+ut

滞后算子多项式1-L=0的根L=1称为“单位根”。

含有单位根的随机过程称为单位根过程。

如果一个序列在成为平稳序列之前必须经过d次差分，则该序列被称为d阶单整，记为I（d）。

2.单位根检验

1）DF（ADF）检验法（Dickey-Fuller,1979）

观察如下模型：

yt=βyt-1+ut,ut~IID（0,σ2）（1.a）

yt=μ+βyt-1+ut,ut~IID（0,σ2）（2.a）

yt=μ+αt+βyt-1+ut,ut~IID（0,σ2）（3a）

若/β/<1,则yt平稳；若/β/=1,则yt一阶单整；若/β/〉1,则yt发散。

假设H0：

β=1，yt非平稳；H1：

β<1。

yt平稳

检验统计量DF=

当DF〉临界值时，不拒绝原假设，yt非平稳。

前述三个方程可改写为：

∆yt=ρyt-1+ut,ut~IID（0,σ2）（1.b）

∆yt=μ+ρyt-1+ut,ut~IID（0,σ2）（2.b）

∆yt=μ+αt+ρyt-1+ut,ut~IID（0,σ（3.b）

其中ρ=β-1。

于是H0：

ρ=0，yt非平稳；H1：

ρ<0。

yt平稳

检验统计量DF=

=

。

其中

和

分别表示β和ρ的OLS估计量。

注意：

检验顺序（3.b）、（2.b）、（1.b）

2）ADF检验（增项或扩展的DF）

如果被检验的真实过程是一个AR（p）过程，而检验式是AR

（1）形式，那么由于对yt形式的设定错误，检验式对应的误差项必然表现为自相关。

当误差项具有相关性时，回归参数的检验统计量不再服从DF分布。

假定yt是AR（p）过程：

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ut

检验式应写为：

yt=βyt-1+

+ut∆yt=ρyt-1+

+ut

其中ρ=β-1=（

）-1，φj*=-

j=1,2,…,p–1。

如果ρ=0成立，则yt含有单位根。

称此检验为ADF检验。

在ADF检验式中也可以加入漂移项μ和时间趋势项t。

对于式：

∆yt=ρyt-1+

+μ+ut

H0：

yt是一个非平稳过程，H1：

yt是一个均值非零的平稳过程。

对于式：

∆yt=ρyt-1+

+μ+αt+ut

H0：

yt是一个非平稳过程，H1：

yt是一个确定性趋势平稳过程。

注意：

差分滞后项∆yt-j个数的选择非常重要。

滞后项个数太少，会导致当原假设为真时，拒绝原假设的概率变大。

当滞后项个数太多时，又会导致检验功效降低（当备择假设为真时，检出的概率变低）。

3）PP检验（Phillips-Perron,1988）

用非参数方法检验AR

（1）的平稳性。

对于方程：

∆yt=μ+ρyt-1+ut构造一个具有体分布的检验统计量tp,p。

H0：

ρ=0，yt非平稳；H1：

ρ<0。

yt平稳

使用PP检验必须定义截断滞后因子的滞后阶数q。

4）KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin,1992）

用从待检验序列yt中剔出截距项和趋势项的序列et构造LM统计量。

H0：

yt是一个平稳过程，H1：

yt是一个非平稳过程

5）ERS检验（Elliot-Rothenberg-StockPointOptimal，1996）

在待检验序列yt的拟差分序列回归基础上构造的统计量进行检验。

H0：

yt有一个单位根，H1：

yt是一个平稳过程。

6）NP检验（Ng-Perron，2001）

基于被检验序列yt的广义最小二乘退势序列∆ytd构造了四个检验统计量检验序列的平稳性。

二、长期均衡关系与协整

1、长期均衡

经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。

假设X与Y间的长期“均衡关系”由式：

描述

式中:

μt是随机扰动项。

该均衡关系意味着:

给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为α0+α1X。

在时期t，假设X有一个变化量∆Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:

式中，vt=μt-μt-1

一个重要的假设就是:

随机扰动项μt必须是平稳序列。

2、协整

如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量α=（α1,α2,…,αk），使得

Zt=αXT~I（d-b）

其中，b>0，X=（X1t,X2t,…,Xk）T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xk}是（d,b）阶协整，记为Xt~CI（d,b），α为协整向量（cointegratedvector）。

由此可见:

如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整；三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。

从协整的定义可以看出：

●（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：

两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。

●尽管这两时间序列是非稳定的，但可以用经典的回归分析方法建立回归模型。

●检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。

●从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。

3、协整检验

一是基于回归模型残差的协整检验；二是基于回归系数的协整检验。

变量间的Engle-Granger检验（Engle-Granger，1987）。

基于回归模型残差的协整检验，也称为EG检验，步骤如下：

第一步，若序列Yt和X1t，…，Xk均为一阶单整，用OLS方法估计方程：

Yt=α0+α1X1t+…+αkXkt+μt

并计算估计模型的残差

，

第二步，检验残差序列是否平稳（通常用ADF检验）。

若残差序列平稳，则可以确定变量之间存在协整关系；否则，变量之间不存在协整关系

需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项

，

而非真正的非均衡误差μt进行的。

而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量δ是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。

于是对

平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。

三、误差修正模型

1、误差修正模型

误差修正模型（ErrorCorrectionModel，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。

下面通过一个具体的模型来说明它的结构：

假设两变量X与Y的长期均衡关系为:

Yt=α0+α1Xt+μt

由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下（1,1）阶分布滞后形式

由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。

对上述模型适当变形得：

简记：

该式称为一阶误差修正模型（first-ordererrorcorrectionmodel）。

式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。

表明Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。

因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出了修正。

一阶误差修正模型式可以写成：

其中:

ecm表示误差修正项，λ是短期调整系数，其修正作用如下：

（1）若（t-1）时刻Y大于其长期均衡解α0+α1X，ecm为正，则（-λecm）为负，使得∆Yt减少；

（2）若（t-1）时刻Y小于其长期均衡解α0+α1X，ecm为负，则（-λecm）为正，使得∆Yt增大。

更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类似地建立。

对误差修正模型，Engle与Granger1987年提出了著名的Grange表述定理：

如果变量X与Y是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述。

2、误差修正模型的建立

1）Engle-Granger两步法

由协整与误差修正模型的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G两步法：

第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量；

第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。

需要注意的是：

在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。

另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。

2）直接估计法

可以采用打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS法估计模型。

但仍需事先对变量间的协整关系进行检验。

如对双变量误差修正模型：

可打开非均衡误差项的括号直接估计下式：

这时短期弹性与长期弹性可一并获得。

需注意的是，用不同方法建立的误差修正模型结果也往往不一样。

例：

以中国国民核算中的人均居民消费支出经过居民消费价格指数缩减得到中国人均居民实际消费支出时间序列（CP）；以支出法GDP对居民消费价格指数缩减近似地代表国民收入时间序列（GDP）时间段为1978~2000。

建立中国居民消费的长期均衡模型与误差修正模型。

（0.30）（57.48）

R2=0.994DW=0.744

T=（1.63）（6.62）（4.92）（-2.17）

R2=0.994DW=1.92LM

（1）=0.00LM

（2）=2.31

打开式估计：

写成误差项形式：