九年级数学下册 锐角三角函数教学设计 新人教版.docx

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九年级数学下册锐角三角函数教学设计新人教版

锐角三角函数

一.知识目标：

初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

二.能力目标：

逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。

三.情感目标：

提高学生对几何图形美的认识。

教材分析：

1．教学重点:

正弦，余弦，正切概念

2．教学难点:

用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切

教学程序：

一．探究活动

1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。

2．归纳三角函数定义。

siaA=

cosA=

tanA=

3例1.求如图所示的Rt

⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。

4.学生练习P21练习1，2，3

二．探究活动二

1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia30°cos45°tan60°

归纳结果

30°

45°

60°

siaA

cosA

tanA

2.求下列各式的值

（1）sia30°+cos30°

（2）

sia45°-

cos30°（3）

+ta60°-tan30°

三．拓展提高P82例4.（略）

1.如图在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=

AC=2

求AB

四．小结

解直角三角形应用

（一）

 一．教学三维目标

（一）知识目标

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

（二）能力训练点

 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）情感目标

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

二、教学重点、难点和疑点

1．重点：

直角三角形的解法．

2．难点：

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

3．疑点：

学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．

三、教学过程

（一）知识回顾

1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系sinA=

cosA=

tanA=

（2）三边之间关系

 a2+b2=c2（勾股定理）

（3）锐角之间关系∠A+∠B=90°． 

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

（二） 探究活动

1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？

激发了学生的学习热情．

 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？

”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？

（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）．

 3．例题评析

 例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=

a=

，解这个三角形．

 例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=20

=35

，解这个三角形（精确到0.1）．

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？

”

 答：

先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．

 例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．

（三）巩固练习

 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，

的平分线AD=4

，解此直角三角形。

 解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．

（四）总结与扩展

 请学生小结：

1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素．2解决问题要结合图形。

四、布置作业

．p96第1，2题

解直三角形应用

（二）

 一．教学三维目标

（一）、知识目标

 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．

（二）、能力目标

 逐步培养分析问题、解决问题的能力．

 二、教学重点、难点和疑点

 1．重点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．

 2．难点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．

 三、教学过程

（一）回忆知识

1．解直角三角形指什么？

 2．解直角三角形主要依据什么？

（1）勾股定理：

a2+b2=c2

（2）锐角之间的关系：

∠A+∠B=90°

 （3）边角之间的关系：

 tanA=

（二）新授概念 

1．仰角、俯角

 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

 2．例1

如图（6-16），某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）

解：

在Rt△ABC中sinB=

AB=

=

=4221（米）

 答：

飞机A到控制点B的距离约为4221米．

 例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。

当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。

如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？

这样的最远点与P点的距离是多少？

（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）

分析：

从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。

将问题放到直角三角形FOQ中解决。

．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

例1小结：

本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式sinA=

来解决的两个实际问题即已知

和斜边，

求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．

 （三）．巩固练习

 1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60

，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）

2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？

请一名同学上黑板画出来．

（2）．请学生结合图形独立完成。

 3如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．

 此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．

 设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．

练习：

为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）．

 要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．

 （四）总结与扩展

 请学生总结：

本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．

 四、布置作业

 1．课本p96第3，.4，.6题

解直三角形应用（三）

（一）教学三维目标

（一）知识目标

使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

（二）能力目标

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）情感目标

渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．

二、教学重点、难点

1．重点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

2．难点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

三、教学过程

1．导入新课

上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．

2．例题分析

例1．如图6-21，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，∠A-26°，

求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长（精确到0.01米）．

分析：

上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？

由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．

学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成

例题小结：

求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。

如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯．

另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想．

 例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65

方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34

方向上的B处。

这时，海轮所在的B

处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？

引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？

 3巩固练习

 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，

已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）．

首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．

Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？

 （三）总结与扩展

 请学生总结：

通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．

本课涉及到一种重要教学思想：

转化思想．

四、布置作业

1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高（精确到0.1米）．

2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．

3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高（精确到0.1米）．

解直三角形应用（四）

一．教学三维目标

（一）知识目标致

使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．

（二）能力目标

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）情感目标

培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．

二、教学重点、难点

1．重点：

把等腰梯形转化为解直角三角形问题；

2．难点：

如何添作适当的辅助线．

三、教学过程

1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．

 2．例题

 例燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）．

 分析：

（1）引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．

（2）让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．

 例题小结：

遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．

3．巩固练习

如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD（精确到0.01米）．

分析：

（1）请学生审题：

因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．

（2）学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．

 （三）小结

请学生作小结，教师补充．

本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．

四、布置作业

1．如图6-28，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于E，

AB=8,DE=4,cosA=

求CD的长.2．教材课本习题P96第6，7，8题

解直三角形应用（五） 

一．教学三维目标

（一）知识目标明

巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．

（二）能力目标

逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．

（三）德育目标

培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．

二、教学重点、难点和疑点

1．重点：

能熟练运用有关三角函数知识．

2．难点：

解决实际问题．

3．疑点：

株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．

三、教学过程

1．探究活动一

教师出示投影片，出示例题．

例1如图6-29，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．

分析：

1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：

用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．

2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形（上图6-29

（2））．已知：

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．

3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．

 答：

斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

 教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．

 2．探究活动二

例2如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远（精确到0.1m），正好能使A、C、E成一条直线？

这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．

由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。

学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．

 解：

要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．

∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．

∴DE=BD·cosD

=520×0.6428=334.256≈334.3（m）．

答：

开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，

提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片．

练习P95练习1，2。

补充题：

正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？

（精确到1分）．

学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：

（1）确定小岛O点；

（2）画出10时船的位置A；（3）小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？

设为B；（4）结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．

此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．

补充题：

如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

 如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．

 若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．

（三）小结与扩展

教师请学生总结：

在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案。

四、布置作业

课本习题P979，10

解直三角形应用

一、

（一）知识教学点

 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．

（二）能力目标

 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

 （三）德育目标

 培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．

 二、教学重点、难点和疑点

 1．重点：

解决有关坡度的实际问题．

 2．难点：

理解坡度的有关术语．

3．疑点：

对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．

三、教学过程

1．创设情境，导入新课．

例同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：

如图6-33

 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．

 同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．

通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．

 介绍概念

坡度与坡角

 结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：

坡面的铅直高度h和水

平宽度

的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

即ｉ＝

，

把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

 引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

 答：

i＝

＝tan

 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．

 练习

（1）一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角

______度．

 为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：

（1）坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？

举例说明．

（2）坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．

 答：

（1）

 如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，

 因为tan

＝

，AB不变，tan

随BC增大而减小

（2）

与

（1）相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα

 也随之增大，因为tan

=

不变时，tan

随AB的增大而增大

 2．讲授新课

 引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．

 以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．

 坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．

 解：

作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

 ∴AE=3BE=3×23=69（m）．

 FD=2.5CF=2.5×23=57.5（m）．

 ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5（m）．

 因为斜坡AB的坡度i＝tan

＝

≈0.3333，查表得

 α≈18°26′

答：

斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

 3．巩固练习

（1）教材P124.2

 由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题．

（2）利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块（图6-35阴影部分是挖去部分），已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

 ①横断面（等腰梯形）ABCD的面积；

 ②修一条长为100米的渠