最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量》示范教案.docx

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最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量》示范教案

示范教案

知识网络　　　　　

1．本章知识网络结构如下：

2．本章知识归纳整合

（1）基本概念与运算

①向量既有大小，又有方向，这两者缺一不可．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．

②在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．

③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．

④两个向量长度的和（差）不一定等于这两个向量和（差）的长度，因为向量的加（减）实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加（减）法是数量的加（减）法．

⑤向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：

数与向量的积仍是一个向量；要特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0；向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．

（2）基本定理及其坐标表示

①平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的．平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．

②在利用平面向量基本定理时，一定要注意不共线这个条件．

③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理．在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合．

④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．

（3）平面向量的数量积

①平面向量a与b的数量积a·b＝|a||b|cosθ是数量，其中θ的取值范围是0≤θ≤π.

②由a≠0，且a·b＝0不能推出b＝0.

③由a·b＝b·c不能推出a＝c.

④平面向量的数量积不满足结合律，即（a·b）c与a（b·c）不一定相等．

⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：

数量积

数乘向量

数乘数

运算对象

两个向量

一个实数与一个向量

两个实数

运算结果

实数

向量

实数

结合律

不满足

满足

满足

逆运算

不存在

存在

存在

（4）平面向量的应用

①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．

②平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度（距离）、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来．

③用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．

教学分析　　　　　

向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．

数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．

将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．

充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．

三维目标　　　　　

1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，提高分析问题、解决问题的能力．

2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．

3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．

重点难点　　　　　

教学重点：

向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算，数量积的理解运用．

教学难点：

向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．

课时安排　　　　　

1课时

导入新课　　　　　

思路1.（直接导入）前面一段时间，探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，来进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．

思路2.（问题导入）由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？

向量是怎样进行代数运算的？

又是怎样进行几何运算的？

你对向量的哪种运算掌握得最好？

由此展开全章的复习．

推进新课　　　　　

（1）回忆向量的概念：

向量的表示，零向量，相等的向量，共线向量.

（2）回忆向量的运算：

向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质.

（3）回忆本章学过的重要定理、公式.

活动：

（1）本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法：

几何表示法为

，a（手写时为

），坐标表示法为a＝xi＋yj＝（x，y）．有哪些特殊的向量：

a＝0

|a|＝0.单位向量：

a0为单位向量

|a0|＝1.相等的向量：

大小相等，方向相同，a＝b

（x1，y1）＝（x2，y2）

等等．

（2）指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容．

运算

类型

几何方法

坐标方法

运算性质

向量的加法

平行四边形法则

（共起点构造平行四边形）

三角（多边）形法则

（向量首尾相连）

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）

a＋b＝b＋a

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

＋

＝

向量的减法

三角形法则

（共起点指向被减）

a－b＝（x1－x2，y1－y2）

a－b＝a＋（－b）

＝－

－

＝

数乘向量

λa是一个向量，满足：

λ>0时，λa与a同向；

λ<0时，λa与a异向；

λ＝0时，λa＝0

λa＝（λx，λy）

λ（μa）＝（λμ）a

（λ＋μ）a＝λa＋μa

λ（a＋b）＝λa＋λb

a∥ba＝λb（b≠0）

向量的数量积

a·b是一个实数

a＝0或b＝0或a⊥b时，a·b＝0

a≠0且b≠0时，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉

a·b＝x1x2＋y1y2

a·b＝b·a

（λa）·b＝a·（λb）＝λ（a·b）

（a＋b）·c＝a·c＋b·c

a2＝|a|2，|a|＝

|a·b|≤|a||b|

（3）本章的重要定理及公式：

a．平面向量基本定理：

e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

b．两个向量平行的充要条件：

a∥b（b≠0）

存在唯一的实数λ，使得a＝λb；

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b

x1y2－x2y1＝0（b可以为0）．

c．两个向量垂直的充要条件：

当a、b≠0时，a⊥b

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0.

讨论结果：

（1）～（3）略．

例1已知a＝（1,2），b＝（－3,2），当k为何值时，

（1）ka＋b与a－3b垂直？

（2）ka＋b与a－3b平行？

平行时它们是同向还是反向？

活动：

向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么，怎样应用向量共线这个条件呢？

让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．

解：

（1）ka＋b＝k（1,2）＋（－3,2）＝（k－3,2k＋2），

a－3b＝（1,2）－3（－3,2）＝（10，－4），

当（ka＋b）·（a－3b）＝0时，这两个向量垂直．

由（k－3）·10＋（2k＋2）·（－4）＝0，解得k＝19，

即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．

（2）当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ（a－3b）．

由（k－3,2k＋2）＝λ（10，－4），得

解这个方程组，得k＝－

，λ＝－

，即当k＝－

时，ka＋b与a－3b平行，

这时ka＋b＝－

a＋b.因为λ＝－

<0，所以－

a＋b与a－3b反向．

点评：

共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活地选择．在本例中，也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从（k－3）×（－4）－10×（2k＋2）＝0，先解出k＝－

，然后再求λ.

变式训练

　设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量，若向量

＝i－2j，

＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．

解：

方法一：

假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即

∥

，

∴存在实数λ，使

＝λ

，i－2j＝λ（i＋mj），

∴m＝－2，即当m＝－2时，A、B、C三点共线．

方法二：

假设满足条件的m存在，

根据题意可知i＝（1,0），j＝（0,1），

∴

＝（1,0）－2（0,1）＝（1，－2），

＝（1,0）＋m（0,1）＝（1，m）．

由A、B、C三点共线，即

∥

，

故1·m－1·（－2）＝0，解得m＝－2.

∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.

例2如图1，已知在△ABC中，

＝a，

＝b，