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微积分的发展史

聊城大学

本科生毕业论文

题目：

微积分的发展史

专业代码：

070101

作者姓名：

学号：

单位：

指导教师：

年月日

前言1

1.古代东西方微积分思想的萌芽1

2.微积分的产生2

2.1微积分的诞生2

2.2柯西与魏尔斯特拉斯的贡献3

3.微积分的意义5

4.东西方微积分发展差异分析5

结论6

参考文献8

致谢9

摘要

微积分作为数学的一个重要分支,是许多学科的重要工具.那么它是如何产生的,对于微积分的发展史我们从中能发现什么规律和启示呢？

通过研究微积分的历史可以有助于我们的科研与生产,对于理解微积分也有很大的帮助.

关键词:

微积分；发展史；启示；意义

Abstract

Calculusasanimportantbranchofmathematics,isanimportanttoolinmanydisciplines.Sohowitisproduced,thedevelopmenthistoryofcalculusfromwhichwecanfindoutwhatrulesandEnlightenmentThroughthestudyofcalculusofhistorycancontributetothescientificresearchandproductionofourcalculus,fortheunderstandingisalsoagreathelp.

Keywords:

Calculus;developmenthistory;inspiration;law

微积分的发展史

前言

微积分学是微分学与积分学的总称,微积分作为现代数学的一个分支,它的触角几乎遍布当今科学的各个角落,更是当今科学的重要基石.微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.微积分的发展同时推动了天文学和物理学前进的步伐,摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学.不仅如此,微积分在数学这一学科中同时又贯穿了多个分支体系,如极限、微分学、积分学、以及导数等.

1.古代东西方微积分思想的萌芽

微积分作为一门学科是在十七世纪产生的,标志是牛顿——莱布尼兹公式.然而正如牛顿所说：

“如果说我比别人看的更远些,那是因为我站在了巨人的肩上”.作为一门学科,它的产生绝不是偶然,那是无数先人的努力与支持.

公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决“抛物弓形的面积,球和球冠面积,螺旋下面积和旋转双曲体的体积”的问题中,就隐含着近代积分学的思想.再比如古希腊数学家安提丰的“穷竭法”,前四世纪由欧多克斯作了补充和完善,它们用来求平面的面积和立体的体积.而在东方,在中国,前四世纪的春秋战国时代者惠施称：

“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,引出收敛的数列

在这里安提丰的“穷竭法”和惠施的“一尺之棰”都是极限思想的滥觞.至公元三世纪,三国魏人刘徽作《九章算术》注,提出“割圆术”——割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.他的数学表述是以圆的内接正

边形的面积

近似单位圆的面积

算的

边形,得

又进一步通过6×29＝174边形,得到一个相当于3.14159的分数,即

愈大,

愈小;

.剩余面积可以被竭尽.在中国古代此方法用来求圆周率,在刘徽极限思想的影响下,后来者祖冲之进一步求得更精确的圆周率.

南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨着《数书九章》十八卷,创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解,比西方早500多年.北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究.

在此可见在古代的东西方微积分的极限思想已普遍产生,并已经能够解决实际问题,并且在我国的一些文学或哲学文献中也有极限的思想.思想家荀子“尽小者大,积微者着”,“不积跬步,无以至千里；不积小流,无以成江海”.沈括在《梦溪笔谈》中也提到了“造微之术”当时沈括已经知道分割的单元愈小,所求得的体积,面积俞精确.尽管中国在古代已有微积分思想的萌芽,但微积分最终还是诞生在了西方.

2.微积分的产生

在十七世纪,随着人们思想的不断解放,科学研究的不断深入,不少科学问题都以解决,但同样还有新的问题出现,这些问题主要涉及物理学、天文学、军事等,总结起来就是求曲线围成的面积、体积.以及曲线上任意一点的斜率.解决这些迫切需要解决的问题,需要经过长时间的研究、讨论、酝酿,有关知识渐渐积累起来,一些最活跃的人理应称为微积分的先驱.

2.1微积分的诞生

在微积分被发现之前,求面积只能求规则图形的面积,一些在解析几何中出现的不规则的图形的面积,由于没有公式而无从下手.

在十七世纪求不规则面积、体积、曲线长,始于开普勒.他怀疑酒商的酒桶体积,认为旋转体的体积是非常薄的圆盘体积之和,卡瓦列里求积提出不可分量法,认为面积是无数个等距平行线段构成的.线是由点构成的,就像链由珠子穿成一样；面是由直线构成,就像布是由线织成一样；立体是由平面构成,就像书是由页组成一样.卡瓦列里的理论来自“穷竭法”,而费马的方法更接近现代的积分,他用小矩形面积近似小曲边形的面积,最后用相当于和式极限的方法,得到正确的结果,求得一个幂函数曲线下的曲变形的面积.此后还有华里斯、罗贝瓦儿、这些人都已来到微积分的大门口.微积分的研究源于运动学,即对切线极值、运动速度的研究.对于切线,有笛卡尔的早期研究,开普勒用列表法确定了最大体积,他注意到体积接近最大值时,由尺寸的变化引起体积的变化越来越小,这正是

的原始形式,当时人们已认识到

的重要性.

最后的冲刺来自牛顿与莱布尼兹.牛顿总结了先辈思想和方法,1664-1666年提出流数理论,建立了一套导数方法,他称之为“流数术”,牛顿称连续变化的量为流动的量或流量（fluent）,用英文字母

等表示,

的无限小的增量

为

的瞬,即无限小时间间隔为瞬,用小写字母

表示.流量的速度,即流量在无限小的时间间隔内的变化率,称为流数（fluxionofflutnt）,用带点的字母表示.牛顿的“流数术”就是以流量和瞬为基本概念的微积分,牛顿用有限差分的最初比和最终比来描述“流数术”,如函数

流量

从

流到

函数值的增量

瞬

与增量之比（最初比）,当

消失时,最后比即

相当于

.牛顿不仅仅引入导数,还明确了导数是增量比极限的思想,在1669年写的《运用无限多项方程的分析学》不仅给出求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,还证明了“面积可以由变化率的逆过程得到”即“如果

区间上曲线是

则它下面的曲边形面积为

或

这一结论称为牛顿-莱布尼兹定理,此外牛顿还引入分部积分法、变量代换法、方程求根切线法,曲线弧长计算方法.牛顿足迹几乎遍布每一个数学分支.莱布尼兹在同期也做出同样的贡献,因此微积分的根本定理是由牛顿与莱布尼兹共同命名.他们的贡献在于将微分、积分的知识联系起来,发现了更具有本质、更有普遍意义的内涵,给出了纯洁的概念,特别是建立了变化的概念,创立了有普遍意义的微积分方法等.

初创的微积分尚有不少问题,其数学基础的建立有待后世数学家给其注入严密性.

2.2柯西与魏尔斯特拉斯的贡献

微积分学创立以后,由于运算的完整性和应用的广泛性,使微积分学成为了研究自然科学的有力工具.但微积分学中的许多概念都没有精确严密的定义,特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确,在运算中时而为零,时而非零,出现了逻辑上的困境.多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分,相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力.从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动.?

微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试,到19世纪初已开始显现成效.对分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西.柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念,并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系.这是微积分发展史上的精华,也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献.与此同时,柯西还在此基础上创建了复变函数的微积分理论.?

柯西对定积分作了最系统的开创性工作,他把定积分定义为和的“极限”.在定积分运算之前,强调必须确立积分的存在性.他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理.柯西关于分析基础的最具代表性的着作是他的《分析教程》（1821）、《无穷小计算教程》（1823）以及《微分计算教程》（1829）,它们以分析的严格化为目标,对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义,在此基础上,柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理,定义了级数的收敛性,研究了级数收敛的条件等,他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式.柯西的工作在一定程度上澄清了在微积分基础问题上长期存在的混乱,向分析的全面严格化迈出了关键的一步.

另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯.魏尔斯特拉斯是一个有条理而又苦干的人,在中学教书的同时,他以惊人的毅力进行数学研究.?

魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义,这就是今天极限论中的“ε-δ”方法.魏尔斯特拉斯用他创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念,特别地,他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱.

另外,魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源,要使分析严格化,就首先要使实数系本身严格化.而实数又可按照严密的推理归结为整数（有理数）.因此,分析的所有概念便可由整数导出.这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领.基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献,在数学史上,他获得了“现代分析之父”的称号.

通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作,数学分析的基本概念得到严格的论述.从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面,把微积分及其推广从对几何概念,运动和直观了解的完全依赖中解放出来,并使微积分发展成为现代数学最基础最庞大的数学学科.?

3.微积分的意义

众所周知,由古希腊继承下来的数学是常量的数学,是静态的数学.自从有了解析几何和微积分,就开辟了变量数学的时代,是动态的数学.数学开始描述变化、描述运动,改变了整个数学世界的面貌.数学也由几何的时代而进人分析的时代.微积分给数学注入了旺盛的生命力,使数学获得了极大的发展,取得了空前的繁荣.如微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立,以及复变函数,微分几何的产生.严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义.

微积分的建立是人类理性思维的结晶.他给出一整套科学的方法,开创了科学的新纪元,并因此加强了数学与其他学科的联系,加深了数学的应用.它极大的推动力天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展,并在这些学科中有越来越广泛的应用.特别是在物理学方面,有了微积分人们才能把握运动过程,万有引力被发现并导出了开普勒行星运动三定律,卫星、宇宙飞船、航天飞机不在是梦.

与我们联系密切的现代工程技术,直接影响到人们的物质生产,而工程技术的基础是数学,都离不开微积分.如今微积分不但成了自然科学和工程技术的基础,而且还渗透到人们广泛的经济、金融活动中,也就是说微积分在人文社会科学领域中也有着其广泛的应用.一场空前巨大的,席卷近代世界的科学运动开始了,毫无疑问,微积分的发展是世界近代科学的开端.

4.东西方微积分发展差异分析

在13世纪40年代到14世纪初,各主要（数学）领域都达到了中国古代数学的高峰,出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果,中国古代数学有着微积分前两阶段的出色工作,其中许多都是微积分得以创立的关键.中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件,已经接近了微积分的大门.可惜中国元朝以后,八股取士制度造成了学术上的大倒退,封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学水平日渐衰落,在微积分创立的最关键一步落伍了.为什么微积分会产生在西方,而不是中国.东西方（东方特指中国）微积分的思想几乎同时产生,并且中国古代的数学成就也是相当辉煌.在东西方极限思想一般是用来计算平面面积和立体的体积,如上文中刘徽求圆的面积,欧多克斯用“穷竭法”求面积与体积等,这与古代的分田,交税等活动是分不开的,而在近代的西方,文艺复兴、启蒙运动极大地解放了人们的思想,随之而来的资产阶级革命更使西方在底层发生了改变,生产力大发展,人们对知识的渴望从未如此强烈,一批批各领域的大师纷纷登上历史的舞台,推动者科学的发展,当时间来到牛顿等人之时,微积分的大门被打开了.

反观中国,小农经济,所谓男耕女织,一直都是不变的信条,国内没有发展自然科学的土壤,明朝更是大兴文字狱,人们的思想进一步被禁锢.在这里说明一下,中国的科技,大多是技术,比如：

医学、农学、水利工程等.这与近代西方的科学有着本质的不同,近代西方科学是建立在近代科学方法论的基础之上,是通过实验、数学模型和数学推导演绎来研究的,是科学的,严谨的,中国则更像是经验的积累,这也是微积分没有产生在中国的原因.当然中国古代由几何问题引起极限,微积分等观念思想萌芽的出现,所用方法本质上是静态的,只有牛顿、莱布尼兹在他们先驱者所做工作的基础上才发展成动态分析的方法.

结论

微积分的发明不是一蹴而就的,而是人类集体智慧的结晶,是无数科学家长期奋斗的结果.数学来源于实践,没有当时大量实际问题的涌现,没有科学家深入实际,将大量实际问题转化为数学问题的研究,是不可能产生微积分理论的.

东西方微积分发展差异在于：

早期东西方都产生了微积分的极限思想，他们都用来解决一些实际问题，比如：

求圆的面积、分田等，不同的是西方在后来有了更科学的研究体系，现有的数学知识不能解决当时的问题，如：

牛顿求物体的位移。

所以微积分作为工具出现了。

东西方微积分发展差异在于中国近代科学没有发展，想一想如果中国古代也有一个人被苹果砸了一下悟出了万有引力，他去研究运动学，需要计算加速度、位移什么的，也许微积分就是中国人发明的了。

说到底，微积分是作为工具出现的，用不到这样的工具，它就没有出现的必要了。

微积分的发展史是近代科学发展的缩影,中国由领先到落后是值得深思的.科技是第一生产力,由微积分的发展史联想到科技对一个国家的重要.发展科技是安邦兴国之道.

参考文献

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中国科学技术大学出版社,1998.

致谢

历时将近两个多月的时间终于将这篇论文写完,在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍,都在老师和同学的帮助下度过了.尤其要强烈感谢我的论文指导老师杨洁老师,她对我进行了无私的指导和帮助,不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进.在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！

感谢这篇论文所涉及到的各位学者.本文引用了数位学者的研究文献,如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发,我将很难完成本篇论文的写作.感谢我的同学和朋友,在我写论文的过程中热情的帮助.

由于我的学术水平有限,所写论文难免有不足之处,恳请各位老师和学友批评和指最后,再次对关心、帮助我的老师和同学表示真心的感谢！