中考数学专题训练旋转模型几何变换三种模型手拉手半角对角互补.docx
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中考数学专题训练旋转模型几何变换三种模型手拉手半角对角互补
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补
知识关联图
等腰三角形
手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）
特殊角
一般角
等边三角形（包含费马点）
旋转变换
对角互补模型特殊角
一般角
角含半角模型
等线段变换（与圆相关）
真题演练
练1】（2013北京中考）在△ABC中，ABAC，BAC（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，BCE150，ABE60，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在
（2）的条件下，连结DE，若DEC45，求的值．
练2】（2012年北京中考）在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ．
（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，
请补全图形，并写出CDB的度数；
例题精讲
考点1：
手拉手模型：
全等和相似
包含：
等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来
（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）
2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）
3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）
4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）
例1】（14年海淀期末）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且ABCE．
（1）如图1，连接BG、DG．求证：
BGDE；
（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BGBD．
①求BDE的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值．
【题型总结】
手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？
常见的考试方法有哪些？
例2】（2014年西城一模）四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，
EC
GC
BEF90，BEEF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。
1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及
的值；
（2）将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问
（1）中所得的结论是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【题型总结】
此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？
另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？
例3】（2015年海淀九上期末）如图1，在△ABC中，BC4，以线段AB为边作△ABD，使得ADBD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DCDE，CDEADB．
（1）如图2，当ABC45且90时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
图1
例4】（13年房山一模）
（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：
BEAD．
（2）如图2，在△BCD中，BCD120o，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC、等边△CDE和等边△BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）①ADBECF；②BECADC；
③DPEEPCCPA60o；
3）如图2，在
（2）的条件下，求证：
PBPCPDBE．
图2
F
【题型总结】
到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
考点2：
角含半角模型：
全等
秘籍：
角含半角要旋转：
构造两次全等
DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．
例2】（2014年平谷一模）
（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF45，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：
EFBEFD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2BM2DN2，请证明这个等量关系；
（2）在△ABC中，ABAC，点D、E分别为BC边上的两点．
①如图2，当
BAC
60，DAE30时，BD、
DE、
EC应满足的等量关
系是
__；
②如图3，当
BAC
，（090），DAE
1
时，BD、DE、EC
2
应满足的等量关系是_
．【参考：
2sin
cos21】
【题型总结】
角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？
由角含半角产生的数量关系都是有哪些？
如何描述这类题目的辅助线？
考点3：
对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型—90°）
A和C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．
例2】已知：
点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APBMON180o．
（1）利用图1，求证：
PAPB；
（2）如图1，若点C是AB与OP的交点，当SPOB3SPCB时，求PB与PC的比值；
【题型总结】
对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？
经常和哪种图形同时出现？
例3】（初二期末）已知：
如图，在△ABC中，ABAC，BAC，且60120．P为△ABC内部一点，且PCAC，PCA120．
（1）用含的代数式表示APC，得APC=；
（2）求证：
BAPPCB；
（3）求PBC的度数．
题型总结】
般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。
全能突破
练1】（2015年昌平九上期末）如图，已知VABC和VADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE．连接BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF．
1）如图1，求证：
BDCE；
2）如图1，求证：
AF是CFD的平分线；
3）如图2，当AC2，BCE15时，求CF的长.
练2】（2014西城九上期末）已知：
△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE.
（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；
（2）△ABC固定不动，将图1中的VDEF绕点M顺时针旋转（0o≤≤90o）角，如图2所示，判断
（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；
（3）△ABC固定不动，将图1中的VDEF绕点M旋转（0o≤≤90o）角，作DHBC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
练3】（2014年朝阳一模24题）在△ABC中，ACBC，在△AED中，ADED，点D、E分别在CA、AB上，
（1）图①，若ACBADE90，则CD与BE的数量关系是；
（2）若ACBADE120，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是；
（3）若ACBADE2（090），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位
置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）
练4】（2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：
如图1，在Rt△ABC中，
BAC＝90，AB＝AC，点，E在边BC上，DAE＝45．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．
小辉发现，将绕点A按逆时针方向旋转90o，得到VACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及DAE＝45，可证VFAE≌VDAE，得FE＝DE．解VFCE，可求得EF（即DE）的长．
请回答：
在图2中，FCE的度数是，DE的长为RtVABC
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，B＋D＝180．E，F分别是边BC，CD
1
上的点，且EAF＝2BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．
练5】（11年石景山一模）已知：
如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将BAC绕顶点A逆时针旋转（0o45o），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，
交BC,CD于点E、点F，联结EF、EQ．
（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，
若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究APQ与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．
练6】（2015年延庆九上期末）已知：
△ABC是eO的内接三角形，ABAC，在BAC所对弧AC上，任取一点D，连接AD，BD，CD，
（1）如图1，BAC，直接写出ADB的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，如果BAC60，求证：
BDCDAD；
（3）如图3，如果BAC120，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？
写出猜测并加以证明；
（4）如果BAC，直接写出BDCD与AD之间的数量关系.
练7】
（1）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，
且
1
EAF=BAD．
2
求证：
EF
BE
FD;
（2）
如图在四边形
ABCD
中，
AB
AD，
B+D180，E、F分别是边
BC、CD上的点，
且
EAF
1
12BAD，
（1）
中的结论是否仍然成立？
不用证
明．
（3）
如图，在四边形
ABCD中，
AB
AD，
B
ADC180，E，F分别是边
BC，CD延长线上的点，
且
EAF
1
2
BAD
，
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
练8】小华遇到这样一个问题，如图1,VABC中，ACB30o，BC6，AC5，在
VABC
内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PAPBPC的最小值．
小华是这样思考的：
要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将VAPC绕点C顺时针旋转60o，得到VEDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PAPBPC的最小值为；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，ABC60o，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PAPBPC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PAPBPC值最小时PB的长．
练9】（2014年西城二模）在VABC，BAC为锐角，ABAC，AD平分BAC交BC于点D．
（1）如图1，若VABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；
（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．
①如图2，若ABE60，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；
②如图3，若ACAB3AE，求BAC的度数．
练10】（2014年1月西城八年级期末试题—附加题）已知：
如图，MAN为锐角，AD平分MAN，点B，点C分别在射线AM和AN上，ABAC.
1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点F，直线BE交直
线AD于点G，求证：
EBFCAG；
2）若
（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，
（1）中的其它条件不变，猜想EBF
与CAG的数量关系并证明你的结论
备用图2
练11】（2014海淀一模）在△ABC中，ABAC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为
（1）如图1，当BAC
（2）如图
，且
100，
2，当BAC
100，
（3）已知请直接写出
BAC的大小为m（的大小．
60
180，连接AD，BD．
60时，CBD的大小为__
20时，求M的大小；
m120），若M的大小与
（2）中的结果相同，
图1
图2
小结与复习
1、旋转的基本模型特征
2、费马点问题
3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线
4、线段旋转的特点
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