两圆相交
d＝|R－r|
两圆相内切
d<|R－r|
两圆内含
d=0，两圆同心。
14.两圆相交弦所在直线方程的求法：
圆C1的方程为：
x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圆C2的方程为：
x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为：
（D1-D2）x+（E1-E2）y+（C1-C2）=0
15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
16.焦半径公式：
在椭圆
＝１中，F１、F２分别左右焦点，P（x0,y0）是椭圆是一点，则：
（1）
|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
（2）三角形PF１F２的面积如何计算
17．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
18．直线y=kx+b和圆锥曲线f（x,y）=0交于两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）则弦长P1P2=
19.双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。
20.抛物线中与焦点有关的一些结论：
（要记忆）
解题思路与方法：
解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：
（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：
涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0）。
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。
（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方法有：
直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：
建系、设点、列式、化简、确定点的范围。
（7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。
第二部分解析几何中的范围问题
一、“题设条件中的不等式关系”之运用
事物都是一分为二的。
对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。
在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.
1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1.
（1）若直线AP的斜率为k，且
，求实数m的取值范围；
（2）当
时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.
2、设椭圆
的两个焦点是
，且椭圆上存在点P使得直线
垂直.
（1）求实数m的取值范围；
（2）设L是相应于焦点
的准线，直线
与L相交于点Q，若
，求直线
的方程.
二、“圆锥曲线的有关范围”之运用
1、以
为焦点的椭圆
与x轴交于A，B两点
（1）过
作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围；
（2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？
若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.
解：
三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用
在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。
因此，对于有关一元二次方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。
1、已知椭圆的一个顶点A（0,－1），焦点在x轴上，且右焦点到直线
的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。
四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用
所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。
比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。
因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。
其中，常用的充要条件为：
1、
2、
3、
4、
1、已知椭圆的焦点为
，过点
且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，
，又椭圆上不同两点A、C满足条件：
成等差数列.
（1）求椭圆的方程；
（2）设弦AC的垂直平分线方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.
五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用
“
1、
2、
1、已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与
成等比数列，求离心率e的取值范围.
第三部分直线与圆锥曲线问题的解题策略
众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。
多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：
（1）条件或目标的等价转化；
（2）对于交点坐标的适当处理。
本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。
一、条件或目标的认知与转化
解题的过程是一系列转化的过程。
从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。
然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。
有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。
1、化生为熟
（1）向弦中点问题转化
1.已知双曲线
=1（a>0,b>0）的离心率
，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为
（1）求双曲线方程；
（2）若直线
（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。
（2）向弦长问题转化
例2．设F是椭圆
的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足
（1）求点P的轨迹C2的方程；
（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使
成立的直线l的方程。
2．化繁为简
解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：
解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。
解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？
既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。
化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。
（1）借助投影
例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线
于P1、P2两点，在线段P1、P2上取一点Q，使
、
、
的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。
（2）避重就轻
事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。
例4．已知点P、Q在椭圆
上，椭圆中心为O，且
，求椭圆中心O到弦PQ的距离。
二、求解交点坐标的“度”的把握
个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：
1、半心半意，解至中途
1.设斜率为2的直线与抛物线
相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，使
，求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。
2、真心实意，求解到底
当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。
例2.正方形ABCD的中心为M（3，0），一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E，一条斜率为
的直线l，若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l的方程。
三、求解交点坐标的转换与回避
解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。
因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解（交点坐标）便尽量转换，能回避正面求解（交点坐标）便尽量回避。
1、设而不解
这里所谓的“设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。
其中，用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。
1.设椭圆
的上半部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段AC的中垂线在y轴上的截距。
2、不设不解
这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。
因此，欲适时地正确选择对交点坐标“不设不解”，需要我们对问题或图形本质的深刻认知，需要我们对有关知识的深厚积淀或升华。
（1）利用圆锥曲线定义回避交点坐标
例2．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，
，且
，求椭圆的离心率。
（2）借助有关图形性质回避交点坐标
例3．已知直线l：
与⊙
相交于A、B两点，当
时，求⊙C的方程。
（3）利用有关问题的深入认知回避交点坐标
这是处置直线与曲线乃至两曲线相交问题的重要策略，现以例4示范说明。
1．已知圆M与圆
相交于不同两点A、B，所得公共弦AB平行于已知直线
，又圆M经过点C（-2，3），D（1，4），求圆M的方程。
四、高考真题
1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值。
分析：
2.P、Q、M、N四点都在椭圆
上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知
与
共线，
与
共线，且
，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
3.设A、B是椭圆
上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。
（1）确定
的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）试判断是否存在这样的
，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？
并说明理由。
4.已知方向向量为
的直线l过点
和椭圆
的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
（0为原点）。
若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由。
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