x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定其顶点坐标（h，k）；
⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
四、二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2+bx+c的比较
从解析式上看，y=a（x-h）2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得
到前者，即y=a
+
，其中h=-
，k=
五、二次函数y=ax2+bx+c的性质
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-
顶点坐标为
.
当x<-
时，y随x的增大而减小；
当x>-
时，y随x的增大而增大；
当x=-
时，y有最小值
.
2.当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-
顶点坐标为
.当
x<-
时，y随x的大而增大y;当随x>-
时,y随x的增大而减小;当x=-
时,y有最大值
.
六、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；
2.顶点式：
y=a（x-h）2+k（a，h，k为常数，a≠0）；
3.两根式（交点式）：
y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
⑴当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）
3.常数项c
⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
八、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：
①当∆=b2-4ac>0时，图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1≠x2），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．
②当∆=0时，图象与x轴只有一个交点；
③当∆<0时，图象与x轴没有交点.
1'当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；
2'当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0．
2.抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
中考题型例析
1.二次函数解析式的确定
例1求满足下列条件的二次函数的解析式
（1）图象经过A（-1,3）、B（1,3）、C（2,6）;
（2）图象经过A（-1,0）、B（3,0）,函数有最小值-8;
（3）图象顶点坐标是（-1,9）,与x轴两交点间的距离是6.
分析:
此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.
（1）解:
设解析式为y=ax2+bx+c,把A（-1,3）、B（1,3）、C（2,6）各点代入上式得
解得
∴解析式为y=x2+2.
（2）解法1:
由A（-1,0）、B（3,0）得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为（1,-8）.
设解析式为y=a（x-h）2+k,即y=a（x-1）2-8.把x=-1,y=0代入上式得0=a（-2）2-8,
∴a=2.即解析式为y=2（x-1）2-8,即y=2x2-4x-6.
解法2:
设解析式为y=a（x+1）（x-3）,确定顶点为（1,-8）同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a（1+1）（1-3）.解得a=2,
∴解析式为y=2x2-4x-6.
解法3:
∵图象过A（-1,0）,B（3,0）两点,可设解析式为:
y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a.
∵函数有最小值-8.
∴
=-8.
又∵a≠0,∴a=2.
∴解析式为y=2（x+1）（x-3）=2x2-4x-6.
（3）解:
由顶点坐标（-1,9）可知抛物线对称轴方程是x=-1,又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.
由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A（-4,0）,B（2,0）,设出两根式y=a（x-x1）·（x-x2）,将A（-4,0）,B（2,0）代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.
点评:
一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点（或任意3对x,y的值）可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a（x-h）2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a（x-x1）（x-x2）.
2.二次函数的图象
例2y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则点M（a,bc）在（）.
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
分析:
由图可知:
抛物线开口向上⇒a>0.
抛物线与y轴负半轴相交⇒c<0b
⎬
⇒bc>0.
对称轴x=-2a在y轴右侧⇒b<0⎪
∴点M（a,bc）在第一象限.答案:
A.
点评:
本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.
例3已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,它们在同一坐标系中的大致图象是（）.
分析:
一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、四象限;c>0时,直线交y轴于正半轴;当c<0时,直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来讲:
⎧开口上下决定a的正负
⎪左同右异（即对称轴在y轴左侧,b的符号
⎪
⎨与a的符号相同;）来判别b的符号
⎪抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定
⎪
⎪⎩c的正负
解:
可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.
答案:
D.
3.二次函数的性质
例4对于反比例函数y=-
与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:
①,②;再说出它们的两个不同点:
①,②.
分析:
本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.
解:
相同点:
①图象都是曲线,②都经过（-1,2）或都经过（2,-1）;
不同点:
①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.点评:
本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命
题的热点.
4.二次函数的应用
例5已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k,
（1）求证:
此抛物线与x轴总有两个不同的交点.
2
（2）设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x2=-2k2+2k+1.
①求抛物线的解析式.
②设点P（m1,n1）、Q（m2,n2）是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m的值.
分析:
（1）欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.
（2）①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;
②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即（m1-m2）（m1+m2+1）=0可求得m1+m2=-1.
解:
（1）证明:
△=（2k+1）2-4（-k2+k）=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.
∵8k2+1>0,
即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点.
（2）①由题意得x1+x2=-（2k+1）,x1·x2=-k2+k.
∵x12+x22=-2k2+2k+1,
∴（x1+x2）2-2x1x2=-2k2+2k+1,即（2k+1）2-2（-k2+k）=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.
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