小学数学奥数基础教程四年级目30讲全.docx

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小学数学奥数基础教程四年级目30讲全

第7讲找规律

（一）

第8讲找规律

（二）

第9讲数字谜

（一）

第10讲数字谜

（二）

第11讲归一问题与归总问题

第12讲年龄问题

第13讲鸡兔同笼问题与假设法

第14讲盈亏问题与比较法

（一）

第15讲盈亏问题与比较法

（二）

第16讲数阵图

（一）

第17讲数阵图

（二）

第18讲数阵图（三）

第19将乘法原理

第20讲加法原理

（一）

第21讲加法原理

（二）

第22讲还原问题

（一）

第23讲还原问题

（二）

第24讲页码问题

第25讲智取火柴

第26讲逻辑问题

（一）

第27讲逻辑问题

（二）

第28讲最不利原则

第29讲抽屉原理

（一）

第30讲抽屉原理

（二）

 第8讲找规律

（二）

　　整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a。

一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作an，即

　　本讲主要讲an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数的变化规律。

　　因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。

　　为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，…的个位数字各是什么。

　　从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：

（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数仍然是0，1，5，6。

（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，an的个位数按每两个数为一周期循环出现。

其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。

　　（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。

其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。

例1求67999的个位数字。

　　分析与解：

因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。

　　999÷4＝249……3，

　　所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3。

例2求291+3291的个位数字。

分析与解：

因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，291的个位数字与23的个位数字相同，等于8。

　　类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现，

291÷4＝72……3，

　　所以3291与33的个位数相同，等于7。

　　最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。

例3求28128-2929的个位数字。

解：

由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6。

由29÷2＝14……1知，2929的个位数与91的个位数相同，等于9。

因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。

例4求下列各除法运算所得的余数：

（1）7855÷5；

（2）555÷3。

分析与解：

（1）由55÷4＝13……3知，7855的个位数与83的个位数相同，等于2，所以7855可分解为10×a＋2。

因为10×a能被5整除，所以7855除以5的余数是2。

（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解。

为了寻找5n÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：

　　注意：

表中除以3的余数并不需要计算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求。

比如，52除以3的余数是1，53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。

这是因为52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而

　　53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，

　　（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余数与1×5除以3的余数相同。

　　由上表看出，5n除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。

由55÷2=27……1知，555÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2。

例5某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。

20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？

分析与解：

1时后有1×3=31（个）细菌，2时后有31×3=32（个）细菌……20时后，有320个细菌，所以本题相当于“求320÷7的余数”。

　　由例4

（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：

　　由上表看出，3n÷7的余数以六个数为周期循环出现。

由20÷6＝3……2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同，等于2。

所以最后还剩2个细菌。

　　最后再说明一点，an÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复出现。

 练习8

　　1．求下列各数的个位数字：

（1）3838；

（2）2930；

　　（3）6431；（4）17215。

2．求下列各式运算结果的个位数字：

（1）9222＋5731；

（2）615+487+349；

（3）469-6211；（4）37×48+59×610。

3．求下列各除法算式所得的余数：

（1）5100÷4；

（2）8111÷6；

（3）488÷7

第9讲数字谜

（一）

　　我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。

例1在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：

　　5+7×8+12÷4-2＝20。

　　分析：

等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。

因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。

　　从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。

解：

5+（7×8+12）÷4-2=20。

例2把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

分析与解：

如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。

如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：

　　2×3＝6或2×4＝8，

　　所以应当从乘法算式入手。

　　因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。

于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。

　　若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；

　　若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：

　　4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；

　　1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。

　　所以答案为与

例3下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成立：

　□□□÷□□=□-□=□-7。

分析与解：

因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。

经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解：

　　128÷64=5-3=9-7，

　　或164÷82＝5-3＝9-7。

例4将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立：

　　□+□=6，□×□=8，

　　□-□=6，□□÷□=8。

分析与解：

因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：

1＋5或2＋4；对于乘式也只有两种填法：

1×8或2×4。

加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能：

（1）加式为1＋5，乘式为2×4；

（2）加式为2+4，乘式为1×8。

　　对于

（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足；

　　对于

（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷7。

答案如下：

　　2＋4＝6，1×8＝8，

　　9－3＝6，56÷7＝8。

　　例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。

这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。

例5从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大：

　　[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。

分析与解：

为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。

为叙述方便，将原式改写为：

　　[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。

　　通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。

于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。

将它们代入算式，得到

　　[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。

 练习9

　　1．在下面的算式里填上括号，使等式成立：

（1）4×6+24÷6-5=15；

（2）4×6+24÷6-5=35；

　　（3）4×6+24÷6-5=48；

　　（4）4×6+24÷6-5＝0。

　　2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立：

　　12345＝100。

　　3．把0～9这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

　　□+□=□，

　　□-□=□，

　　□×□=□□。

　　4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符号，使各个等式成立：

　　4□4□4□4＝1，

　　4□4□4□4＝3，

　　4□4□4□4＝5，

　　4□4□4□4＝9。

　　5．将2～7这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立：

　　□+□-□=□×□÷□。

　　6．将1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值：

　　□□□×□□□×□□□。

　　7．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值：

□□×□□×□□×□□。

第10讲数字谜

（二）

例1把下面算式中缺少的数字补上：

分析与解：

一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。

四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。

由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。

（1）填百位与千位。

由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。

（2）填个位。

由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。

　　（3）填十位。

由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。

　　所求算式如右式。

　　由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。

例2在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：

　　分析与解：

（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。

　　从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：

2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。

　　如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。

此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。

因此“学”≠2。

　　如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。

百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。

　　满足条件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。

由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。

同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。

　　满足条件的算式如右下式。

　　例2中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。

例3下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。

分析与解：

由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛”的取值只能是2，3，4，7，8，9。

　　下面采用逐一试验的方法求解。

（1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。

被乘数为444444÷2＝222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。

（2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿

（1）讨论，也不行。

　　（3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=666666。

666666÷4得不到整数商，不合题意。

　　（4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。

被乘数为999999÷7＝142857，符合题意。

　　（5）若“赛”＝8或9，仿上讨论可知，不合题意。

　　所以，被乘数是142857。

例4在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。

分析与解：

为清楚起见，我们用A，B，C，D，…表示□内应填入的数字（见右上式）。

　　由被乘数大于500知，E=1。

由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。

若C＝5，则有

　　6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，

　　不可能等于□5□5，与题意不符，所以B=5。

再由B=5推知G=0或5。

若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于□5□5，与题意不符，所以G=0，F=A=4。

此时已求出被乘数是645，经试验只有645×7满足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。

　　右式为所求竖式。

　　此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。

有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。

例5在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。

分析与解：

把左上式改写成右上式。

根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除数应是99的两位数的约数，可能取值有11，33和99，再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11，进而知A＝C-9。

至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。

　　此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补0、余数必须小于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。

例6把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一定相同）。

分析与解：

由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是0，即商为

。

　　因为除数与8的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知商的千位数是9，即商为9807。

　　因为“除数×9”是三位数，所以除数≥12；又因为“除数×8”是两位数，所以除数≤12。

推知除数只能是12。

被除数为9807×12＝117684。

　　除法算式如上页右式。

练习10

　　1．在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立：

　　2．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

问：

“小”代表什么数字？

　　3．在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。

求出下列各式：

　　4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。

这些算式中各字母分别代表什么数字？

第11讲归一问题与归总问题

　　在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。

用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。

所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

例1一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？

（损耗忽略不计）

　　分析：

以一根钢轨的重量为单一量。

（1）一根钢轨重多少千克？

　　1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根钢轨？

　　95000÷475＝200（根）。

解：

95000÷（1900÷4）＝200（根）。

　　答：

可以制造200根钢轨。

例2王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

　　分析：

以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。

（1）1头奶牛1天产奶多少千克？

　　630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

　　18×8×15＝2160（千克）。

解：

（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

　　答：

可产牛奶2160千克。

例3三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？

分析与解：

以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。

（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？

　　2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？

　　25600÷320÷8=10（时）。

　　综合列式为

　　25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。

例44辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。

现在有沙土420吨，要求5趟运完。

问：

需要增加同样的卡车多少辆？

分析与解：

以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。

（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？

　　336÷4÷7=12（吨）。

（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？

　　420÷12÷5＝7（辆）。

　　（3）需要增加多少辆卡车？

　　7-4＝3（辆）。

　　综合列式为

　　420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。

　　与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。

所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

例5一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

　　分析：

（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？

　　15×8＝120（时）。

（2）12个人完成这项工程需要多少小时？

　　120÷12＝10（时）。

解：

15×8÷12＝10（时）。

　　答：

12人需10时完成。

例6一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。

若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

　　分析：

从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。

（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？

　　60×5=300（千米）。

（2）4时到达，每小时需要行多少千米？

　　300÷4＝75（千米）。

　　（3）每小时多行多少千米？

　　75－60＝15（千米）。

解：

（60×5）÷4——60＝15（千米）。

　答：

每小时需要多行15千米。

例7修一条公路，原计划60人工作，80天完成。

现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

　　分析：

（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？

　　60×80＝4800（劳动日）。

（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？

　　4800-60×20=3600（劳动日）。

　　（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？

　　3600÷（60＋30）=40（天）。

解：

（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

　　答：

再用40天可以完成。

 练习11

　　1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？

　　2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？

　　3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。

问：

48秒钟可以放映多少张片子？

　　4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？

　　5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。

由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。

问：

每天要工作几小时？

　　6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。

结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。

问：

鸡蛋价格下调后是每千克多少元？

　　7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。

供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。

问：

这些煤共可以供暖多少天？

第12讲年龄问题

　　年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。

　　年龄问题的主要特点是：

二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。

　　根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。

例1儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？

分析与解：

儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是

　　30＋5=35（岁）。

例2今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？

分析与解：

今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。

当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是

　　（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。

　　由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。

例3兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。

问：

兄、弟二人今年各多少岁？

分析与解：

根据题意，作示意图如下：

　　由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。

由此得到

　　弟今年6＋4＝10（岁），

　　兄今年10＋5＝15（岁）。

例4今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？

分析与解：

在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。

又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。

　　由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为

　　55÷（3+2）×3=33（岁）。

例5哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？

分析与解