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离散答案
离散数学考试题目参考答案
第一页：
1、只有你主修计算机科学或者不是新生，才能从校园内访问因特网。
1、P:
你主修计算机科学Q：
你是新生R：
能从校园内访问因特网
R->P∀~Q（*注意只有…才）
2、除非你已满16周岁，否则只要你身高不足4英尺就不能乘公园滑行铁道。
2、Q：
你已满16周岁P：
你身高不足4英尺R：
能乘公园滑行铁道
~Q->（P->~R）
3、只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。
3、P：
充分考虑一切论证Q：
能得到可靠见解
P->Q
4、只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
4、P：
充分考虑一切论证Q：
能得到可靠见解
Q->P
5、我们不能既唱歌又看书。
5、P:
我们唱歌Q：
我们看书
~（P<=>Q）
6、如果天下雨，我出不出去看你是否同意而定。
6、P：
天下雨Q：
我出去R：
你同意
~P->（Q<=>R）
7、我唱歌，仅当你伴奏。
7、P：
我唱歌Q：
你伴奏
P->Q（*注意仅当）
8、或者你没有给我写信，或者信在路上丢失了。
8、P：
你没给我写信Q：
信在路上丢失了
~（P<=>Q）
9、如果天下雨，我就在家看书，否则我就去看电影。
9、P：
天下雨Q：
我在家看书R：
我去看电影
（P<=>Q）∀（~P<=>R）（*注意双箭头）
10、只有你考试不及格或者缺考，才能参加补考。
10、P：
你考试不及格Q：
你缺考R：
参加补考
R->~（P<=>Q）
11、除非你缺考，否则只要你考试不满60分就必须参加补考。
11、P：
你缺考Q：
你考试不满60分R：
你参加补考
~P->（Q->R）
第二页：
1、（P∀Q）∧（P->R）∧（Q->R）=>R
1）~RP（附加前提）
2）Q->RP
3）~QT12I
4）P∀QP
5）PT34I
6）P->RT
7）RT56I
8）R∧~R（矛盾）T17I
∴（P∀Q）∧（P->R）∧（Q->R）=>R
2、~P∀Q,~Q∀R,R->S=>P->S
1）~PP（附加前提）
2）~P∀QP
3）QT12I
4）~Q∀RP
5）RT34I
6）R->SP
7）ST
8）P->SCP规则
∴~P∀Q,~Q∀R,R->S=>P->S
3、P->（Q∀R）,Q->~P,S->~R=>P->~S（*注意P->~S<=>~P∀~S）
1）PP（附加前提）
2）Q->~PP
3）~QT12I
4）P->（Q∀R）P
5）Q∀RT14I
6）RT35I
7）S->~RP
8）~ST67I
9）~P∀~SP18I
10）P->~ST9E
∴P->（Q∀R）,Q->~P,S->~R=>P->~S
4、R->~Q，S∀R，S->~Q，P->Q=>~P
1）PP（附加前提）
2）P->QP
3）QT12I
4）R->~QP
5）~RT34I
6）S∀RP
7）ST56I
8）S->~QP
9）~ST38I
10）S∧~S（矛盾）T79I
∴R->~Q，S∀R，S->~Q，P->Q=>~P
5、P∀Q,Q->R,P->M,~M=>R∧（P∀Q）
1）~MP
2）P->MP
3）~PT12I
4）P∀QP
5）QT34I
6）Q->RP
7）RT56I
8）R->P∀QT24I
∴P∀Q,Q->R,P->M,~M=>R∧（P∀Q）
6、A->（B->C）,（C∧D）->E,~F->（D∧~E）=>A->（B->F）（*注意CP规则的连续使用，以及等价式的变形）
1）AP（附加前提）
2）BP（附加前提）
3）A->（B->C）P
4）B->CT13I
5）CT24I
6）（C∧D）->EP
7）~（C∧D）∀ET6E
8）~C∀~D∀ET7E
9）~D∀E∀~CT8E
10）~（~D∀E）->~CT9E
11）（D∧~E）->~CT10E
12）~F->（D∧~E）P
13）~F->~CT1112I
14）FT513I
15）B->FCP规则
16）A->（B->F）CP规则
∴A->（B->C）,（C∧D）->E,~F->（D∧~E）=>A->（B->F）
第三页：
1、所有的人都犯错误。
2、有且仅有一个偶质数。
3、有些人对所有酒都感兴趣。
4、所有的人都对某些酒感兴趣。
5、尽管有人可恶，但并不是所有的人都可恶。
6、对于任意实数，存在更大的实数。
7、某些火车比所有飞机慢，但至少有一架飞机比所有火车快。
8、并非所有的人都喜欢喝酒。
解：
1、P（X）：
X是人Q（X）：
X犯错误
（∀x）（P（x）->Q（x））
2、A（X）:
X是数P（X）：
X是偶数Q（X）:
X是质数E（A,B）：
A等于B
（Ex）（A（X）∧P（x）∧Q（x））∧（∀x1,x2）（A（x1）∧A（x2）∧P（x1）∧P（x2）∧Q（x1）∧Q（x2）->E（x1,x2））
3、P（X）：
X是人Q（X）：
X是酒I（A,B）：
A对B感兴趣
（Ex）（P（x）∧（∀y）（Q（y）->I（x,y）））
4、P（X）：
X是人Q（X）：
X是酒I（A,B）：
A对B感兴趣
（∀x）（P（x）->（Ey）（Q（y）∧I（x,y）））
5、P（X）：
X是人Q（X）：
X可恶
~（∀x）（P（x）->Q（x））
6、P（X）：
X是实数Q（A,B）：
A比B大
（∀x）（P（x）->（Ey）（P（y）∧Q（y,x）））
7、T（X）：
X是火车P（X）：
X是飞机F（A,B）：
A比B慢
（Ex）（T（X）∧（∀y）（P（y）->F（x,y）））∧（Ey）（P（X）∧（∀x）（T（x）->F（x,y）））
8、P（X）：
X是人Q（X）：
X是酒I（A,B）：
A喜欢喝B
~（∀x）（P（x）->（Ey）（Q（y）∧I（x,y）））（*注意争议在于是存在某些酒而不是所有的酒）
第四页：
（*注意ES、US、EG、UG的展开方式一般是先ES展开再US展开，最后EG收拢，一般不会要求UG收拢）
1、（Ex）A（x）->（∀x）B（x）=>（∀x）（A（x）->B（x））
1）~（∀x）（A（x）->B（x））P（附加前提）
2）（Ex）~（A（x）->B（x））T1E
3）~（~A（a）∀B（a））ES2
4）A（a）∧~B（a）T4E
5）A（a）T5I
6）~B（a）T5I
7）（Ex）A（x）EG6
8）（Ex）A（x）->（∀x）B（x）P
9）（∀x）B（x）T68I
10）B（a）US9
11）B（a）∧~B（a）（矛盾）T711I
2、（∀x）（M（x）∧（P（x）∀Q（x）））->~H（x）），（∀x）（M（x）∧~H（x）->~（E（x）∧A（x））），（Ex）（M（x）∧E（x）∧A（x））=>（Ex）（M（x）∧~Q（x））
1）（Ex）（M（x）∧E（x）∧A（x））P
2）M（a）∧E（a）∧A（a）ES1
3）M（a）T2I
4）E（a）T2I
5）A（a）TI2
6）（∀x）（M（x）∧~H（x）->~（E（x）∧A（x）））P
7）M（a）∧~H（a）->~（E（a）∧A（a））US6
8）E（a）∧A（a）T45I
9）~（M（a）∧~H（a））T78I
10）~M（a）∀H（a）T9E
11）H（a）T310I
12）（∀x）（M（x）∧（P（x）∀Q（x）））->~H（x））P
13）M（a）∧（P（a）∀Q（a））->~H（a）US12
14）~（M（a）∧（P（a）∀Q（a）））T1113I
15）~M（a）∀~（P（a）∀Q（a））T14E
16）~M（a）∀（~P（a）∧~Q（a））T15E
17）~P（a）∧~Q（a）T316I
18）~Q（a）T17I
19）M（a）∧~Q（a）T319I
20）（Ex）（M（x）∧~Q（x））EG19
3、（∀x）（N（x）->（E（x）∀O（x））），（∀x）（N（x）->（E（x）<=>R（x））），~（∀x）（N（x）->R（x））=>（Ex）（N（x）∧O（x））
1）~（∀x）（N（x）->R（x））P
2）（Ex）~（N（x）->R（x））T1E
3）~（N（a）->R（a））ES2
4）~（~N（a）∀R（a））T3E
5）N（a）∧~R（a）T4E
6）N（a）T5I
7）~R（a）T5I
8）（∀x）（N（x）->（E（x）<=>R（x）））P
9）N（a）->（E（a）<=>R（a））US8
10）E（a）<=>R（a）T69I
11）~E（a）T710I
12）（∀x）（N（x）->（E（x）∀O（x）））P
13）N（a）->E（a）∀O（a）US12
14）E（a）∀O（a）T613I
15）O（a）T1114I
16）N（a）∧O（a）T615I
17）（Ex）（N（x）∧O（x）EG16
4、（Ex）（F（x）∧S（x））->（∀y）（M（y）->W（y））,（Ey）（M（y）∧~W（y））=>（∀x）（F（x）->~S（x））
1）~（∀x）（F（x）->~S（x））P（附加条件）
2）（Ex）~（F（x）->~S（x））T1E
3）~（F（a）->~S（a））ES2
4）~（~F（a）∀~S（a））T3E
5）F（a）∧S（a）T4E
6）（Ex）（F（x）∧S（x））EG5
7）（Ex）（F（x）∧S（x））->（∀y）（M（y）->W（y））P
8）（∀y）（M（y）->W（y））T67I
9）（Ey）（M（y）∧~W（y））P
10）M（b）∧~W（b）ES9
11）~~（M（b）∧~W（b））T10E
12）~（~M（b）∀W（b））T11E
13）~（M（b）->W（b））T12E
14）（Ey）~（M（b）->W（b））EG13
15）~（∀y）（M（b）->W（b））T14E
16）（∀y）（M（y）->W（y））∧~（∀y）（M（b）->W（b））（矛盾）T815I
5、~（Ex）（F（x）∧H（x））,（∀x）（G（x）->H（x））=>（∀x）（G（x）->~F（x））
1）~（∀x）（G（x）->~F（x））P（附加条件）
2）（Ex）~（G（x）->~F（x））T1E
3）~（G（a）->~F（a））ES2
4）~（~G（a）∀~F（a））T3E
5）G（a）∧F（a）T4E
6）G（a）T5I
7）F（a）T5I
8）~（Ex）（F（x）∧H（x））P
9）（∀x）~（F（x）∧H（x））T8E
10）~（F（a）∧H（a））US9
11）~F（a）∀~H（a）T10E
12）~H（a）T711I
13）（∀x）（G（x）->H（x））P
14）G（a）->H（a）US13
15）~G（a）T1214I
16）G（a）∧~G（a）（矛盾）T615I
6、（∀x）（M（x）->（U（x）∧Y（x）））,（Ex）（M（x）∧W（x））=>（Ex）（M（x）∧Y（x）∧W（x）∧U（x））
1）（Ex）（M（x）∧W（x））P
2）M（a）∧W（a）ES1
3）M（a）T2I
4）W（a）T2I
5）（∀x）（M（x）->（U（x）∧Y（x）））P
6）M（a）->（U（a）∧Y（a））US5
7）U（a）∧Y（a）T3I7I
8）U（a）T7I
9）Y（a）T7I
10）M（a）∧Y（a）∧W（a）∧U（a）T3489I
11）（Ex）（M（x）∧Y（x）∧W（x）∧U（x））EG10
第五页：
（*为方便起见约定⊆为包含符号，∈为属于符号，∅为空集符号，∩为交集符号，⊕为对称差符号）
1、对任意集合A，B，求证：
P（A）UP（B）⊆P（AUB）
证明：
对于∀x∈P（A）UP（B），
那么x∈P（A）Ux∈P（B）
即，x⊆A∀x⊆B
即，x⊆（AUB）
即，x∈P（AUB）
即，P（A）UP（B）⊆P（AUB）
证毕
（*典型的展开再收拢的证法）
2、设A,B为两个集合，若A∩B≠∅，则
（A∩B）x（AUB）⊆（AxA）U（BxB）
证明：
对于∀∈（A∩B）x（AUB）
x∈（A∩B）,y∈（AUB）
（x∈A∧x∈B）∧（y∈A∀y∈B）
<=>（（x∈A∧x∈B）∧y∈A）∀（（x∈A∧x∈B）∀y∈B）
<=>（x∈A∧x∈B∧y∈A）∀（x∈A∧x∈B∧y∈B）
=>（*注意是单方向箭头）
（x∈A∧y∈A）∀（x∈B∧y∈B）
<=>∈（AxA）U（BxB）
证毕
3、证明P（A）∩P（B）=P（A∩B）
证明：
1）对∀x∈P（A）∩P（B）
即，x∈P（A）∧x∈P（B）
即，x⊆A∧x⊆B
即，x⊆（A∩B）
即，x∈P（A∩B）
即P（A）∩P（B）⊆P（A∩B）
2）对∀x∈P（A∩B）
即，x⊆A∩B
即，x⊆A∧x⊆B
即，x∈P（A）∧x∈P（B）
即，x∈P（A）∩P（B）
即P（A∩B）⊆P（A）∩P（B）
由1）2）可知P（A）∩P（B）=P（A∩B）
证毕
4、设A和B是论域E的子集，B=~A<=>AUB=E∧A∩B=∅
证明：
（从左边到右边）
1）
B=~A
∴AUB=AU~A=E
同时，A∩B=A∩~A=∅
2）（从右边到左边）
对∀x⊆B∈E由于A∩B=∅
∴x!
⊆A
即B={x|x⊆E且x!
⊆A}
即，B=E-A=~A
由1）2）可知原命题成立
证毕
5、证明：
若A⊕B=A⊕C则有B=C
证明：
法一：
（*推荐使用这种证法）
A⊕B=A⊕C
A⊕（A⊕B）=A⊕（A⊕C）
（A⊕A）⊕B=（A⊕A）⊕C
∅⊕B=∅⊕C
∴B=C
法二：
（*这种证法建议画图来看）
（1）对∀x⊆B
若x⊆A
=>x⊆A∩B
=>x!
⊆A⊕B
=>x!
⊆A⊕C
即，x⊆A∧x!
⊆A⊕C
=>x⊆A∩C
=>x⊆C
若x!
⊆A
=>x!
⊆A∩B
=>x⊆AUB∧x!
⊆A∩B
又，x⊆A⊕C
即，x!
⊆A∧x⊆A⊕C
=>x⊆C
所以B∈C
（2）同理可证
C∈B
由
（1）
（2）可知B=C
（*关键在于证明充分性的时候的反证法的利用）
6、P（A）UP（B）=P（AUB）当且仅当A∈B或B∈A
证明：
1）若P（A）UP（B）=P（AUB）
假设A!
∈B且B!
∈A
则（Ex）（x⊆A∧x!
⊆B）∧（Ey）（y!
⊆A∧y⊆B）
=>a⊆A∧a!
⊆B∧b⊆B∧b!
⊆A
=>{a,b}∈P（AUB）∧{a,b}!
∈P（A）∧{a,b}!
∈P（B）
即有，{a,b}!
∈P（A）∈P（B）
即，~{a,b}∈P（A）∧~{a,b}∈P（B）
即，~（{a,b}∈⊆P（A）∀{a,b}∈P（B））
即，~{a,b}∈P（A）UP（B）
与{a,b}∈P（AUB）矛盾
故A∈B或B∈A
2）若A∈B或B∈A
若A∈B
P（A）∈P（B）
且，AUB=B=>P（AUB）=P（B）
故，P（A）UP（B）=P（B）=P（AUB）
当B∈A时同理
故P（A）UP（B）=P（AUB）
由1）2）可知原命题成立，证毕
第六页
1、设R是集合X上的一个自反关系。
则R是对称和传递的，当且仅当⊆R∧⊆R，有在R之中。
证明：
R是集合X上的一个自反关系。
1）当R是对称和传递的时候，
对⊆R⊆⊆R
由R的对称性，
⊆R
又由R的传递性，
⊆R
2）当⊆R∧⊆R，有在R之中时，
对∀x,y,z⊆X
由自反性，
⊆R
当⊆R时，
（⊆R∧⊆R=>⊆R）
⊆R
故R是对称的。
当⊆R时
⊆R
（∧⊆R=>⊆R）
所以⊆R
故R是传递的
由1）2）可知原命题成立，证毕
2、若关系R和S在集合X上是等价的，证明R∈S也是等价的。
证明：
因为R和S在集合X上是等价的，所以R、S在X上满足自反性、对称性和传递性
1）对∀x⊆X
⊆R∧⊆S
即，⊆R∈S
即R∈S是自反的。
2）对∀⊆R∈S
即,⊆R∧⊆S
有，⊆R∧⊆S
即，⊆R∈S
即R∈S是对称的。
3）对∀,⊆R∈S
即，⊆R∧⊆S
有，⊆R∧⊆S
即，⊆R∈S
即R∈S是传递的。
由1）2）3）可知R∈S是等价的。
3、如果关系R在集合X上是等价的，证明Rc也是等价的。
证明：
因为R在集合X上是等价的，所以R在X上满足自反性、对称性和传递性
1）对∀x⊆R，⊆R，由Rc的定义可知，⊆Rc
故Rc是自反的。
2）对∀⊆R，则有⊆Rc
同时由自反性可知⊆R，而⊆Rc，
故Rc是对称的。
3）对∀⊆R，有⊆R
而由Rc的定义可知⊆Rc且⊆Rc
可知Rc是传递的。
由1）2）3）可知Rc是等价的。
4、设R是集合A上的等价关系，则对于所有a,b⊆A，或者[a]R=[b]R或者[a]R∈[b]R=⊆。
证明：
若A=⊆，则命题显然成立。
若A≠⊆，
对∀⊆A
则[a]R∈[b]R=⊆或者[a]R∈[b]R≠⊆
当[a]R∈[b]R≠⊆时，
法一：
（*该证法依靠一个前置定理）
一定存在某个元素c⊆[a]R∈[b]R
有⊆R∧⊆R
由定理可知（*定理描述为：
设给定集合A上的等价关系R对于a，b⊆A,⊆R当且仅当[a]R=[b]R）
[a]R=[c]R,[b]R=[c]R
即，
[a]R=[b]R
法二：
（*思路是通过证明A∈B且B∈A得到A=B）
对于∀c⊆[a]R，
有⊆R，又R是等价关系，所以有，
⊆R（*传递性的逆用）
即⊆R，即c⊆[b]R
即[a]R∈[b]R
同理可证[b]R∈[a]R
即[a]R=[b]R
证毕
（*注意R的构造和序偶的翻转）
5、设集合A有一个覆盖S={S1,S2,…,Sm}，试由此划分确定一个相容关系。
证明：
设R=S1xS1US2xS2US3xS3...SmUSm
现在证明R是相容关系：
1）对∀x⊆R
必有，x⊆Si（i=1,2,3,...,m）
所以，⊆SixSi∈R
故R是自反的。
2）对∀x,y⊆S，设⊆R
则必定存在一个Si⊆S（i=1,2,3,...,m）
有⊆SixSi
那么⊆SixSi
故R是对称的
由1）2）生成的R是相容的。
证毕
（*注意复合运算的展开，一般都和传递挂钩）
6、设S是X上的二元关系，S是传递的当且仅当S·S∈S。
证明：
1）当S是传递的。
对∀⊆S·S，有
（Ey）（y⊆X∧⊆S∧⊆S）
由S的传递性，（Ey）（y⊆X∧⊆S）
即⊆S
故S·S∈S
2）当S·S∈S时，
对∀⊆S·S∈S
即⊆S
有，（Ey）（y⊆X∧⊆S∧⊆S）
即⊆S∧⊆S，有⊆S
故S是传递的
由1）2）可知原命题成立。
证毕
（*100⊆会考的题）
（*注意反对称容易成为盲点）
7、设R是X上的二元关系，则:
a）R是对称的，当且仅当R=Rc
b）R是反对称的，当且仅当R∩Rc∈Ix
证明：
a）
1）若R是对称的
对∀⊆R，①
即⊆Rc，（Rc的定义）
有⊆R，（对称的定义）②
对∀⊆Rc③
有⊆
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