三角形周长最小值专题.docx
《三角形周长最小值专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形周长最小值专题.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
三角形周长最小值专题
三角形周长最小值专题
A.线段和最小值
两种基本模型
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？
为什么？
求线段和最小值的一般步骤：
①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’
②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，
点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。
基本解法:
:
利用对称性,将“折”转“直”
基础训练
1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为
A.1B.
C.
D.2
试题分析：
连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，
的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。
因为
，
，所以
，所以
，所以
，此时
，所以
，即
2.如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
图4
分析：
首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。
如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，
图5图6
由∠BAD=60°，AB=AD，AE=BE知，
故PE+PB的最小值为
。
2.如图，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__
_。
P位于A′B与MN的交点处，AP+BP的值最小；
作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，
连接BA′交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB=PA′+PB=A′B，连接OA、OA′、OB，
B.三角形周长最小值
1.福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，
（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
P2
P1
O
A
B
P
R
Q
O
图4
分析：
点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．
解：
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2，
根据轴对称性易知：
OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=90°，因而P1P2=
，
故△PQR周长的最小值为
．
2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式。
（2）设
（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得
的周长最小？
如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大?
若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值;若不存在，请说明理由
重点分析第
（2）问，要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小。
设抛物线的对称轴为直线MN，则可分解出图形，构建模型，要在直线MN上找点Q，使CQ+QA最小。
由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。
3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．
（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析，注意不要漏解；
（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可．
解：
∵抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，
∴
B.四边形周长最小值
基本模型
（一）定长不动：
做双对称
思路与方法
1）总有两个已知点，即一条边是定值。
2）分别做两个已知点关于xy轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点
3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。
1.在直角坐标系中,设A（4，-5）B（8，-3）C（m，0）D（0，n）,当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.
2.在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D （n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m+n=_________
升级会员 