全国通用版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第6练 夯基础熟练掌握基本初等函数 理doc.docx

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（全国通用）2019版高考数学考前三个月复习冲刺专题3第6练夯基础-熟练掌握基本初等函数理

[题型分析·高考展望]　基本初等函数的性质、图象及其应用是高考每年必考内容，一般为二至三个选择题、填空题，难度为中档.在二轮复习中，应该对基本函数的性质、图象再复习，达到熟练掌握，灵活应用.对常考题型进行题组强化训练，图象问题难度稍高，应重点研究解题技巧及解决此类问题的总体策略.

常考题型精析

题型一　指数函数的图象与性质

指数函数性质：

指数函数y＝ax（a>0且a≠1）为单调函数；当a>1时在（－∞，＋∞）上为增函数，当0

例1　

（1）（2015·昆明模拟）设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为（　　）

A.c

C.a

（2）若关于x的方程|ax－1|＝2a（a>0且a≠1）有两个不等实根，则a的取值范围是（　　）

A.（0,1）∪（1，＋∞）B.（0,1）

C.（1，＋∞）D.

点评　

（1）指数函数值比较大小，除考虑指数函数单调性、值域外，还需考虑将其转化为幂函数，利用幂函数的单调性比较大小.

（2）数形结合思想是解决函数综合问题的主要手段，将问题转化为基本函数的图象关系，比较图象得出相关变量的方程或不等关系，从而使问题解决.

变式训练1　

（1）（2015·山东）设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.b＜a＜cD.b＜c＜a

（2）（2015·江苏）不等式2x2－x＜4的解集为________.

题型二　对数函数的图象与性质

y＝logax（a>0且a≠1）基本性质：

过定点（1,0）；

a>1时在（0，＋∞）上单调递增，0

00；

a>1时，x∈（1，＋∞），y>0，x∈（0,1），y<0；

y＝logax，x∈（0，＋∞），y∈R，是非奇非偶函数.

例2　（2014·福建）若函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象如图所示，则所给函数图象正确的是（　　）

点评　对于含参数的指数、对数函数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论.解决对数函数问题时，首先要考虑其定义域，其次再利用性质求解.

变式训练2　

（1）（2015·四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（　　）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

（2）（2015·苏北四市联考）设函数f（x）＝

若f（－a）>f（a），则实数a的取值范围是________________.

题型三　幂函数的图象和性质

例3　（2014·重庆）已知函数f（x）＝

且g（x）＝f（x）－mx－m在

（－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

A.

∪

B.

∪

C.

∪

D.

∪

点评　在幂函数中，y＝x－1非常重要，在高考中经常考查，要会画其函数作平移变换后的图象，并对其对称中心、单调性作深入研究.

变式训练3　

（1）（2015·湖南）设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（2）已知定义域为R的函数f（x）＝

若关于x的方程f2（x）＋bf（x）＋c＝0有

3个不同的实根x1，x2，x3，则x

＋x

＋x

等于（　　）

A.13B.

C.5D.

高考题型精练

1.（2015·重庆）函数f（x）＝log2（x2＋2x－3）的定义域是（　　）

A.[－3,1]B.（－3,1）

C.（－∞，－3]∪[1，＋∞）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）

2.（2015·课标全国Ⅰ）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝－x对称，且f（－2）＋f（－4）＝1，则a等于（　　）

A.－1B.1

C.2D.4

3.（2014·山东）已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是（　　）

A.a>1，c>1B.a>1,0

C.01D.0

4.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（　　）

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

5.（2014·安徽）设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则（　　）

A.b

C.c

6.设a>0，b>0（　　）

A.若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b

B.若2a＋2a＝2b＋3b，则a

C.若2a－2a＝2b－3b，则a>b

D.若2a－2a＝2b－3b，则a

7.（2015·北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（　　）

A.{x|－1＜x≤0}

B.{x|－1≤x≤1}

C.{x|－1＜x≤1}

D.{x|－1＜x≤2}

8.（2014·浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象可能是（　　）

9.已知0

10.若函数y＝

|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是________.

11.已知函数f（x）＝

且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.

12.定义两个实数间的一种新运算“*”：

x*y＝ln（ex＋ey），x，y∈R.当x*x＝y时，x＝

.对任意实数a，b，c，给出如下命题：

①a*b＝b*a；

②（a*b）＋c＝（a＋c）*（b＋c）；

③（a*b）－c＝（a－c）*（b－c）；

④（a*b）*c＝a*（b*c）；

⑤

≥

.

其中正确的命题有______.（写出所有正确的命题序号）

答案精析

专题3函数与导数

第6练　夯基础——熟练掌握基本初等函数

常考题型精析

例1　

（1）A　

（2）D

解析　

（1）由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，根据幂函数在区间（0，

＋∞）上为增函数，

得c

（2）方程|ax－1|＝2a（a>0且a≠1）有两个实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点.

①当0

（1），

∴0<2a<1，即0

.

②当a>1时，如图

（2），而y＝2a>1不符合要求.

综上，0

.

变式训练1　

（1）C　

（2）{x|－1＜x＜2}

解析　

（1）根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.

（2）∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1

例2　B　[题意得y＝logax（a>0，且a≠1）的图象过（3,1）点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝（

）x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝（－x）3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3（－x）的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.]

变式训练2　

（1）A　

（2）（－1,0）∪（1，＋∞）

解析　

（1）若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A.

（2）若a>0，则log2a>log

a，即2log2a>0，所以a>1.若a<0，则log

（－a）>log2（－a），即

2log2（－a）<0，所以0<－a<1，解得－11或－1

即a∈（－1,0）∪（1，＋∞）.

例3　A[作出函数f（x）的图象如图所示，其中A（1,1），B（0，－2）.

因为直线y＝mx＋m＝m（x＋1）恒过定点C（－1,0），故当直线y＝m（x＋1）在AC位置时，m＝

，可知当直线y＝m（x＋1）在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点（直线y＝m（x＋1）可与AC重合但不能与x轴重合），此时0

，g（x）有两个不同的零点.当直线y＝m（x＋1）过点B时，m＝－2；当直线y＝m（x＋1）与曲线f（x）相切时，联立

得mx2＋（2m＋3）x＋m＋2＝0，由Δ＝（2m＋3）2－4m（m＋2）＝0，解得m＝－

，可知当y＝m（x＋1）在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点（直线y＝m（x＋1）可与BC重合但不能与切线重合），此时－

，－2]∪（0，

]，故选A.]

变式训练3　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）由于函数f（x）＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立.因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.

（2）作出f（x）的图象，由图知，只有当f（x）＝1时有3个不同的实根；∵关于x的方程f2（x）＋bf（x）＋c＝0有3个不同的实数解x1，x2，x3，∴必有f（x）＝1，从而x1＝1，x2＝2，x3＝0，故可得x

＋x

＋x

＝5，故选C.

高考题型精练

1.D[需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f（x）的定义域为（－∞，－3）∪（1，

＋∞）.]

2.C[设f（x）上任意一点为（x，y），关于y＝－x的对称点为（－y，－x），将（－y，－x）代入

y＝2x+a，所以y＝a－log2（－x），由f（－2）＋f（－4）＝1，得a－1＋a－2＝1,2a＝4，a＝2.]

3.D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0

4.D[因为a＝log36＝1＋log32＝1＋

，b＝log510＝1＋log52＝1＋

，c＝log714＝1＋log72＝1＋

，显然a>b>c.]

5.B[∵a＝log37，∴12.

∵c＝0.83.1，∴0

6.A[对于x>0时有2x＋2x<2x＋3x恒成立，

而要使2a＋2a＝2b＋3b成立，则必须有a>b.]

7.C[令g（x）＝y＝log2（x＋1），作出函数g（x）图象如图.

由

　得

∴结合图象知不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集为

{x|－1

8.D[当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0

9.2解析分别画出函数y＝ax（0

10.[－1,0）

解析　由题意得，

函数y＝

首先作出函数y＝

的图象，如图所示.

由图象可知要使函数y＝

的图象与x轴有公共点，则m∈[－1,0）.

11.a>1

解析　画出函数y＝f（x）与y＝a－x的图象，如图所示，所以a>1.

12.①②③④⑤

解析　因为a*b＝ln（ea＋eb），b*a＝ln（eb＋ea），

所以a*b＝b*a，即①对；

因为（a*b）＋c＝ln（ea＋eb）＋c＝ln[（ea＋eb）ec]

＝ln（ea＋c＋eb＋c）＝（a＋c）*（b＋c），所以②对；

只需令②中的c为－c，即有结论（a*b）－c＝（a－c）*（b－c），所以③对；

因为（a*b）*c＝[ln（ea＋eb）]*c＝ln[eln（ea＋eb）＋ec]

＝ln（ea＋eb＋ec），

a*（b*c）＝a*[ln（eb＋ec）]＝ln[ea＋eln（eb＋ec）]

＝ln（ea＋eb＋ec），

所以（a*b）*c＝a*（b*c），即④对；

设

＝x，则x*x＝a*b，

所以ln（ex＋ex）＝ln（ea＋eb），

所以2ex＝ea＋eb，

所以x＝ln

，即

＝ln

≥ln

＝

，故⑤对.

故正确的命题是①②③④⑤.