圆和相似结合初三.docx

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圆和相似结合初三

圆和相似（初三）

一．解答题（共18小题）

1．（2012•铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．

（1）求证：

CD∥BF；

（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=

，求线段AD的长．

2．（2013•河东区一模）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥BC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且∠A+2∠AED=90°．

（Ⅰ）证明：

直线AB是⊙O的切线；

（Ⅱ）当BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．

3．（2011•湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：

直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：

AE=4：

5，BC=6，求⊙O的直径．

4．（2012•丰润区一模）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=

．

（1）求证：

BF为⊙O的切线．

（2）求⊙O的半径．

5．（2013•塘沽区二模）如图

（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．

（Ⅰ）求证：

△ADC∽△ACB；

（Ⅱ）如果把直线CD向下平行移动，如图

（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求

的值．

6．（2012•德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．

（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）求线段AF的长．

7．（1997•湖南）已知：

如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程x2﹣kx+2

=0的两根（k为常数）．

（1）求证：

PA•BD=PB•AE；

（2）求证：

⊙O的直径长为常数k；

（3）求tan∠FPA的值．

8．（2005•柳州）已知，如图，直线l与⊙O相切于点D，弦BC∥l，与直径AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H．

（1）求证：

AB=AC；

（2）如果AE=6，EF=2，求AC．

9．（2006•黄冈）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．

（1）若PC=PF，求证：

AB⊥ED；

（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？

10．已知：

如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=

．

（1）求证：

AM•MB=EM•MC；

（2）求sin∠EOB的值；

（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：

直线PE是⊙O的切线．

11．（2012•临沂）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：

AP是⊙O的切线；

（2）求PD的长．

12．（2012•陕西）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．

（1）求证：

OM=AN；

（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．

13．（2012•东营）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，

（1）求证：

OD∥BE；

（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．

14．（2013•黄石）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．

（1）求证：

DE与⊙O相切；

（2）求证：

OF=

CD．

15．（2012•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA=3，AE=2，

（1）求CD的长；

（2）求BF的长．

16．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．

（1）求证：

PC是⊙O的切线．

（2）若AF=1，OA=

，求PC的长．



17．（2012•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．

18．（2012•怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．

（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；

（2）若AC=2

，求证：

△ACD∽△OCB．

（2013•天津）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．

（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；

（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

圆和相似结合（初三）

参考答案与试题解析

一．解答题（共18小题）

1．（2012•铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．

（1）求证：

CD∥BF；

（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=

，求线段AD的长．

考点：

切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．1414687

专题：

压轴题．

分析：

（1）由BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；

（2）又由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，由圆周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然后由⊙O的半径为5，cos∠BCD=

，即可求得线段AD的长．

解答：

（1）证明：

∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴BF⊥AB，…3分

∵CD⊥AB，

∴CD∥BF；…6分

（2）解：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，…7分

∵⊙O的半径5，

∴AB=10，…8分

∵∠BAD=∠BCD，…10分

∴cos∠BAD=cos∠BCD=

=

，

∴AD=cos∠BAD•AB=

×10=8，

∴AD=8．…12分

点评：

此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．

2．（2013•河东区一模）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥BC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且∠A+2∠AED=90°．

（Ⅰ）证明：

直线AB是⊙O的切线；

（Ⅱ）当BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．

考点：

切线的判定．1414687

专题：

计算题．

分析：

（I）连接OE，CE，OB，求出BC=BE，证出△OEB≌△OCB，推出∠OEB=∠ACB=90°，根据切线的判定推出即可；

（II）证△AEO∽△ACB，推出

=

，求出

=

，解直角三角形求出即可．

解答：

（Ⅰ）证明：

连接OE，CE，OB，

∵DC为圆O的直径，

∴∠DEC=90°，

即∠CEB+∠AED=90°，

∴2∠AED+∠2∠CEB=180°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵∠A+2∠AED=90°，

∴∠ABC=2∠AED，

∴∠ABC+2∠CEB=180°，

∵∠ABC+∠CEB+∠ECB=180°，

∴∠CEB=∠ECB，

∴BC=BE，

在△OEB和△OCB中

，

∴△OEB≌△OCB，

∴∠OEB=∠ACB=90°，

即OE⊥AB，

∴AB是⊙O切线．

（Ⅱ）解：

∵BE=BC=1，AB=2+1=3，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：

AC=

=2

，

∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，

∴△AEO∽△ACB，

∴

=

，

∴

=

=

，

∴tan∠OBC=

=

=

．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

3．（2011•湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：

直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：

AE=4：

5，BC=6，求⊙O的直径．

考点：

切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．1414687

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD；

（2）连接DE，由AE是直径，得到∠ADE=90°，然后利用已知条件可以证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质得到AD：

AC=DE：

BC，又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：

AE=4：

5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题．

解答：

解：

（1）连接OD，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

又∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，

∴BD⊥OD，

∴BD是⊙O切线；

（2）

连接DE，…（7分）

∵AE是直径，

∴∠ADE=90°，…（8分）

又∵∠C=90°，

∴∠ADE=∠C，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，…（9分）

∴AD：

AC=DE：

BC

又∵D是AC中点，

∴AD=

AC，

∴DE=

BC，

∵BC=6，∴DE=3，…（11分）

∵AD：

AE=4：

5，

在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，

那么DE=3x，

∴x=1

∴AE=5．

点评：

本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OD、DE，证明DE∥BC．

4．（2012•丰润区一模）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=

．

（1）求证：

BF为⊙O的切线．

（2）求⊙O的半径．

考点：

切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．1414687

分析：

（1）由AB⊥CD，BF∥CD，可得AB⊥BF，又由AB是⊙O的直径，即可证得BF为⊙O的切线；

（2）首先连接BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB是直角，又由AD=3，cos∠BCD=

，即可得cos∠BAD=

=

，继而求得答案．

解答：

（1）证明：

∵AB⊥CD，BF∥CD，

∴AB⊥BF，

∵