学年最新高中数学第一章立体几何初步11简单几何学案北师大版必修2.docx
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学年最新高中数学第一章立体几何初步11简单几何学案北师大版必修2
第1课时 简单旋转体
[核心必知]
几种简单旋转体
名称
定义
图形表示
相关概念
球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球
球心：
半圆的圆心
球的半径：
连接球心和球面上任意一点的线段
球的直径：
连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥
高：
在旋转轴上这条边的长度
底面：
垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面侧面：
不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面
母线：
不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置都叫作侧面的母线
圆台
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台
[问题思考]
1．铅球和乒乓球都是球吗？
提示：
铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．
2．圆台的母线一定交于一点吗？
提示：
圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的．因此圆台的母线一定交于一点．
3．你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗？
提示：
圆柱、圆锥、圆台的形状不同，它们之间既有区别又有联系，并且在一定条件下可以相互转化．当圆台的下底面保持不变，而上底面越来越大时，圆台就越来越接近于圆柱，当上底面增大到与下底面相同时，圆台转化为圆柱，当圆台的上底面越来越小时，圆台就越来越接近于圆锥，当上底面收缩为一个点时，圆台就转化为圆锥了．
讲一讲
1．下列叙述正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．
A．0 B．1 C．2 D．3
[尝试解答] 解析：
选A ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2，故②错；③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球，故③错．
对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．
练一练
1．下列命题正确的是（ ）
A．过圆锥侧面上一点有无数条母线
B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段
C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行
D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台
解析：
选D A不正确，当该点不在顶点处时，只有一条母线；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征.
讲一讲
2．如图，请描述
（1），
（2）中L围绕l旋转一周形成的空间几何体及曲面．
[尝试解答] 解：
（1）旋转形成的几何体是一个圆环，形成的曲面是一个封闭的圆环曲面，形如自行车的轮胎．
（2）旋转形成的几何体是一个球，形成的曲面是一个球面．
（1）判断平面图形旋转后立体图形的形状，应根据平面图形的特点判断．
（2）由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的，关键是看该立体图形是由哪些简单几何体构成的，然后通过轴截面的形状作出判断．
练一练
2．若将例题中图形改为如图所示，形成的几何体又是怎样的呢？
解：
旋转而成的几何体如图所示．
用一个平面去截圆柱，截面是什么图形？
[错解] 截面是圆．
[错因] 本题错解原因有两个：
一是截面与底面的位置关系考虑不全面；二是没有真正把握圆柱是一种几何体，而几何体是封闭的实体．
[正解] 如图所示，截面是圆面或者是椭圆面（或椭圆面的一部分）或者是矩形面．
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③
C．①③D．②④
解析：
选D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．
2．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 （ ）
A．圆柱B．圆锥
C．球D．圆台
解析：
选C 由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．
3．有下列三个命题：
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
③圆锥的轴截面是等腰三角形．
其中错误命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
选C ①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．
4．过球面上两点可能作出的球的大圆有____________．
解析：
若两个点与圆心不共线，则有且只有1个，若两个点与圆心共线，则有无数个．
答案：
一个或无数个
5．平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥所得的截面是________．
答案：
圆面
6．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？
画出平面图形和旋转轴．
解：
先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
一、选择题
1．给出以下说法：
①圆台的上底面缩小为一点时（下底面不变），圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．3
解析：
选B 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．
2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成（ ）
A．一个圆台和两个圆锥
B．两个圆台和一个圆锥
C．两个圆柱和一个圆锥
D．一个圆柱和两个圆锥
解析：
选D 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．
3．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
解析：
选A 图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．
4．以下几何体中符合球的结构特征的是（ ）
A．足球B．篮球
C．乒乓球D．铅球
解析：
选D 因为球包括球面及球体内部（即实心）．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．
5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是（ ）
A．
（1）
（2）B．
（1）（3）
C．
（1）（4）D．
（1）（5）
解析：
选D 轴截面为
（1），平行于圆锥轴截面的截面是（5）．
二、填空题
6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．
解析：
所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．
答案：
两个圆锥
7．给出下列四个命题：
①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
其中正确命题的序号是________．
解析：
①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图
（1）．②正确，如图
（2）．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图（3）．
答案：
②
8．圆台两底面半径分别是2cm和5cm，母线长是3
cm，则它的轴截面的面积是______．
解析：
画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3（cm），
AM＝
＝9（cm），
∴S四边形ABCD＝
＝63（cm2）．
答案：
63cm2
三、解答题
9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？
其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．
解：
将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．
10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．
解：
②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高．SA，SB是圆锥的母线．
③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面．O′O为圆柱的高，A′A与B′B为圆柱的母线．
①不是圆柱，④不是圆锥．
第2课时 简单多面体
[核心必知]
1．简单多面体的定义
把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．
2．几种常见的简单多面体
名称
定义
图形表示
相关概念
棱 柱
两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱
侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱
底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱
底面：
两个互相平行的面
侧面：
除底面外的其余各面
棱：
相邻两个面的公共边
侧棱：
相邻两个侧面的公共边顶点：
底面多边形与侧面的公共顶点
高：
与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长
棱 锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫作棱锥
底面是正多边形，各侧面全等的棱锥叫作正棱锥
底面：
棱锥中的多边形面
侧面：
除底面外的其余各面
侧棱：
相邻侧面的公共边
顶点：
各侧面的公共点
高：
过顶点作底面的垂线，顶点和垂足间的线段长
续表
名称
定义
图形表示
相关概念
棱 台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台
用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形
底面：
原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面
侧面：
除底面外的其余各面
侧棱：
相邻侧面的公共边
高：
与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长
[问题思考]
1．如图所示的几何体是不是锥体，为什么？
提示：
不是锥体．因为锥体的各侧棱必交于一点，而此物体不具备这一特征，所以不是锥体．
2．“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体一定是棱锥吗？
提示：
棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形．但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥，如图所示的几何体满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥．
讲一讲
1．给出下列几个结论：
①长方体一定是正四棱柱；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
③多面体至少有四个面；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[尝试解答] 选B 对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错，②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正确的．
认识、判断一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．
练一练
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱
D．棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等
解析：
选C A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱．
讲一讲
2.如图几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？
若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．
[尝试解答] ∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABCEFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1EA1B1F，如图．
认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而成的几何体，并能用适当的平面将其分割开．
练一练
2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 （ ）
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥组合体
D．不能确定
解析：
选A 将过固定的一边的两端点的互相平行的两个侧面作为棱柱的底面，其他面作为棱柱的侧面来看待，正好符合棱柱的结构特征．
3.如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成？
解：
该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到（如图①）；也可以由长方体切割去一个三棱柱得到（如图②）．
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？
[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．
[错因] 棱柱的定义是这样的：
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．
[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．
1．下列说法正确的有（ ）
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：
选A ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例（如下图所示）加以检验，故②③均不对．
2．棱台不一定具有的性质是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点
解析：
选C 只有正棱台的侧棱都相等．
3．下列几何体中棱柱的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
解析：
选D 由棱柱的定义及特征知①③为棱柱．
4．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成____________个三角形．
解析：
用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形．
答案：
4
5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是________．
①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．
解析：
用平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故填④.
答案：
④
6．如图所示为长方体ABCDA′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′、C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？
如果不是，请说明理由．
解：
截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′－DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
一、选择题
1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（ ）
A．四边形 B．三角形
C．三角形或四边形D．不可能为四边形
解析：
选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形（如图①），如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形（如图②）．
2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥
C．五棱锥D．六棱锥
解析：
选D 解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．
3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：
选D 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，取四棱锥A1ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．
4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．
（1）是棱台B．
（2）是圆台
C．（3）是棱锥D．（4）不是棱柱
解析：
选C 图
（1）不是由棱锥截来的，所以
（1）不是棱台；图
（2）上下两个面不平行，所以
（2）不是圆台；图（4）前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱柱；很明显（3）是棱锥．
5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是（ ）
A．底面为平行四边形的四棱柱
B．五棱锥
C．无平行平面的六面体
D．斜三棱柱
解析：
选D 如图，正三棱锥ABEF和正四棱锥BCDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．
二、填空题
6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________（写出所有正确结论的编号）．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：
如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．
答案：
①③④⑤
7．下列四个命题：
（1）棱柱的两底面是全等的正多边形；
（2）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（3）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（4）四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中正确的序号是________．
解析：
（1）棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；
（2），（3）都不能保证侧棱与底面垂直；（4）易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．
答案：
（4）
8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．
解析：
在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．
答案：
三棱柱或三棱台
三、解答题
9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．
解：
分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．
（1）是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．
（2）是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．
10．画一个三棱台，再把它分成：
（1）一个三棱柱和另一个多面体；
（2）三个三棱锥，并用字母表示．
解：
画三棱台一定要利用三棱锥．
（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″.
（2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.
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