五力系的等效与简化.docx
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五力系的等效与简化
第五讲内容
第二章力系的等效与简化
一、刚体和平衡的概念
刚体:
在受力作用后而不产生变形的物体称为,刚体是对实际物体经过科学的抽象和简化而得到的一种理想模型。
而当变形在所研究的问题中成为主要因素时(如在材料力学中研究变形杆件),一般就不能再把物体看作是刚体了。
平衡:
指物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。
显然,平衡是机械运动的特殊形态,因为静止是暂时的、相对的,而运动才是永衡的、绝对的。
二、力系、等效力系、平衡力系
力系:
作用在物体上的一组力。
按照力系中各力作用线分布的不同形式,
力系可分为:
(1)汇交力系力系中各力作用线汇交于一点;
(2)力偶系力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成;
(3)平行力系力系中各力作用线相互平行;
(4)一般力系力系中各力作用线既不完全交于一点,也不完全相互平行。
按照各力作用线是否位于同一平面内,上述力系各自又可以分为平面力系和
空间力系两大类,如平面汇交力系、空间一般力系等等。
等效力系:
两个力系对物体的作用效应相同,则称这两个力系互为等效力系。
当一个力与一个力系等效时,则称该力为力系的合力;而该力系中的每一个力称为其合力的分力。
把力系中的各个分力代换成合力的过程,称为力系的合成;反过来,把合力代换成若干分力的过程,称为力的分解。
平衡力系:
若刚体在某力系作用下保持平衡。
在平衡力系中,各力相互平衡,或者说,诸力对刚体产生的运动效应相互抵消。
可见,平衡力系是对刚体作用效应等于零的力系。
第一节静力学基本公理
静力学公理是人们从实践中总结得出的最基本的力学规律,这些规律的正确性已为实践反复证明,是符合客观实际的。
一、二力平衡公理
作用于刚体上的两个力平衡的充分与必要条件是这两个力大小相等、方向相反、作用线相同。
这一结论是显而易见的。
如图所示直杆,在杆的两端施加一对大小相等的拉力(F1、F2)或压力(F2、F1),均可使杆平衡。
图2-1
应当指出,该条件对于刚体来说是充分而且必要的;而对于变形体,该条件只是必要的而不充分。
如柔索当受到两个等值、反向、共线的压力作用时就不能平衡。
在两个力作用下处于平衡的物体称为二力体;若为杆件,则称为二力杆。
根据二力平衡公理可知,作用在二力体上的两个力,它们必通过两个力作用点的连线(与杆件的形状无关)且等值、反向。
二、加减平衡力系公理
在作用于刚体上的已知力系上,加上或减去任意平衡力系,不会改变原力系对刚体的作用效应。
这是因为平衡力系中,诸力对刚体的作用效应相互抵消,力系对刚体的效应等于零。
根据这个原理,可以进行力系的等效变换。
推论1力的可传性原理
作用于刚体上某点的力,可沿其作用线任意移动作用点而不改变该力对刚体的作用效应。
利用加减平衡力系公理,很容易证明力的可传性原理。
设力F作用于刚体上的A点。
现在其作用线上的任意一点B加上一对平衡力系F1、F2,并且使F1=—F2=F,根据加减平衡力系公理可知,这样做不会改变原力F对刚体的作用效应,再根据二力平衡条件可知,F2和F亦为平衡力系,可以撤去。
所以,剩下的力F1与原力F等效。
力F1即可看成为力F沿其作用线由A点移至B点的结果。
同样必须指出,力的可传性原理也只适用于刚体而不适用于变形体。
三、力的平行四边形法则
作用于物体同一点的两个力,可以合成为一个合力,合力也作用于该点,其大小和方向由以两个分力为邻边的平行四边形的对角线表示,即合力矢等于这两个分力矢的矢量和。
其矢量表达式为
FR=F1+F2(1—1)
在求两共点力的合力时,为了作图方便,只需画出平行四边形的一半,即三角形便可。
其方法是自任意点O开始,先画出一矢量F1,然后再由F1的终点画另一矢量F2,最后由O点至力矢F2的终点作一矢量FR,它就代表F1、F2的合力矢。
合力的作用点仍为F1、F2的汇交点A。
这种作图法称为力的三角形法则。
显然,若改变F1、F2的顺序,其结果不变。
利用力的平行四边形法则,也可以把作用在物体上的一个力,分解为相交的两个分力,分力与合力作用于同一点。
实际计算中,常把一个力分解为方向已知的两个(平面)或三个(空间)分力,如图1—7即为把一个任意力分解为方向已知且相互垂直的两个(平面)或三个(空间)分力。
这种分解称为正交分解,所得的分力称为正交分力。
图1—7
四、三力平衡汇交定理
作用于刚体上平衡的三个力,如果其中两个力的作用线交于一点,则第三个力必与前面两个力共面,且作用线通过此交点,构成平面汇交力系。
这是物体上作用的三个不平行力相互平衡的必要条件。
应当指出,三力平衡汇交公理只说明了不平行的三力平衡的必要条件,而不是充分条件。
它常用来确定刚体在不平行三力作用下平衡时,其中某一未知力的作用线。
五、作用力与反作用力公理
两个物体间相互作用的一对力,总是大小相等、方向相反、作用线相同,并分别而且同时作用于这两个物体上。
这个公理概括了任何两个物体间相互作用的关系。
有作用力,必定有反作用力;反过来,没有反作用力,也就没有作用力。
两者总是同时存在,又同时消失。
因此,力总是成对地出现在两相互作用的物体上的。
要区别二力平衡公理和作用力与反作用力公理之间的关系,前者是对一个物体而言,而后者则是对物体之间而言。
第一节平面汇交力系合成
平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法,其中几何法是应用力的平行四边形法则(或力的三角形法则),用几何作图的方法,研究力系中各分力与合力的关系,从而求力系的合力;而解析法则是用列方程的方法,研究力系中各分力与合力的关系,然后求力系的合力。
下面分别介绍。
一、几何法
首先回顾用几何法合成两个汇交力。
如图2—1a,设在物体上作用有汇交于
点的两个力F1和F2,根据力的平行四边形法则,可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示,合力R的作用点就是这两个力的汇交点
。
也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。
图2—1
对于由多个力组成的平面汇交力系,可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。
设作用于物体上
点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系,现求其合力,如图2—2a所示。
应用力的三角形法则,首先将F1与F2合成得R1,然后把R1与F3合成得R2,最后将R2与F4合成得R,力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力,图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意,矢量关系的数学表达式为
R=F1
F2
F3
F4(2—1)
实际作图时,可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2,只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接,形成一个不封闭的多边形,如图2—2c所示。
然后再画一条从起点指向终点的矢量R,即为原汇交力系的合力,如图2—2d所示。
把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形,合力矢是力多边形的封闭边。
按照与各分力同样的比例,封闭边的长度表示合力的大小,合力的方位与封闭边的方位一致,指向则由力多边形的起点至终点,合力的作用线通过汇交点。
这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。
从图2—2e还可以看出,改变各分力矢相连的先后顺序,只会影响力多边形的形状,但不会影响合成的最后结果。
图2—2
将这一作法推广到由n个力组成的平面汇交力系,可得结论:
平面汇交力系合成的最终结果是一个合力,合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和,可由力多边形的封闭边确定,合力的作用线通过力系的汇交点。
矢量关系式为:
R=F1
F2
F3
……
Fn=∑Fi(2—1b)
或简写为
R=∑F(矢量和)(2—1c)
若力系中各力的作用线位于同一条直线上,在这种特殊情况下,力多边形变成一条直线,合力为
R=∑F(代数和)(2—2)
需要指出的是,利用几何法对力系进行合成,对于平面汇交力系,并不要求力系中各分力的作用点位于同一点,因为根据力的可传性原理,只要它们的作用线汇交于同一点即可。
另外,几何法只适用于平面汇交力系,而对于空间汇交力系来说,由于作图不方便,用几何法求解是不适宜的。
对于由多个力组成的平面汇交力系,用几何法进行简化的优点是直观、方便、快捷,画出力多边形后,按与画分力同样的比例,用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。
但是,这种方法要求这图精确、准确,否则误差会较大。
二、解析法
求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。
这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。
1、力在平面直角坐标轴上的投影
设力F用矢量
表示如图2—3所示。
取直角坐标系oxy,使力F在oxy平面内。
过力矢
的两端点A和B分别向x、y轴作垂线,得垂足a、b及a/、b/,带有正负号的线段ab与a/b/分别称为力F在x、y轴上的投影,记作Fx、Fy。
并规定:
当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时,力的投影取正值;反之,当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时,力的投影取负值。
力的投影的值与力的大小及方向有关,设力F与x轴的夹角为α,则从图2—3可知
(2—3)
一般情况下,若已知力F与x和y轴所夹的锐角分别为α、β,则该力在x、y轴上的投影分别为
(2—4)
即力在坐标轴上的投影,等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。
当力与轴垂直时,投影为零;而力与轴平行时,投影大小的绝对值等于该力的大小。
图2—3图2—4
反过来,若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy,亦可求出该力的大小和方向角:
(2—5)
式中α为力F与x轴所夹的锐角,其所在的象限由Fx、Fy的正负号来确定。
在图2—3中,若将力沿x、y轴进行分解,可得分力Fx和Fy。
应当注意,力的投影和分力是两个不同的概念:
力的投影是标量,它只有大小和正负;而力的分力是矢量,有大小和方向。
它们与原力的关系各自遵循自己的规则。
在直角坐标系中,分力的大小和投影的绝对值是相同的。
同时,力的矢量也可以转化为力的标量进行计算,即
F=Fx+Fy=
(2—6)
式中i、j分别为沿直角坐标轴x、y轴正向的单位矢量。
力在平面直角坐标轴上的投影计算,在力学计算中应用非常普遍,必须熟练掌握。
例2—1如图2—4所示,已知
,各力的方向如图,试分别求各力在x轴和y轴上的投影。
解:
根据公式(2—3)或(2—4),列表计算如下
力
力在x轴上的投影(
)
力在y轴上的投影(
)
F1
F2
F3
F4
2、合力投影定理
为了用解析法求平面汇交力系的合力,必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。
图2—5
如图2—5所示,设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的
点,如图2—5所示。
从任一点A作力多边形ABCD,如图2—5b所示。
则矢量
就表示该力系的合力R的大小和方向。
取任一轴x如图示,把各力都投影在x轴上,并且令FX1、FX2、FX3和Rx分别表示各分力F1、F2、F3和合力R在x轴上的投影,由图2—5b可见
Fx1=ab,Fx2=bc,
,Rx=ad
而ad=ab+bc-cd
因此可得
Rx=Fx1+Fx2+Fx3
这一关系可推广到任意个汇交力的情形,即
Rx=Fx1+Fx2+……Fxn=∑Fx(2—6)
由此可见,合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴上投影的代数和。
这就是合力投影定理。
3、用解析法求平面汇交力系的合力
当平面汇交力系为已知时,如图2—6所示,我们可选直角坐标系,先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影,再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影Rx、Ry,从图2—6中的几何关系,可见合力R的大小和方向由下式确定:
(2—7)
式中α为合力R与x轴所夹的锐角,R在哪个象限由∑Fx和∑Fy的正负号来确定,具体详见图2—7所示。
合力的作用线通过力系的汇交点
。
图2—6图2—7
下面举例说明如何求平面汇交力系的合力。
例2—2如同2—8所示,固定的圆环上作用着共面的三个力,已知
三力均通过圆心
。
试求此力系合力的大小和方向。
解:
运用两种方法求解合力。
(1)几何法
取比例尺为:
1cm代表10kN,画力多边形如图2—8b所示,其中ab=
。
从起点a向终点d作矢量
,即得合力R。
由图上量得,ad=4.4cm,根据比例尺可得,R=44kN;合力R与水平线之间的夹角用量角器量得α=
。
图2—8
(2)解析法
取如图2—8所示的直角坐标系
,则合力的投影分别为
则合力R的大小为
合力R的方向为
由于
>0,
>0,故α在第一象限,而合力R的作用线通过汇交力系的汇交点
。
例2—3如图2—9所示,一平面汇交力系作用于
点。
已知
各力方向如图。
若此力系的合力R与F2沿同一直线,求F3与合力R的大小。
解:
用两种方法
(1)几何法
取比例尺如图所示。
取任一点a开始作力多边形,
由b点作
得折线abc,再从折线上的c点和a点分别作F3和R的平行线,它们相交于一点d。
多边形abcd即为力多边形。
根据比例尺量得R=573N,F3=141N,合力R的作用线通过汇交点
。
图2—9
(2)解析法
取如图2—9所示的坐标系。
由题可知R沿x轴正向,则
又因为
则得
即
得
又由
得
即