M2第二章油气渗流数学模型.docx

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M2第二章油气渗流数学模型

第二章油气渗流数学模型

科学的数学化是当代科学发展的一个主要趋向，当代高科技的本质正是数学技术。

利用数学科学既能够定量描述科学研究的对象，又可以对实际问题进行理论分析和科学预测，从而把科学研究推向更高的阶段。

诚如马克思所说：

“一种科学只有成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步”。

在现今的油气田开发过程中，应用渗流力学理论建立数学模型，并由此进行定量分析和预测是解决实际问题的关键课题。

2-1数学模型

渗流系统是客观存在的，在数学建模中，称这种客观存在的渗流系统为原型（Prototype）。

在油气田开发过程中，原型总是处于运动变化的过程之中，如何把握它们的规律性，是研究渗流系统的根本问题。

所谓模型（Model）是指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。

模型所反映的内容将因其使用的目的不同而不同。

模型一般分为具体模型和抽象模型两大类，具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。

2-1-1物理模型和数学模型

直观的物理模型是抽象的数学模型之基础。

渗流物理模型目标在于归纳渗流系统的主要特征并作相应简化，形成比较合理的物理描述。

描述一个渗流系统，就要根据已有的静态资料描述它所包含的岩石和流体的物理性质，确定渗流系统的区域及其宏观性质，如系统几何特征如何、何种岩石、渗透性、储容性等是否均匀、何种流体、发生何种渗流方式等，还要选择描述渗流问题的自变量（压力P），确定基本假设等。

渗流物理模型实际上是对渗流系统静态的描述，即建立地质模型。

渗流数学模型是为一定目的而对渗流系统做出的抽象、简化的数学符号系统，它反映部分现实世界的特征和数量关系。

数学模型不是原型的复制品，而是为一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子、数学符号、程序、图表等刻画原型的本质属性与内在了解，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。

数学模型源于现实且高于现实，它可以解释渗流系统状态的变化，可以预测渗流系统将来的行为，或者能为控制渗流系统的发展提供最优化策略。

根据渗流力学理论用数学语言进一步表达物理描述，便可以建立渗流数学模型。

在渗流力学中，渗流数学模型一般包括：

本构方程、连续性方程、运动方程、状态方程、能量方程、初、边值条件等。

2-1-2数学建模步骤

在规定的多孔介质范围内（拟要研究的流动区域），渗流数学模型的研究内容主要是在初始条件和边界条件激发下流体运动要素的变化和分布。

（1）确定建模的目的和要求；

（2）研究各物理量的条件和状况；

（3）确定未知数和其他物理量之间的关系；

（4）推导控制方程组；

（5）量纲分析检验；

（6）考证模型的适定性（解的存在性；解的唯一性；解的稳定性）。

按照上述步骤，用数学方法完整地概括某一渗流系统应确定以下几个因素：

（1）给定渗流发生的区域；

（2）选定描述渗流问题的自变量，通常渗流力学中选择压力，而水力工程为测压水头；

（3）找出在整个渗流区域上自变量所满足的偏微分方程；

（4）给出渗流区域边界上自变量所满足的边界条件；

（5）对于不定常渗流问题给出初始条件。

这样，所得到的每一个数学方程式都反应一种客观的渗流物理现象，整个数学问题不应当存在不确定性。

就是说如果给定了正确的偏微分方程和合理的初边界条件，相应的数学问题一定是一个适定问题，它一定有解，并且该解具有唯一性和稳定性。

2-2渗流控制方程组

将运动方程带入连续性方程，可以得到渗流控制方程，各种渗流的偏微分方程所描述的是渗流系统内任意一点上发生的渗流现象，它代表了同类现象的普遍规律。

若同时给出定解条件，可构成渗流偏微分方程组。

2-2-1渗流控制方程

以一维渗流连续性方程为例，对于均匀介质和牛顿流体，将运动方程代入连续性可得到控制方程。

连续性方程左端：

连续性方程右端：

结果有

忽略压力导数平方项，得到

值得注意的是，若渗透率、流体粘度是位置或压力的函数（例如压敏介质或非牛顿流体），则在Darcy公式带入连续性方程后，不能将它们随便提到括号外。

类似推导可以得到其他坐标系中的渗流控制方程。

如：

直角坐标控制方程：

柱坐标控制方程：

对于非轴对称平面径向流问题，若定义：

则控制方程可以化为：

对于轴对称平面径向渗流情形，若考虑常粘度液体、均匀微可压缩介质则有：

若不忽略导数平方项，根据（Colo—Hopf变换，1950-1951）令

则有：

，

，

球坐标系连续性方程：

在三种经典的坐标系下，经过变换或简化后的渗流控制方程有如下通用表示形式：

式中，是Laplace算子。

2-2-2定解条件

对于某一渗流系统来说，只有给出该系统的定解条件，才能得到与所研究问题相符合的特解。

定解条件分为初始条件和边界条件。

初始条件：

一般对于求解压力分布问题来说，压力函数应满足如下条件：

这里，c0（x,y,z）为某一给定的函数。

若c0为常数，表示初始压力均匀。

压力边界条件：

在某一部分边界上，压力边界条件描述介质边界面上的压力变化状态：

，

式中，Γ1是一已知边界面，c1（x,y,z,t）为已知函数，c1为常数表示定压。

在数理方程中，该条件又称Dirichlet条件。

流量边界条件：

给定流量边界条件，可描述介质边界上的流量变化状态：

式中，Γ2是已知边界面，c2（x,y,z,t）为已知函数，∂/∂n表示边界面外法线方向。

c2为常数表示定流量，c2=0表示边界封闭。

在数理方程中，该条件又称Newmann条件。

线性渗透边界条件*：

线性渗透边界描述在边界上发生线性的补给或漏渗，其中kfd、hfd分别是相邻区域的渗透率和厚度。

式中，Γ3是已知边界面。

利用线性边界条件可以描述表皮效应。

在数理方程中，该条件又称Robin条件。

井筒存储内边界条件*：

由于工程中实际井筒具有一定的体积以及渗流流体有一定的压缩性，为了进一步描述实际测试过程中压力反应的真实性，可以对定流量内边界改进如下：

式中，Γ4是已知边界面，通常指井筒边界，C为常数，c4（x,y,z,t）为已知函数。

该条件在现代试井分析的理论中用于描述井筒存储效应。

不考虑井筒存储的影响，这一条件可化为定流量条件。

交界面条件：

如果考虑不同介质的交界面光滑接触，交界面处流量具有连续性，那么交界面处有质量守恒和压力相等条件：

，

，

式中，Γ5为已知边界面，如果交界处存在表皮，则可采用线性渗透边界。

2-3渗流场

渗流场是某一渗流物理量在空间的分布。

在某个空间发生了渗流现象，也就有了物理量在空间的分布。

渗流场具有物理真实性。

场中的每一点都有一个物理量，如果这个物理量用数量表示，这种场称为数量场。

如温度场、压力场等。

若物理量是用矢量表示，这种场称为矢量场。

如速度场、压力梯度场。

场中的物理量往往与空间位置及时间有关，与时间有关的场是不稳定场，也称为不定常场，否则为稳定场，或称为定常场。

在不稳定场中，每一固定时刻也就是稳定场，因此讨论稳定场是研究不稳定场的基础。

2-3-1渗流场的表示方法

渗流场直观表示：

在渗流数量场中，物理量是空间点的坐标（x,y,z）的函数，如稳定压力场P：

如果给定P为某个常数C，所有满足这一条件的点就组成一个曲面：

称这一曲面为等值面，在平面数量场中则为等值线。

渗流场中常遇到是等压线、等势线、等饱和度面等。

在渗流矢量场中，用流线来直观表示场。

流线是在指定时刻渗流场中表示各空间点上流体运动方向的空间曲线，线上所有质点的瞬时速度方向与该点处切线方向一致。

流线是Eulor（1755）所建立的，任何时候流体质点都不能跨越流线而运动。

流线是一族曲线，只表示流动方向，并没有数量大小关系。

对于不稳定流场，质点流速的方向随时间而改变，流线的形状也随时间而变化；对于稳定流场，流速不随时间变化，流线形状也始终不变。

流线方程为：

，

在流场中，如果沿着一条光滑曲线流体的法向速度等于零，那么它必是流线。

与流线有关的另一个概念是迹线，迹线是流体质点的运动路线，用Euler方法表示的迹线方程：

，或

，

，

流线和迹线的微分方程形式相同，但本质上有差别。

流线方程中，时间t是指定的值，是参变量，而迹线方程中，时间t是自变量。

两组方程的积分结果一般情况下可能不同。

对于稳定流动，流线和迹线是重合的。

2-3-2梯度

如果存在数量场P=P（M），场中任意点M处存在着非零矢量G，其方向为P（M）在M点处方向导数最大的方向，其模|G|是方向导数最大值，则称矢量G为数量场P（M）在点M处的梯度，记为：

，或

在直角坐标系中有

，

梯度主要有以下性质：

（1）梯度是用来刻画数量场的，是数量场不均匀性的度量；

（2）任意一点gradP的方向与过该点的等值面（线）法线重合，并且指向P增大方向；

（3）任意方向上梯度矢量的投影等于该方向的方向导数；

（4）梯度矢量的方向是函数P变化最快的方向。

在渗流场中，压力场是数量场，压力梯度场是矢量场。

2-3-3散度

对于一个矢量场，主要应掌握它的两个性质，其一是有没有源，其二是有没有旋。

经典渗流场是有源而无旋的，因此本书只关心第一个性质。

设矢量场A，沿场中某一有向曲面S的曲面积分：

称为矢量A向正侧穿过曲面S的通量，通量Φ是一个数量，其中n是dS的法线方向（若曲面S是封闭的，通常取外法线方向为正，若不封闭则可约定某一方向为法线正方向），且：

，

根据矢量运算法则，通过S面的通量可以写成：

当S是封闭曲面时，矢量向正侧穿过曲面S的通量写为：

今考虑在矢量场内任取一点M，以体积V包围之，若V的界面为S，作矢量A通过S面的通量，然后用体积V除之，令体积V向M点无限收缩，得极限：

设此极限存在，并定义它为矢量A的散度，用divA来表示：

在直角坐标系中，设矢量A的各分量具有一阶连续偏导数，根据奥高定理有：

再由积分中值定理可得到：

由此可见，散度是矢量A通过界面S通量的极限，它是不依赖于坐标系选取的数量，构成数量场。

在渗流力学中，连续性方程其实就是关于渗流流体质量流速散度的方程。

2-3-4流函数

对于稳态情形，平面流动和空间轴对称渗流有简洁的解析表示。

1平面流动流函数

对于不可压缩流体平面稳态流动，Euler连续性方程可以简化为：

，

由高等数学知识可知，这是表达式：

为某个函数ψ（x,y;t）的全微分的充要条件，这时有：

，

，

称ψ（x,y;t）为流函数，其中t为参变量，这一概念是Lagrange（1781）研究不可压缩流体平面流动时建立的。

任何一个平面流动总可以用一个流函数ψ（x,y;t）来表示；反之，任何一个流函数ψ（x,y;t）总可以表示一个可能出现的平面流动。

流函数相等的线就是流线，任何两条流线相应位置处的流函数值之差等于通过此两条流线间单位宽度上的流量。

，

利用上式关系，通过连续性方程可以证明：

采用极坐标时，平面流动的Euler连续性方程为：

相应的流函数为ψ（r,θ;t），并有：

，

2空间轴对称流动流函数

在柱坐标系统，对于轴对称稳态流动，Euler连续性方程可以简化为：

，

与平面流动类似，必有流函数ψ（r,z;t），使得：

，

，

，

称轴对称流动的流函数ψ（r,z;t）为Stokes流函数，其中t为参变量，它是Stokes（1819-1903）在1843年首先采用的。

同样，任何一个轴对称流动总可以用一个流函数ψ（r,z;t）来表示；反之，任何一个流函数ψ（r,z;t）总可以表示一个可能出现的轴对称流动。

Stokes流函数相等的线就是流线，任一条流线绕母线旋转一周，构成一个旋转曲面为流面，流面上流函数相等，任何两个流面相应位置处的流函数值之差，乘2π，等于通过此两个流面间的流量。

2-3-5速度势

如果流体流动时流体质点没有旋转运动，这种流动是无旋流动或无涡流动。

这是流体质点只有移动和变形。

经典的流体渗流属于层流范围，正是这种无旋运动。

由流体质点旋转角速度等于零可以得出表达式：

为某一函数Φ（x,y,z;t）的全微分的充要条件，这样就有：

因而无旋运动必然会存在这样一个函数Φ（x,y,z;t），使得

，

称函数Φ（x,y,z;t）为速度势函数。

速度势函数相等的点构成的曲面叫等势面，等势面与流线正交，速度势函数沿流线方向增加，稳态流动速度势函数满足Laplace方程。

附录

F-1偏微分方程的基本概念

偏微分方程：

含有未知函数及其偏导数的等式。

偏微分方程的阶：

偏微分方程中未知函数最高阶偏导数的阶数为偏微分方程的阶

齐次和非齐次偏微分方程：

偏微分方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，若自由项为零成为齐次，反之为非齐次。

线性偏微分方程：

方程中未知函数及其偏导数都是线性的且其系数也不含未知函数。

拟线性偏微分方程：

方程中未知函数最高阶偏导数的系数含有未知函数。

半线性偏微分方程：

方程中未知函数低阶偏导数的系数含有未知函数。

非线性偏微分方程：

方程中未知函数的偏导数是非线性的。

定解问题分类：

初值问题、边值问题、混合问题。

F-2Laplace算子在曲线坐标系中的变换通式

Laplace算子在曲线坐标中的变换通用式为（α、β、γ为Lame系数）：

，

对于二维情形有：

，

例如：

在平面椭圆坐标系中令：

，

则拉梅系数在平面椭圆坐标中表示为：

Laplace算子在平面椭圆坐标中表示为：

F-3Darcy定律在曲线坐标系中的表示

按曲线坐标的定义，Darcy定律通式可以写为：

按所定义的平面椭圆坐标，代如具体的Lame系数：

，

若假定所有的椭圆都是共焦的并且等势（外边界是一个等势椭圆边界），则有：

，

F-4Hamilton算子

Hamilton算子及其坐标表达式

符号

直角坐标

柱坐标

球坐标

坐标变换

哈密尔顿

算子

梯度

散度

旋度

拉氏算子

HamiltonW.R.十九世纪爱尔兰著名数学家，矢量概念的提出者。

本章小结

描述流体运动的两种观点、物理模型、数学模型；控制方程建立：

连续性方程+运动方程+状态方程；

流场：

不同渗流方式的流线、等压线分布、意义；

作业：

用坐标变换推导轴对称平面径向流连续性方程

证明在渗流场中流线和等势线垂直

思考题

（1）证明在平面稳定渗流场中流线与等压线正交。

提示：

在平面渗流场中，等压线的切线方向：

流线的切线方向：

根据Darcy定律：

（2）用积分方法导出Euler连续性方程

（3）已知流函数以隐函数的形式给出为：

试分析它表示的平面运动。

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