高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案选修44坐标系与参数方程.docx

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高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案选修44坐标系与参数方程

选修4－4坐标系与参数方程

全国卷年考情图解

高考命题规律把握

高考对本章考查主要有以下两方面:

（1）参数方程、极坐标与曲线的关系；

（2）由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量,主要是极坐标与直角坐标、参数方程（直线、圆、椭圆的参数方程）与普通方程的互化问题及应用等,考查知识点较为简单和稳定.

第一节

坐标系

一、基础知识批注——理解深一点

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:

的作用下,点P（x,y）对应到点P′（x′,y′）,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

（1）极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系．

　极坐标系的四要素,极点、极轴、单位（长度单位、角度单位）、正方向.　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）极坐标

①极径:

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.

②极角:

以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.

点P（ρ,θ0）中，若ρ<0，则表示点P在射线θ＝θ0的反向延长线上，且|OP|＝|ρ|.

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点,它的直角坐标是（x,y）,

极坐标是（ρ,θ）,则它们之间的关系为:

4．简单曲线的极坐标方程

曲线

极坐标方程

圆心为极点,半径为r的圆

ρ＝r（0≤θ<2π）

圆心为（r,0）,半径为r的圆

ρ＝2rcosθ

圆心为,半径为r的圆

ρ＝2rsinθ（0≤θ<π）

过极点,倾斜角为α的直线

θ＝α（ρ∈R）或θ＝π＋α（ρ∈R）

过点（a,0）,与极轴垂直的直线

ρcosθ＝a

过点,与极轴平行的直线

ρsinθ＝a（0<θ<π）

二、基础小题强化——功底牢一点

（1）在平面直角坐标系内的点与坐标是一一对应关系,在极坐标系中的点与坐标也是一一对应关系．（　　）

（2）若点P的直角坐标为（1,－）,则点P的一个极坐标是.（　　）

（3）在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的．（　　）

（4）极坐标方程θ＝π（ρ≥0）表示的曲线是一条直线．（　　）

答案:

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

（二）填一填

1．若点P的直角坐标为（－3,）,则点P的极坐标为______．

解析:

因为点P（－3,）在第二象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为,所以点P的极坐标为.

答案:

2．在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为________________．

解析:

由ρ＝2sinθ,得ρ2＝2ρsinθ,即x2＋y2＝2y.

答案:

x2＋y2－2y＝0

3．在极坐标系中,A,B两点间的距离为________．

解析:

法一:

（数形结合）在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.

法二:

∵A,B的直角坐标为A（1,－）,B（－2,2）．

∴|AB|＝＝6.

答案:

6

4．在极坐标系中,圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝（θ∈R）的距离是________．

解析:

设圆心到直线θ＝（θ∈R）的距离为d,

因为圆的半径为2,所以d＝2·sin＝1.

答案:

1

考点一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换

[典例]　求双曲线C:

x2－＝1经过φ:

变换后所得曲线C′的焦点坐标．

[解]　设曲线C′上任意一点P（x′,y′）,

由上述可知,将代入x2－＝1,

得－＝1,化简得－＝1,即－＝1为曲线C′的方程,

可见仍是双曲线,则焦点（－5,0）,（5,0）为所求．

[解题技法]　伸缩变换后方程的求法

平面上的曲线y＝f（x）在变换φ:

的作用下的变换方程的求法是将

代入y＝f（x）,得＝f,整理之后得到y′＝h（x′）,即为所求变换之后的方程．

[提醒]　应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标（x,y）与变换后的坐标（x′,y′）．

[题组训练]

1．若函数y＝f（x）的图象在伸缩变换φ:

的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin,求函数y＝f（x）的最小正周期．

解:

由题意,把变换公式代入曲线y′＝3sin得

3y＝3sin,整理得y＝sin,

故f（x）＝sin.

所以函数f（x）的最小正周期为π.

2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ:

（λ,μ>0）,求λ,μ的值．

解:

将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1,

把伸缩变换公式φ:

（λ,μ>0）代入上式得:

＋＝1即2x2＋2y2＝1,与x2＋y2＝1,

比较系数得所以

[典例]　（2018·江苏高考）在极坐标系中,直线l的方程为ρsin＝2,曲线C的方程为ρ＝4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长．

[解]　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ,化成直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4,

所以曲线C是圆心为（2,0）,直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2,

化成直角坐标方程为y＝（x－4）,

则直线l过A（4,0）,倾斜角为,

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B,则∠OAB＝.

如图,连接OB.

因为OA为直径,从而∠OBA＝,

所以AB＝4cos＝2.

所以直线l被曲线C截得的弦长为2.

[解题技法]

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法

（1）直角坐标方程化为极坐标方程:

将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．

（2）极坐标方程化为直角坐标方程:

通过变形,构造出形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．

2．极角的确定

由tanθ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角．

（1）当x≠0时,θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．

（2）当x＝0时,tanθ没有意义,这时可分三种情况处理:

当x＝0,y＝0时,θ可取任何值；当x＝0,y>0时,可取θ＝；当x＝0,y<0时,可取θ＝.

[题组训练]

1．（2019·郑州质检）在极坐标系下,已知圆O:

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l:

ρsin＝（ρ≥0,0≤θ＜2π）．

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0,π）时,求直线l与圆O的公共点的极坐标．

解:

（1）圆O:

ρ＝cosθ＋sinθ,即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ,

故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0,

直线l:

ρsin＝,即ρsinθ－ρcosθ＝1,

则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

（2）将两直角坐标方程联立得解得

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为（0,1）,

将（0,1）转化为极坐标为即为所求．

2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－2ρ·cos＝2.

（1）求圆O1和圆O2的直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

解:

（1）由ρ＝2知ρ2＝4,

所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

因为ρ2－2ρcos＝2,

所以ρ2－2ρ＝2,

所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.

（2）将两圆的直角坐标方程相减,

得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1,

即ρsin＝.

[典例]　（2017·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

（1）M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|＝16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值．

[解]　

（1）设P的极坐标为（ρ,θ）（ρ＞0）,M的极坐标为（ρ1,θ）（ρ1＞0）．

由题设知|OP|＝ρ,|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16,得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ（ρ＞0）．

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）．

（2）设点B的极坐标为（ρB,α）（ρB＞0）,

由题设知|OA|＝2,ρB＝4cosα,于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2.

即当α＝－时,S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

[解题技法]

1．求简单曲线的极坐标方程的方法

（1）设点M（ρ,θ）为曲线上任意一点,由已知条件,构造出三角形,利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系．

（2）先求出曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的变换公式,把直角坐标方程化为极坐标方程．

2．利用极坐标系解决问题的技巧

（1）用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．

（2）已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,其比直角坐标系中求最值的运算量小．

[提醒]　在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性．

[题组训练]

1．（2019·青岛质检）在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为（其中φ为参数）．以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）设直线l的极坐标方程是ρsin＝2,射线OM:

θ＝与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长．

解:

（1）圆C的普通方程为x2＋（y－1）2＝1,又x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,

所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（2）把θ＝代入圆的极坐标方程可得ρP＝1,

把θ＝代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2,

所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.

2．（2018·湖北八校联考）已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝,以极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）A,B为曲线C上两点,若OA⊥OB,求＋的值．

解:

（1）由ρ2＝得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9,

将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入得到曲线C的直角坐标方程是＋y2＝1.

（2）因为ρ2＝,所以＝＋sin2θ,

由OA⊥OB,设A（ρ1,α）,则点B的坐标可设为,

所以＋＝＋＝＋sin2α＋＋cos2α＝＋1＝.

1．在极坐标系中,求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．

解:

ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2,

即y＝x－2.

ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y,

把y＝x－2代入x2＋y2＝4y,

得4x2－8x＋12＝0,

即（x－）2＝0,

所以x＝,y＝1.

所以直线与圆的交点坐标为（,1）,化为极坐标为.

2．在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点,求圆C的极坐标方程．

解:

在ρsin＝－中,令θ＝0,得ρ＝1,

所以圆C的圆心坐标为（1,0）．

因为圆C经过点P,

所以圆C的半径|PC|＝＝1,于是圆C过极点,

所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

3．在直角坐标系xOy中,圆C的方程为（x－）2＋（y＋1）2＝9,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线OP:

θ＝（ρ∈R）与圆C交于点M,N,求线段MN的长．

解:

（1）（x－）2＋（y＋1）2＝9可化为x2＋y2－2x＋2y－5＝0,

故其极坐标方程为ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－5＝0.

（2）将θ＝代入ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－5＝0,

得ρ2－2ρ－5＝0,

所以ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝－5,

所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.

4．在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点．

（1）求C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标；

（2）设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程．

解:

（1）由ρcos＝1得ρ＝1.

从而C的直角坐标方程为x＋y＝1,即x＋y＝2.

当θ＝0时,ρ＝2,所以M（2,0）．

当θ＝时,ρ＝,所以N.

（2）由

（1）知M点的直角坐标为（2,0）,N点的直角坐标为.

所以点P的直角坐标为,则点P的极坐标为,

所以直线OP的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．

5．（2018·南昌摸底调研）在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为（x－）2＋（y－2）2＝4,直线C2的方程为y＝x,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

（2）若直线C2与曲线C1交于P,Q两点,求|OP|·|OQ|的值．

解:

（1）∵曲线C1的普通方程为（x－）2＋（y－2）2＝4,

即x2＋y2－2x－4y＋3＝0,

∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0.

∵直线C2的方程为y＝x,

∴直线C2的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．

（2）设P（ρ1,θ1）,Q（ρ2,θ2）,

将θ＝（ρ∈R）代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0,

得ρ2－5ρ＋3＝0,∴ρ1ρ2＝3,∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.

6．（2019·山西八校联考）在直角坐标系xOy中,曲线C的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝25.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设l1:

θ＝,l2:

θ＝,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积．

解:

（1）∵曲线C的普通方程为（x－3）2＋（y－4）2＝25,

即x2＋y2－6x－8y＝0.

∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.

（2）设A,B.

把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ,得ρ1＝4＋3,

∴A.

把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ,得ρ2＝3＋4,

∴B.

∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB

＝（4＋3）（3＋4）sin

＝12＋.

7．在直角坐标系xOy中,曲线C1:

（t为参数,t≠0）,其中0≤α＜π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:

ρ＝2sinθ,C3:

ρ＝2cosθ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值．

解:

（1）曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0,

曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立

解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为（0,0）和.

（2）曲线C1的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R,ρ≠0）,其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为（2sinα,α）,B的极坐标为（2cosα,α）．

所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.

当α＝时,|AB|取得最大值,最大值为4.

8．（2019·郑州一中模拟）在平面直角坐标系中,曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0,曲线C2的方程为y2＝x,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C1,C2的极坐标方程；

（2）求曲线C1与C2交点的极坐标,其中ρ≥0,0≤θ<2π.

解:

（1）依题意,将代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcosθ－4＝0.

将代入y2＝x,得ρsin2θ＝cosθ.

故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－4＝0,曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ.

（2）将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0,得x2＋3x－4＝0,解得x＝1,x＝－4（舍去）,

当x＝1时,y＝±1,所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为（1,1）,（1,－1）,记A（1,1）,B（1,－1）,

所以ρA＝＝,ρB＝＝,tanθA＝1,tanθB＝－1,

因为ρ≥0,0≤θ<2π,点A在第一象限,点B在第四象限,

所以θA＝,θB＝,故曲线C1与C2交点的极坐标分别为,.

第二节

参数方程

一、基础知识批注——理解深一点

1．曲线的参数方程

在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数．

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F（x,y）＝0叫做普通方程．

2．参数方程和普通方程的互化

（1）参数方程化普通方程:

利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．

在参数方程与普通方程的互化中,一定要注意变量的范围以及转化的等价性.

（2）普通方程化参数方程:

如果x＝f（t）,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y＝g（t）,则得曲线的参数方程

3．直线、圆、椭圆的参数方程

（1）过点M（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．

直线参数方程的标准形式的应用

过点M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则

①|M1M2|＝|t1－t2|.

②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t＝,中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.

③若M0为线段M1M2的中点,则t1＋t2＝0.

④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.

（2）圆心在点M0（x0,y0）,半径为r的圆的参数方程为（θ为参数）．

（3）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的参数方程为（φ为参数）．

二、基础小题强化——功底牢一点

（1）参数方程中的x,y都是参数t的函数．（　　）

（2）过M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．参数t的几何意义表示:

直线l上以定点M0为起点,任一点M（x,y）为终点的有向线段的数量．（　　）

（3）已知椭圆的参数方程（t为参数）,点M在椭圆上,对应参数t＝,点O为原点,则直线OM的斜率为.（　　）

答案:

（1）√　

（2）√　（3）×

（二）填一填

1．在平面直角坐标系中,若曲线C的参数方程为（t为参数）,则其普通方程为____________．

解析:

依题意,消去参数可得x－2＝y－1,即x－y－1＝0.

答案:

x－y－1＝0

2．曲线C的参数方程为（θ为参数）,则曲线C的普通方程为____________．

解析:

由（θ为参数）消去参数θ,得y＝2－2x2（－1≤x≤1）．

答案:

y＝2－2x2（－1≤x≤1）

3．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）,椭圆C的方程为x2＋＝1,设直线l与椭圆C相交于A,B两点,则线段AB的长为____________．

解析:

将直线l的参数方程代入x2＋＝1,

得2＋＝1,

即7t2＋16t＝0,解得t1＝0,t2＝－,

所以|AB|＝|t1－t2|＝.

答案:

[典例]　已知直线l的参数方程为（t为参数）,圆C的参数方程为

（θ为参数）．

（1）求直线l和圆C的普通方程；

（2）若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围．

[解]　

（1）直线l的普通方程为2x－y－2a＝0,

圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

（2）因为直线l与圆C有公共点,

故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4,

解得－2≤a≤2.

即实数a的取值范围为[－2,2]．

[解题技法]　将参数方程化为普通方程的方法

将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法．常见的消参方法有:

代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参（如sin2θ＋cos2θ＝1等）．

[提醒]　将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,防止增解．

[题组训练]

1．将下列参数方程化为普通方程．

（1）（t为参数）．

（2）（θ为参数）．

解:

（1）由参数方程得et＝x＋y,e－t＝x－y,

所以（x＋y）（x－y）＝1,即x2－y2＝1.

（2）因为曲线的参数方程为（θ为参数）,　

由y＝2tanθ,得tanθ＝,代入①得y2＝2x.

2.

如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

解:

圆的半径为,

记圆心为C,连接CP,

则∠PCx＝2θ,

故xP＝＋cos2θ＝cos2θ,

yP＝sin2θ＝sinθcosθ.

所以圆的参数方程为（θ为参数）．

[典例]　（2019·广州高中综合测试）已知过点P（m,0）的直线l的参数方程是（t为参数）,以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l和曲线C交于A,B两点,且|PA|·|PB|＝2,求实数m的值．

[解]　

（1）消去参数t,可得直线l的普通方程为x＝y＋m,即x－y－m＝0.

因为ρ＝2cosθ,所以ρ2＝2ρcosθ.

可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x,即x2－2x＋y2＝0.

（2）把代入x2－2x＋y2＝0,

得t2＋（m－）t＋m2－2m＝0.

由Δ>0,得－1

设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1·t2＝m2－2m.

因为|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝2,所以m2－2m＝±2,

解得m＝1±.

因为－1

[解题技法]

1．应用直线参数方程的注意点

在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义．

2．圆和圆锥曲线参数方程的应用

有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解,掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．

[题组训练]

1．（2019·湖北八校联考）在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin＝.

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上的动点,求点P到C2的距离的最大值,并求此时点P的坐标．

解:

（1）曲线C1的普通方程为＋y2＝1,

由ρsin＝,得ρsinθ＋ρcosθ＝2,得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

（2）设点P的坐标为（cosα,sinα）,

则点P到C2的距离为＝,

当sin＝－1,即α＋＝－＋2kπ（k∈Z）,α＝－＋2kπ（k∈Z）时,所求距离最大,最大值为2,

此时点P的坐标为.

2．（2018·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（θ为参数）,直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；