研究生数学建模竞赛优秀论文选《面向节能的单多列车优化决策问题》868页.docx

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研究生数学建模竞赛优秀论文选《面向节能的单多列车优化决策问题》868页

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（由组委会填写）

第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛

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（由组委会填写）

第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛

题目面向节能的单/多列车优化决策问题

摘要：

本文围绕单/多列车优化决策问题，在合理假设的基础上，利用多岛遗传优化算法和NSGA-Ⅱ多目标优化算法给出了单列车单站点、单列车多站点、多列车多站点的能耗最低运行线路的优化决策，并分析处理了列车发生延误时的优化控制问题。

针对问题一

（1），建立了单列车单区间节能优化模型。

首先通过将时间分段-离散的方法，建立了能耗积分方程的数值求解方法，并制定了末端制动策略使得末端速度在规定时间、规定距离上减小为0。

在此基础上，建立了以能耗最低为优化目标，分段数、各分段时间间隔、各段运行工况为决策变量，满足速度、加速度等约束条件的优化模型。

通过多岛遗传算法，对模型进行求解，得到A6-A7段能耗为3.37×107J。

针对问题一

（2），建立了单列车多区间节能优化模型。

首先通过理论推导，将时间

-最低能耗曲线转换为以最少时间、最低能耗为双目标优化问题的Pareto前端解集，利用NSGA-Ⅱ多目标优化算法分别得到了A6-A7站，A7-A8站Pareto前端解集。

其次，在各自能耗-时间Pareto前端解集中，利用多岛遗传算法，对时间分配进行优化建模，得到A6-A7段运行时间117s，A7-A8段运行时间103s，总能耗为6.8×107J。

针对问题二

（1），建立了多列车全区间节能优化模型，在总能耗一定的情况下，再生能源越多，则总能量越少。

基于此，本文首先求解单个列车在整个区间段上的最少能耗，这是对于问题一

（2）的推广，区别仅在于将停站时间计入运行时间，没有本质上的区别，本文采用将停站看作除去牵引、巡航、惰行和制动在外的第5种工况，采用与问题一

（2）相同的策略，求得单列车在整个运行区间（A1-A14）上的最低能耗，其它车辆采用相同的运行方式。

其次，建立了针对发车时间的可再生能源最大模型，为了简

化模型，将车辆分成20组，认为各组之间运行方式相同。

对于同一组内，以再生能源最多为目标函数建立优化模型，通过多岛遗传算法进行求解各车发车间隔。

最终得到：

通过合理分配发车间隔，可再生能源可占总耗能约17.5%。

针对问题二

（2），在问题二

（1）的基础上，建立了多车全区间全时间段节能优化模型。

将整个时间段分为2个高峰阶段和3个非高峰阶段，其中早高峰分配辆车，晚高

峰分配辆车，非高峰阶段车辆平均分配。

对于5个阶段，每个段内再按照题二

（1）中原则对车辆进行分组，各组内采用和题二

（1）相同的模型求解发车间隔，最终早高峰可节能37%左右，晚高峰节能27%左右。

针对问题三

（1），建立了延误节能追赶模型，在问题二

（1）中求出的各段最低能耗-最短时间Pareto解集基础上，通过最短追赶时间-最低能耗多目标优化模型，求出最节能的追赶方案。

通过两个算例分析发现，针对减少追赶时间和减少能耗这一对矛盾的目标，不同站点之间应采用不同的策略。

其中对于A4段10s的延误，车辆应尽快恢复正常运行。

针对问题三

（2），建立了概率延误节能追赶模型，通过后车受前车延误影响将延误

概率参数纳入题三

（1）建立的模型中，并从理论上进行了分析。

此外，本文还以问题一

（1）为例对设计参数进行了敏感性分析，得到分段时间间隔和分段时刻对结果有最为明显的正效应影响。

本文下一步将在丰富最低能耗-最短时间Pareto解集、引入延误概率参数后的方案控制方面进行研究。

关键词：

列车节能，多岛遗传，NSGA-Ⅱ多目标优化，Pareto前端解

一问题重述

轨道交通系统的能耗是指列车牵引、通风空调、电梯、照明、给排水、弱电等设备产生的能耗。

在低碳环保、节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为轨道交通领域的重要研究方向。

本题给出列车运行过程、列车动力学模型、运行时间和运行能耗的关系以及再生能

量利用原理。

并给定列车参数和线路参数。

根据已知内容，需要解决的问题如下：

问题一：

单列车节能运行优化控制问题

1、计算寻找一条列车从A6站出发到达A7站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒。

2、计算寻找一条列车从A6站出发到达A8站的最节能运行的速度距离曲线，其中要

求列车在A7车站停站45秒，A6站和A8站间总运行时间规定为220秒（不包括停站时间）。

问题二：

多列车节能运行优化控制问题

1、当100列列车以间隔H={h1,...,h99}从A1站出发，建立优化模型并寻找使所有列车运行总能耗最低的间隔H。

2、重新制定运行图和相应的速度距离曲线，考虑高峰时间（早高峰7200秒至12600

秒，晚高峰43200至50400秒）发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发

车间隔不小于5分钟，每天240列。

问题三：

列车延误后运行优化控制问题

1、若列车i在车站A延误DTi（10秒）发车，找出在确保安全的前提下，首先使

jj

所有后续列车尽快恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。

j

2、随机变量延误DTi发车，在尽快恢复正点运行，恢复期间耗能最少的目标函数

下，给出列车运行曲线。

二符号说明

符号

符号说明

c（n）

列车运行状态函数

N

列车站间分段数

M

站间使用工况的类型数量

i

列车进入第N段后运行的时间

ti

列车运行时刻

∆t

离散时间步长

atQ

i

ti时刻列车牵引加速度

at

i

ti时刻列车实际加速度

St

i

计算距离，是列车到刚通过的一站的距离

e（ti）

列车在第N段中ti时刻的能耗

μ1t

i

ti时刻牵引加速度与最大加速度百分比

μ2t

i

ti时刻制动加速度与最大加速度百分比

T

第N段列车总运行时间

vt

i

ti时刻列车运行速度

ST

站间总距离

三单列车节能运行优化控制问题

3.1问题分析

问题一

（1）要求我们建立速度距离曲线的数学模型，制定列车在A6站到A7站运行110s耗能最少的方案。

列车发动机耗能与运行工况密切相关，在四种运行工况（牵引、巡航、惰行和制动）中，牵引阶段发动机耗能，巡航阶段发动机是否耗能取决于列车当时受到的总阻力。

总阻力大于0时，列车需要牵引，发动机耗能；总阻力小于或等于0时，列车需要制动，发动机不耗能。

单质点模型中，列车运动符合牛顿运动学定律，根据题目所给“列车参数”和“线路参数”，可以得到列车牵引力，列车运行总阻力和列车制动力等参数。

分析不同阶段列车的受力情况，建立列车动力学模型，得到列车在不同工况下的发动机能耗。

节能运行的关键在于列车在行驶过程中工况的交替使用，单列车节能运行优化控制问题的本质是一个单目标优化问题。

列车运行的总能耗最小为目标函数，运行工况、两站之间列车运行工况的阶段数等参数为决策变量，列车的启止速度、不同路段的限速、最大加减速度等为约束条件。

采用多岛遗传算法MIGA作为优化策略，对发动机的总能耗结果进行全局寻优，确定能耗最小条件下，列车的运行策略，得到最节能运行的速度距离曲线。

由于列车的运行策略受到不同路段限速和坡度等参数的影响，很难直接得到连续的速度-距离曲线公式。

在算法的搜索过程中，为了快速的寻找最优解，对问题进行离散化处理，得到的数值解能够有效地解决实际问题。

问题一

（2）要求建模计算出列车从A6站出发到达A8站的最节能运行的速度距离曲线，其中列车在A7车站停站45秒，A6站和A8站间总运行时间规定为220秒（不包括停站时间）。

相比问题一

（1），问题一

（2）只是增加了一段站间路程，并在途中A7站进行了停留。

问题一

（2）是在问题一

（1）模型的基础上，将目标函数替换为两段路程能耗的和最小，约束条件为总运行时间一定。

根据题干中图5列车站间运行时间与能耗的关系曲线，我们确定列车运行时间与最低能耗存在类似的关系。

由于在运行时间与最低能耗的关系曲线下方不存在可行解，可以认为其实质上就是两个目标的Pareto前端解集

[1]，于是我们将求解列车运行时间与能耗关系曲线的问题转化为两个目标的优化问题。

我们采用改进型非劣分类遗传算法（NSGA-Ⅱ）求解多目标优化问题，得到站间各自的Pareto最优前端解集。

利用该解集，分别对站间各自的运行时间进行遍历，保证运行总时间一定，使得总能耗最低的时间分配方案及站间运行策略，就是问题一

（2）的解。

3.2模型假设

1、列车在运行过程中不制动减速，只在进站停车时进行制动。

2、列车采用制动工况减速进站停车，不采用惰行工况进站停车。

3.3单列车单区间节能优化模型

3.3.1模型的建立

根据题目所给的《附录：

路线参数》，可以确定如图3.1所示的列车参考坐标系：

公里标22903

公里标175公里标

计算距离

起始公里标0

计算公里标

A1

始发站

Ai

Ai+1

第i站第i+1站

A14

终点站

运行方向

图3.1列车参考坐标系

图中，A1站为始发站，A14站为终点站，列车由始发站A1向终点站A14运行，A1位于公里标22903m处，A14位于公里标175m处，起始公里标0位于终点站右侧。

其中计算公里标（m）是到起点的距离，计算距离（m）是到刚通过的一站的距离。

根据公里标得到A6站到A7站的距离是1354m。

T

在两车站间运行时间一定的条件下，计算寻找列车从A6站出发到达A7站的最节能运行的速度距离曲线，问题的本质是制定一种列车在约束条件下的运行策略，使得发动机的总能耗最低。

建立的单列车单区间节能优化模型的如下：

目标函数：

minE=min⎰0e（t,c（t））dt

约束条件：

v（t）≤vmax（t）

v（0）=v（T=）

T

ST=⎰0v（ti）dt=1354

决策变量：

c（t）

这里决策变量c（t）是泛函，表示时刻与列车能耗有关的运行状态，T是列车达到下一站的运行时间。

目标函数表示列车从A6站出发到达A7站的总能耗最低，是t时刻能耗在[0,T]时间段内的积分，其中t时刻能耗是时间t和决策变量的函数。

约束条件为：

1、列车的运行速度小于限制速度；

2、列车在每站间的启止速度为0；

3、列车从出发至停止进站时行进的距离ST为A6站到A7站的距离。

这里由于很难求得耗能积分的解析解，为了得到数值解，我们对时间进行了离散。

由于列车在不同时刻的工况不同，首先将列车的运行时间进行分段，保证每段时间内列车处于相同的工况。

然后对每一段时间以步长为1秒进行离散，通过对每秒钟的能耗进行求和，得到发动机总能耗的数值解，具体的分段离散过程在模型的求解中会有详细叙述。

为了满足在规定时间点、规定距离上使得末端速度减小为0，需要对末端制动方案进行设计。

因此，模型求解将从目标函数的离散求解、优化模型求解和末端制动三个方面进行阐述。

3.3.2模型的求解

3.3.2.1目标函数的离散化处理

1、全区间上耗能积分数值求解

由于目标函数连续积分求解析解比较困难，而列车在运行过程中通常会采用牵引到接近限制速度后，交替使用惰行、巡航、牵引三种工况，直至接近下一车站采用制动进站停车。

我们首先对积分的时间区间进行分段，在时间轴上将区间分为N段，每一段

里列车处于相同的运行工况，N就是列车从A6站运行至A7站过程中使用工况的总数量。

分段后决策变量c（t）就可以看做是n的函数，即c（n）。

表示列车在第n段的运行状态，这里的n=1,2,...,N。

规定第1段起始时刻从A6站出发，列车处于牵引工况；第N段截止时刻到达A6站，列车处于制动工况；中间的N-2段，列车交替使用惰行、巡航、牵引三种工况。

tn是列车在第n段的初始时间，∆tn=tn+1-tn是列车在第n段运行的时间，

则N=

T。

∆tn

然后对每一段的时间进行离散，得到能耗离散后的表达式如下：

TNtn+1

Ntn+1

E=⎰0e（t,c（t））dt=∑（⎰te（t）dt）=∑（∑e（ti）∆t）

（3-1）

n=1n

n=1

i=tn

N

t

其中，∑（⎰tn+1e（t）dt）是将总运行时间分成N段，⎰n+1e（t）dt是列车在第N段的能耗；

n=1tntn

Ntn+1

∑（∑e（ti）∆t）是对第N段的能耗以1秒为间隔进行离散，

e（ti）是列车在第N段中ti时

n=1i=tn

刻的能耗。

∆t≡1是离散后的时间步长，ti=tn+i⋅∆t，i是列车进入第N段后运行的时

间。

这样，我们就将连续积分的求解问题转化为离散求和问题。

可以知道在[tn,tn+1]的时间段中，列车任一时刻都在以同一种工况运行。

由于列车在运行过程中，只有牵引和巡航阶段耗能或可能耗能，而惰行和制动阶段

列车发动机不耗能。

这里设置一个参数k，将e（ti）转化为能耗函数ek（ti），其中

k=1,2,..M.,，建立的离散化目标函数如下：

Ntn+1M

minE=∑（∑（∑ek（ti）∆tδ（c（n））））

（3-2）

n=1i=tnk=0

离散化后，状态函数同样可以看做时刻的函数，表示时刻列车的运行工况。

式（3-2）表示列车站间运行的最低总能耗。

其中，状态函数c（n）表示列车在第n段的运行工况，

其中n=1,2,...,N。

设置如下：

⎧0牵引

1

⎪

⎨2

c（n）=⎪巡航

⎪惰行

⎪⎩3制动

（3-3）

离散化后，状态函数同样可以看做ti时刻的函数，即c（ti）。

表示列车进入第N段ti

时刻的运行工况。

δ（n）函数用来选取列车处于第n段路程时的耗能函数表达式，其含义是：

当列车在第n段路程的状态函数值与k相等时，δ（n）=1；当列车在第i段路程的状态函数值与k不相等时，δ（n）=0。

具体如下：

⎨

δ（c（n））=⎧1

0

c（n）=k

c（n）≠k

⎩（3-4）

2、单位时间内能耗函数数值求解

ek（ti）是能耗函数，表示列车运行在第n段路程中ti时刻发动机的能耗，该函数的表达式用参数k来进行判别。

考虑到列车一共有四种运行工况，我们用参数M来表示列车从A6站运行至A7站过程中使用工况的类型数量，M取值为3。

因此k=1,2,3,4。

能耗函数的计算公式为：

⎧

⎪

e（t）=⎪

⎰0Fdsk=0

s

∆tnW⋅v（i）δ（W）dtk=1

ki⎨⎰01

⎪

⎪0

⎩

k=2,3

（3-5）

式（3-5）中，F为牵引力（N），s为第n段路程的距离（M），W为总阻力（N），

∆tn是列车在第n段（i=1,2,...,N）路程的运行时间。

s

当k=0时，列车处于牵引状态，发动机能耗为⎰0Fds；

当k=1时，列车处于巡航状态，是需要牵引还是需要制动取决于列车当时受到的

⎰

总阻力。

当总阻力大于0时，列车需要牵引，发动机产生能耗为∆tnW⋅v（i）dt；当总阻

0

力小于0时，列车需要制动，发动机能耗为0。

其中δ1（W）函数：

δ（W）=⎧1W>0

0

⎩

1⎨W≤0

（3-6）

当k=2,3时，列车处于惰行和制动状态，发动机能耗为0。

为了求解离散各点上的单位时间能耗函数，需要对列车状态进行迭代求解。

具体迭代步骤如下：

设X（ti）=（i,c（t）,a,a,v,S

e（t）,μ,μ

）为列车在t时刻的状态参数。

其中，列车

itiQtititi

i1ti

2tii

的运行时间i，运行工况c（ti），牵引加速度atQ，实际加速度at，速度vt，计算距离St

iiii

i

i

（距A6站），能耗e（ti），牵引加速度与最大加速度百分比μ1t，制动加速度与最大加速度百分比μ2t，A6站到达A7站总距离为ST，运行时间为T。

STEP1：

初始化第0秒解向量X（0）=（0,c（0）,a,a,v,S,E,μ,μ）其中a由优化确

0Q00001020，0Q

定，也作为参数参与优化。

STEP2：

根据ti时刻初始化的运动参数，计算ti+1时刻四种运行工况下的运动参数

i

及ti时刻的能耗。

case1牵引阶段：

列车牵引力：

t

F（v

i

）=μ1tFm

运行总阻力：

W（v）

t

i

t

i

实际加速度：

a=atQ

-

W（vti）

M

i

iii

计算得到速度：

vt+1=vt+atdt

牵引加速度：

a

=a+W（vti+1）

（ti+1）QtiM

计算距离：

S=S+vdt+1a

（dt）2

ti+1titi

2ti

牵引加速度与最大加速度百分比：

μti+1

=a（ti+1）Q

amax

能耗：

e（t）=μti+μti+1⋅Fmax（vti）+Fmax（vti+1）⋅ds

i22

ii

其中，ds=St+1-St，dt=1

case2巡航阶段：

t

第i秒速度：

牵引加速度：

vt+1=vt

i

ii

a（t+1Q）=0

计算距离：

St+1=St+vd

ii

i

根据平均运行总阻力是否大于0，判断发动机是否耗能：

若W（vti）+W（vti+1）>0，

2

则e（t）=W（vti）+W（vti+1）⋅ds；否则，e（t）=0。

i2i

case3惰行阶段：

第i秒实际加速度：

a=W（vti）

t

iM

得到i+1秒速度：

vt+1=vt+atdt

iii

ii

牵引加速度：

a（t+1）Q=atQ=0

计算距离：

S

=S+vdt-1a

（dt）2

ti+1titi

能耗：

e（ti）≡0

case4制动阶段：

第i秒列车实际阻力为：

2ti

ii

W（vt）+μ2tBma

第i秒实际加速度：

a=W（vti）+μ2tiBmax

t

iM

=2（ST-Sti）（T-i）2

制动加速度与最大加速度百分比：

μ=（2（ST-Sti）⋅M-W（v

））/B

第i+1秒速度：

牵引加速度：

iii

vt+1=vt-atdt

ii

a（t+1）Q=atQ=0

2ti

（T-i）2

timax

计算距离：

S=S

+

vdt-1a

（dt）2

能耗：

ti+1titi

e（ti）=0

2ti

STEP3：

若i+1

（2）；否则，迭代停止。

通过上述迭代，就可以求得任一离散时间点上列车运行的各个参数，同时求得在该离散时间点上的单位时间能耗函数。

3、设计变量

经过离散后的设计变量为分段个数，各个阶段的起止时刻，各阶段所处状态，以及初始牵引加速度。

具体表达式为

设计变量：

N,tn,∆tn,c（tn）

3.3.2.2模型优化求解

在得到0到T各时刻的运动状态参数后，我们使用多岛遗传算法（MIGA）对问题进行寻优求解。

优化算法包括经典优化算法和非经典优化算法两种。

遗传算法属于非经典优化算法，它是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应的全局优化概率，具有鲁棒性的搜索算法，可以解决复杂的大尺度、多变量非线性反演问题[2]。

多岛遗传算法[3]（MIGA）建立在传统遗传算法（TGA）基础上。

多岛遗传算法不

同于传统遗传算法的特点是每个种群的个体被分成几个子群，这些子群称为“岛”。

传

统遗传算法的所有操作，例如：

选择、交叉、变异分别在每个岛上进行，每个岛上选定的个体定期地迁移到另外岛上，然后继续进行传统遗传算法操作。

多岛遗传算法和传统

遗传算法相邻两代之间的进化过程比较如图3.2所示。

第i+1代

传统遗传操作

第i代

（a）传统遗传算法

（b）

传统遗传操作

N

第1岛

i=k（mi+1）

第1岛

第i+1代

Y

第1岛

传统遗传操作

+迁移操作

第n岛

第i代

第2岛

第1岛

...

...

多岛遗传算法

图3.2传统遗传算法和多岛遗传算法相邻两代之间的进化流程图

迁移过程由两个参数进行控制，分别为迁移间隔和迁移率，迁移间隔表示每次迁移的代数，迁移率决定了在一次迁移过程中的迁移操作保持了优化解的多样性，提高了包含全局最优解的机会。

多岛遗传算法在优化过程中，首先利用初始值进行优化操作，初步达到收敛后，由于变异和迁移作用，在一个新的初值点开始重新进行遗传操作，如此重复操作，因此尽可能避免局部最优解，从而抑制了早熟现象的发生。

算法流程如图

3.3

开始

N

最大遗传代数

MaxGen

计算适应度值和目标函数E（X（i））

产生新的X（0）

进行MIGA计算

设定参数并初始化X（0）

所示。

Gen=Gen+1

Y

结束

确定X（0）

图3.3MIGA算法流程图

在求解初始阶段，由于对问题不熟悉，岛数、迭代遗传数取为较大值，在后续计算中发现一般取20-40即可使得问题快速收敛。

3.3.2.3末端制动控制

N

由于题中给定了列车的运行时间，所以存在约束条件tN=∑∆ti=T，T为规定的列

i=1

车运行时间，其中∆ti≥0。

为了使列车运行在第N段开始进行制动，在T时刻的速度

为0，我们对制动阶段进行了方案设计，通过“制动”方案设计作为筛选条件，得到了全过程的最优解。

为了简化计算，我们假定制动过程分为两个匀减速阶段，如图3.4所示：

V

Vz

A

S1

B

D

V

tz1

tz2

C

T

S2

t

图3.4制动阶段速度与时间关系图

图中，直线AB为制动第一阶段曲线，直线