一元一次方程的解放和应用教案.docx
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一元一次方程的解放和应用教案
[文件]sxcbk0062.doc
[科目]数学
[关键词]一元一次方程/应用/教法建议
[标题]一元一次方程解法和应用
[内容]
一元一次方程解法和应用
一、教法建议
【抛砖引玉】
本单元主要内容是一元一次方程和它的标准方程等概念，解一元一次方程一般步骤和具体做法，以及列出一元一次方程解应用题。
这些内容是从算术到代数的标志之一，是初中数学教学的体系的重要组成部分，在提高学生的能力，培养他（她）们对数学的兴趣以及对他（她）们进行思想教育方面有着独特的意义，同时对后继学习内容也起看奠基的作用。
因此，教学一元一次方程的概念及其解法时，应先从过去学过的简易方程出发，运用等式的两条性质将方程变形，求出未知数的值。
然后逐步给出比简易方程更为复杂的方程，着重分析怎样变形，才能把它们化简，并从中归纳出各类变形的名称（移项，合并同类项，系数化成1，去括号，去分母等），在此基础上，把化简后所得的方程ax＋b=0（a≠0）定义为一元一次方程的标准方程，把能化为这种标准方程的整式方程定义为一元一次方程。
定义了一元一次方程后，立即给出解这类方程的一般步骤，再灵活运用这一步骤解方程。
在教学列出一元一次方程解应用题时，应首先引导学生找出题目中的已知数，未知数和表示应用题全部含义的相等关系，然后根据这一相等关系，用字母替代未知数，列出需要的代数式和方程，再解这个方程求出未知数的值，从而把“未知”转化为“已知”。
在对应用题的具体教学时，重点应放在如何找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
如果找不出这样的相等关系，方程就列不出来；反过来，在找出这样的相等关系后，将其中涉及的待求的某个数设成未知数，其余的数用已知数或含有已知数与未知数的代数式表示出来，方程就列出来了。
问题也解决了。
结合应用题的教学，有机地向学生介绍我国社会主义建设和20年来改革的成就，介绍我国在教学方面作出的贡献，激发学生热爱中国共产党，热爱社会主义，热爱祖国，决心为实现社会主义四化而学好数学。
通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，向学生进行唯物主义的数育，培养他（她）们学以致用的良好习惯，并提高他（她）们分析和解决问题的能力。
【指点迷津】
本单元的重点是一元一次方程的解法和列出一元一次方程解应用题，后者同时又是难点，熟练地解一元一次方程，关键在于正确地了解方程，方程解的意义和运用等式的两个性质；而正确的列出方程关键在于正确地分析应用题中的已知数，未知数，并能找出能够表示应用题全部含义的相等关系。
在具体教学中，学生在列方程解应用题时，主要存在三个方面的困难：
（1）抓不住相等关系；
（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯于用算术解法，对用代数法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。
解决这三个困难时，重点应放在第一个，为了帮助学生解决第二困难，可帮助学生复习列代数式，进一步的强化与提高。
在分析例题时，可采取表格的形式，帮助学生把找出的相等关系表示成方程。
为了解决第三个困难，应在教学中反复告诉学生：
有些问题用算术解法是不方便的，最好用代数解法；只要找出相等关系，用等式表示出来，就列出方程；再利用解方程的方法，就可以求出未知数的值，随着应用题的复杂化，代数方法的优越性就更为突出。
在教学中，训练有素，三个方面困难便可化解，列出一元一次方程解应题便可熟练掌握。
二、学海导航
【思维基础】
1.移项要。
2.它们或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母，去、，合并等变形后，能转化为最简形式ax=b（a≠0），它只含，并且未知数的次数是，系数不等，我们把这一类方程叫做。
3.解一元一次方程的步骤是：
去分母，，，，系数化成1。
4.方程ax＋b=0（其中x是未知数，a、b是已知数；并且a≠0）叫做，这里a是未知数的；b是常数项，习惯上与ax写在方程的左边。
5.列出一元一次方程解应用题的方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
【学法指要】
例1下列方程中，一元一次方程的个数有（）
（1）
x=5
（2）3x－2y=0（3）5x2－2=0（4）3x2=3（x2－2x）
（5）
=9（6）4x＋2=3x－（2－x）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
指示思路：
根据一元一次方程的概念：
不含分母或者分母中不含未知数的方程经过适当变形后，能化成最简形式ax=b（a≠0），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这一类方程叫一元一次方程。
由此可知：
（1）、（4）符合条件，故应选（B）。
例2解下列方程，并写出检验过程：
（1）6x－13=－1
（2）10x＋1=14x－3
指示思路：
（1）移项，得6x=－1＋13
合并同类项，得6x=12
系数化成1，得x=2
检验：
把x=2代入方程，
左边=6×2－13=－1，右边=－1
∵左边=右边
∴x=2是原方程的根。
（2）移项，得10x－14x=－3－1
合并同类项，得－4x=－4
系数化成1，得x=1
本例也可这样求解：
移项，得1＋3=14x－10x
合并同类项，得4=4x
系数化成1，得1=x即x=1
检验：
把x=1代入方程
左边=10×1＋1=11右边=14×1－3=11
∵左边=右边
∴x=1为原方程的解。
解方程时，移项的根据是等式的性质，它是解方程的基础，要十分重视，且要牢记：
移项要变号，移项时，习惯将含有未知数的项移到方程的左边，不含未知数的项移到方程的右边；但有时为减少负号的出现，把含未知数的项移到方程的右边，不含未知数的项移到方程的左边，从而避免出错的可能。
注意1=x则x=1不是移项，而是等式的对称性。
要养成检验的好习惯，可避免出错，防患未然。
在以后的解方程过程中，检验不必写出。
例3解方程：
8y－（8－2y）=3y＋2（4y＋7）
指示思路：
方程中有括号，应设法先去括号求解。
去括号，得8y－8＋2y=3y＋8y＋14
移项，得8y＋2y－3y－8y=14＋8
合并同类项，得－y=22
系数化成1，得y=－22
去分母去括号时，不要漏掉乘括号中的项，并且要注意括号的符号；－y=22不是方程的解，必须把y的系数化成1，才能完成解方程的过程，解方程，去括号后可先把左，右两边合并同类项，化简后再移项，再合并同类项，这样较简便，如8y－8＋2y=3y＋8y＋14
合并同类项，得10y－8=11y＋14
移项，得10y－11y=14＋8
合并同类项，得－y=22
系数化成1，得y=－22
例4解方程：
指示思路：
方程中含有分母，应注意的地方有：
（1）确定分母的最小公倍数是30；
（2）不能漏乘不含分母的项；（3）方程中的三个分子在去分母后都应加上括号。
去分母，得：
，
即6（x－2）－10（2x－5）=3（x＋3）－90
去括号，得6x－12－20x＋50=3x＋9－90
移项，得6x－20x－3x=9－90＋12－50
合并同类项，得－17x=－119
系数化成1，得x=7
去分母时，为防止漏乘，初学时应写上开头的第一步，熟练后可省去。
从上例可以看出，分数线有两层意义，一方面它是除号（包含“除”与“比”的意义），另一方面它又代表着括号，所以在去分母时应将分子用括号括括上。
例5解方程：
提示思路：
方程中的分子，分母均含有小数，直接去分母比较麻烦，可先用分数的基本性质，化成整数，然后再去分母。
原方程可化为：
去分母，得29×15－12（t＋3）=45t－5（4t－28）
去括号，移项及合并同类项，得37t=259
系数化成1，得t=7
例6解方程：
提示思路：
此方程含有繁分式，应用分数的基本性质将繁分式化简后，再确定最佳解法。
原方程可化为：
即
亦即
去分母，得144－4（2x－1）=18x－（25x－10）
去括号，移项，合并同类项，得x=138
由上观之，解一元一次方程的五个步骤不一定要按照它的程序一定不变，要因题而异，灵活运用。
如本例，先进行繁分式的化简，再去分母等。
对本例也可逐一去掉分母的解法。
都可达到予期的效果。
当达到解一元一次方程十分得心应手时，解方程的步骤便可不写出来。
例7在公式l=Lo（1＋at）中，已知L=80.096，Lo=80，α=0.000012，求t
指示思路：
在这个公式中，虽然有L，Lo，α，t四个字母，但L，Lo，α的数值为已知数，只有一个未知数t，因此，解关于t的一元一次方程即可。
把L=80.096，Lo=80，α=0.000012分别代入公式中，得
80.096=80×（1＋0.000012t）
80.096=80＋0.00096t
0.00096t=0.096
t=100
用解方程的方法求公式中字母的值，在今后的数学，物理，化学课程的学习中经常用到，因此，应熟练掌握。
例8某人从甲村出发去乙村，在乙村停留1小时后，又绕道丙村，再停留半小时后，返回甲村。
去时的速度是每小时5千米，回来的速度是每小时4千米，来回（包括停留时间在内）一共用6小时30分钟。
如果回来时因绕道关系，路程比去时多2千米，求去时的路程？
指示思路：
路程问题（即行程问题）涉及速度，时间，路程（即距离）三者关系，若设去时的路程为S千米，可列表如下
速度千米/时
时间（小时）
路程（千米）
去
5
S/5
S
回
4
（S＋2）/4
S＋2
其它已知量
停留（1＋
）小时来回共用6
小时
回来时多走2千米
从上表中可以清楚发现这样一个相等关系：
走路的时间＋停留时间=总时间
解：
设去时的路程为S千米，依题意，得
解这个方程得S=10
答：
去时的路程为10千米。
例9一个三位数，三个数位上的数字的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求字个三位数。
提示思路：
这道题含有这样一个相等关系：
百位上的数＋十位上的数＋个位上的数=17
设十位上的数为x，再分析上面相等关系，便可得到下珍：
左边
右边
设十位上的数为x
百位上的数为（x＋7）
个位上的数为3x
这个三位数为100（x＋7）＋10x＋3x
三个数位上的数的和是17
解：
设十位上的数为x，依题意，得
（x＋7）＋x＋3x=17
解这个方程，得x=2
个位上的数为6，百位上的数为9。
故所求的三位数为926。
答：
所求的三位数为926。
例10抗洪救災中，甲处有91名解放军战士，乙处有49名解放军战士，现又调来100名战士支援，使甲处的人数是乙处人数的3倍少12人，应往甲，乙两处各调多少名战士？
指示思路：
这个问题里的相等关系是：
分配后甲处战士总数=分配后乙处战士总数×3－12。
设往甲处调x名解放军战士，再分析关系的左，右两边，可得下表：
左边
右边
甲处原有解放军战士91名，后又调来解放军战士x名
乙处原有解放军战士49名，后又调来解放军战士（100－x）名
甲处现有解放军战士（91＋x）名
乙处现有解放军战士（49＋100－x）名
解：
设往甲处调x名解放军战士，依题意，得91＋x=3（49＋100－x）－12
解这个方程，得x=86
∴100－x=14
答：
应往甲处调86名战士，往乙处调14名战士。
在遇到条件较多，关系较复杂的应用题，如行程问题，数字问题，劳动力分配问题等，可以列一表格来分析题意，把已知条件和所求的未知量纳入表格，列出代数式，找出各种量之间的关系，再列出方程，这样便可打开应用题的思路。
列表法既直观，各种数量关系又易暴露，容易找相等关系，是解应用题行之有效的好方法之一。
望同学们熟悉掌握，灵活应用。
例11修筑一条公路，由3个工程队分筑，第一工程队筑全路的
；第二工程队筑剩下的
；第三工程队筑了20千米把全部路筑完，问全路共有多少千米？
指示思路：
从这道问题中，可有这样的相等关系：
第一工程队筑路数＋第二工程队筑路数＋第三工程队筑路数=全路的总共
设全路总共为S千米，用线的图表示如下：
S（1－
）S
一．二．
（1－
）S三．20千米
解：
设全路是S千米，依题意，得
S＋
（1－
）S＋20=S
解这个方程，得S=45
答：
全路长为45千米。
画线的图表示应用题中数量关系，并把已知量和未知量标在线的图上，把应用题中的数量关系直观的呈现在我们面前，便可迅速列出方程，打开思路。
如行程问题，工程问题，和，差，倍，商问题都可借助此法。
例12初一
（2）班共有学生42人，在一次考试中，数学得优的有30人，语文得优的有28人，两门功课都没有得优的有2人，问数学，语文都得优的有几人？
AB
30－xx28－x
2人
指示思路：
本例中有如下的相等关系：
语文得优人数＋单是数学得优人数＋两门都得优人数＋2门都没有得优的2人=全班总人数
设语文，数学都得优的有x人，用集合A表示数学得优的人数，用集合B表示语文得优的人数，如上图所法。
解：
设语文，数学都得优的为x人，依题意，得
28－x＋30－x＋x＋2=42
解这个方程，得x=18
答：
语文，数学都得优的有18人。
用集合图形，扇形图形，面积图形等把应用题中的已知量和未知量标在图上，把条件之间不明显的关系，通过图形清晰显示出来。
指示了数量之间的关系，易于找出相等关系，列出方程，达到目的。
这也是指示应用题思路的常用方法，且行之有效，望同学们熟悉此法，应用此法。
例13要把95%的酒精溶液800克稀释成75%的酒精溶液，需要加水多少克？
指示思路：
95%的酒精溶液加上水后，重量变了，浓度变了，但酒精溶液中的纯酒精没有变（如下图）。
也就是说，这道应用题含有这样一个相等关系：
加水前纯酒精重量=加水后纯酒精重量
95%酒精溶液800g75%酒精溶液（800＋x）g
解：
设需要加水x克。
依题意，得
95%×800=（800＋x）75%
解这个方程，得：
x=213
答：
需要加水213
克。
画出直观图，把数量关系用图表示，直观，真切，如本课本P214图4－2也有同样的效果。
这种分析应用题思路和方法，使理论与实践相结合，图文并茂，效果好，是值得推祟的一种分析应用题的好方法之一。
【思维体操】
例1解方程：
指示思路一：
此题含有多重括号，常规思路，是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，循规套辙而进。
解：
去括号，得
移项，合并同类项，得
－3x=21
系数化成1，得
x=－7
指示思路二：
观察此题，可发现“
”与“
”是倒数关系，采取先去括号可捷足先登。
解：
先去中括号，得
合并大括号的同类项，得
去大括号，得
－3x－16=5
移项，合并同类项，得－3x=21
系数化成1，得x=－7
指示思路三：
我们对本题中的大括号内的数与式看成两项，应用乘法分配律，先去大括号，再去小括号，最后去小括号，反其道而攻之，也可获得成功。
解：
去括号，得
移项，合并同类项，得
－3x=21
系数化成1，得x=－7
指示思路四：
对本例我们把整个大括号内的数与式看成x，采取系数化成1的解法，也可打开思路，而且解法新颖，灵活。
解：
系数化成1，得
移项，合并同类项，得
系数化成1，得x=－7
本例采取四种解法，解法一应用常规解法，稳步前进；解法二抓住倒数关系，打破运算顺序，先去中括号，简化运算步骤，达到目的。
解法三采取逆向思维，先去大括号，再……，使问题顺利解决。
最后一种解法是灵活运用系数化成1，始终把左边看成一个整体（孕育着换元思想，为学好换元法埋下了伏笔），也找到完美的解法。
可见，解方程时，不一定要按照解一元一次方程的一般步骤去做，在符合运算律的情况下，要冲破其束缚。
认真观察方程的特点，灵活选用最佳解题方法，可培养自己的创新意识，塑造创新人材恰到好处。
对培养各种思维能力，提高数学素养，大有裨益。
例2一轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地，原路返回需12小时才能到达甲地，已知水流的速度是每小时3千米，求甲、乙两地的距离。
指示思路：
本题中有两个“不变量”，即甲、乙两地间的距离与轮船在静水中的速度，抓住这两个不变量，以此为突破口，可找到两个相等关系式。
轮船在静水中的速度=轮船在静水中的速度或甲地到乙地的距离=乙地到甲地的距离。
根据这两个相等关系而设出未知数，可迅速打开思路。
（1）设直接未知数：
设甲、乙两地的距离为x千米，列表如下：
船间
距离
时间
速度
从甲地到乙地
x千米
8小时
千米/时
从乙地到甲地
x千米
12小时
千米/时
解：
设甲、乙两地的距离为x千米，依题意，得
解这个方程得：
x=144
答：
甲、乙两地距离是144千米。
（2）设间接未知数：
设轮船在静水中速度为x千米/时，列表如下：
航间
速度
时间
距离
从甲地到乙地
（x＋3）千米/时
8小时
8（x＋3）千米
从乙地到甲地
（x－3）千米/时
12小时
12（x－3）千米
又解：
设轮船在静水中的速度为x千米/时，依题意，得
8（x＋3）=12（x－3）
解这个方程，得x=15
∴8（x＋3）=144
答：
甲、乙两地的距离为144千米。
对于顺水（风）或逆水（风）问题，抓住基本数量关系：
顺水（风）速度=静水（无风）速度＋水流速度（风速）
逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）
掌握这个数量关系式，问题可迎刃而解。
扩散一：
一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24千米/时，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的距离。
指示思路：
本例与例2分析雷同，请同学们仿例2分析。
解：
设两城市之间的飞行路程为S千米，依题意，得
解这个方程，得：
S=2448
答：
两城市之间的飞行路程为2448千米。
也可这样解：
设飞机无风飞行的速度为x千米/时，据题意，得
……。
扩散二：
轮船顺水航行80千米所需的时间和逆水航行60千米需的时间相同，已知水流的速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度。
指示思路：
本题的相等关系是：
顺水航行80km的时间逆水航行60km的时间
根据S1=V1t，S2=V2t可知：
S1:
S2=V1:
V2，借助小学学习的比例性质便可攻破。
解：
设轮船在静水中的速度为x千米，据题意，有
（x＋3）:
（x－3）=80:
60
∴4（x－3）=3（x＋3）
∴x=21
答：
轮船在静水中的速度为21km/时。
扩散三：
轮船从甲地逆流航到乙地，然后从乙地顺流航行回甲地，已知水流的速度是每小时3千米，回来时所需时间等于去时的
，求轮船在静水中中的速度。
指示思路：
本例分析可仿例2，本例的独特之处没有告诉去时所用时间，时间是任意量，抓住这一点，可设轮船从甲地逆流航行至乙地共用一个单位时间，便可减少未知量，提高解题速度。
解：
设轮船在静水中的速度为x千米/时，轮船从甲地逆流航行到乙地共用了1单位时间，据题意，得
（x＋3）=1·（x－3）
解这个方程，得x=21
答：
轮船在静水中的速度为21千米/时。
扩散四：
某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时，已知轮船在静水中的速度为8千米/时，水流的速度为2千米/时，若A、C两地间距离为2千米，求A、B的距离。
指示思路：
本例指示思路与例2相仿，之所以不同之处，逆流而上到C地，而C地的地理位置没有确定，C地在A地下游还是在A地上游呢？
题目没有交待，因之，必须考虑两种情况，不然，会造成失解。
解：
设A、B间的距离为S千米，据题意应分两种情况考虑：
（1）C地在A地的下游，则有
解这个方程，得S=12.5
（2）C地在A地的上游，则有
解这个方程，得S=10
答：
A、B间的距离为12.5千米或10千米。
三、智能显示
【心中有数】
一元一次方程的解法和应用是本单元的重点，也是中考热点内容之一。
掌握一元一次方程的解法不仅仅是为了解一元一次方程，它是解其他整式方程和方程组的基础。
事实上，解各种方程和方程组，通常都要通过降次和消元，最后将它们转化为一元一次方程进行求解。
其重要性显而易见，一定要熟练掌握这部分内容，并要灵活运用。
列一元一次方程解应用题是本单元难点，因之，在学习中，要学会分析法，理论与实践相结合，利用列表法，画线的图法，画图法等帮助分析，找相等关系。
这些关系问题，一定要铭记，才能把列一元一次方程解应用题难点突破，取得进展，反复强化达到熟练。
【动脑动手】
1.解方程：
（1）
（2）
（3）
2.解关于x的方程：
（a≠b）
3.已知
（1）试用x的代数式表示y；
（2）试用y的代数式表示x；
【创新园地】
1.甲、乙两个同时从相距65千米的A、B两地相向而行，甲的速度为17.5千米/时，乙的速度为15千米/时，经过几小时，甲、乙两人相距32.5千米？
2.已知A、B两地相距24.5千米，甲以16.5千米/时的速度从A地出发，乙以9千米/时的速度从B地出发，两人同时同向而行（开始时甲在乙的后面），问经过多少小时，两人相距14千米？
3.甲骑摩托车，每小时行40km。
乙骑脚踏车，每小时行20km，上午七时他们从相距140千米的A、B两地同时出发。
（1）相向而行，在什么时刻他们相距20km?
（2）同向而行，在什么时刻他们相距20km？
【动脑动手】答案
1.
（1）由原方程变形，得：
去分母，得（20x－5）－3（60x－4）=5（12－10x）
去括号，得20x－5－180x＋12=60－50x
移项，得20x－180x＋50x=60＋5－12
合并同类项，得－110x=53
系数化成1，得x=
（2）去括号，得
移项合并同类项，得
系数化成1，得
（3）由原方程，得
即
去分母，得x－6=6x－（1－x）－[4x－（2x＋3）]
去括号，得x－6=6x－1＋x－[4x－2x－3]
x－6=7x－1－2x＋3
合并同类项，得x－6=5x＋2
移项，合并同类项，得－8=4x
系数化为1，得－2=x
即x=－2
2.移项，得
去分母，得bx－ax=－
－
（b－a）x=－（
＋
）
∵a≠b∴b－a≠0
系数化成1，得
3.
（1）去分母，得3（x－y）－4（x＋2y）=－12
去括号，得3x－3y－4x－8y=－12
移项，得3x－4x＋12=3y＋8y
合并同类项，得12－x=11y
系数化成1，得
（2）同
（1）可求：
12－x=11y，即12－11y=x
故x=12－11y
【创新园地】答案
1.设经过x小时，甲、乙两人相距32.5km依题意，本例应分两种情况；相遇前相距32.5km，相遇后相距32.5km，于是有：
（一）相遇前相距32.5km时，则
17.5x＋15x=65－32.5
解这个方程，得x=1
（二）相遇后相32.5km时，则
17.5x＋15x=65＋32.5
解这个方程，得x=3
答：
经过1小时或3小时，甲、乙两人相距32.5km。
2.设经过x小时，两人相距14km，据题意，两人从A、B两地同向而行，因之，应有两种情况；甲没有追上乙而相距14km；甲追上乙而超过乙而相距14km，则有
（一）甲没有追上乙而相距
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