小学生几何图形思维题.docx
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小学生几何图形思维题
小学生几何图形思维题
1线、角
1.直线没有端点，没有长度，可以无限延伸。
2.射线只有一个端点，没有长度，射线可以无限延伸，并且射线有方向。
3.在一条直线上的一个点可以引出两条射线。
4.线段有两个端点，可以测量长度。
圆的半径、直径都是线段。
5.角的两边是射线，角的大小与射线的长度没有关系，而是跟角的两边叉开的大小有关，叉得越大角就越大。
6.几个易错的角边关系：
（1）平角的两边是射线，平角不是直线。
（2）三角形、四边形中的角的两边是线段。
（3）圆心角的两边是线段。
7•两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
8.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫做点到直线的距离。
9.在同一个平面上不相交的两条直线叫做平行线。
2三角形
1.任何三角形内角和都是180度。
2.三角形具有稳定的特性，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。
3.任何三角形都有三条高。
4.直角三角形两个锐角的和是90度。
5.两个三角形等底等高，则它们面积相等。
6.面积相等的两个三角形，形状不一定相同。
3正方形面积
1•正方形面积：
边长祕长
2•正方形面积：
两条对角线长度的积吃
4三角形、四边形的关系
1.两个完全一样的三角形能组成一个平行四边形。
2.两个完全一样的直角三角形能组成一个长方形。
3.两个完全一样的等腰直角三角形能组成一个正方形。
4•两个完全一样的梯形能组成一个平行四边形。
5圆
1•把一个圆割成一个近似的长方形，害U拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
则长方形的面积等于圆的面积，长方形的周长比圆的周长增加r>2。
2.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
3.半圆的周长公式：
C=pd?
2+d或。
=pr+2r
4.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
6圆柱、圆锥
1•把圆柱的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面的周长，宽等于圆柱的高。
2.如果把圆柱的侧面展开，得到一个正方形，那么圆柱的底面周长和高相等。
3.
把一个圆柱沿着半径切开，拼成一个近似的长方体，体积不变，表面积增加了两个面，增加的面积是r>X2。
4•把一个圆柱沿着底面直径劈开，得到两个半圆柱体，表面积和比原来增加了两个长方形的面，增加的面积和是dXhX205.把一个
圆柱加工成一个最大的圆锥，那么圆柱与圆锥等底等高，削去的圆柱的体积占圆柱体积的，削去的圆柱的体积占圆锥体积的2倍。
6•把一个圆柱截成几段，增加的表面积是底面圆，增加的面的个数是：
截的次数>2。
几何知识的教学是运用实物、图形等直观教具、学具，让学生通过观察、分析、比较来发现几何形体的特征，掌握有关的知识。
重视直观教学，加强动手操作，发展学生的空间观念，是几何教学的重要规律。
30道典型几何题解析
1.【加减法求面积】如图是一个f［径为3on的半圆，让这个半圆以川点为轴沿逆时针方向旋转60%此时〃点移动到歹点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为cm.圆周率按3计算）.
【解析】面积=E1心角为时的扇彫面积+半圆-空白部分五积（也足半G0）=B］心角为
60°的必形面积=xx32=|x=4.5（cm2）・
2.【割补法求面枳】求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为cm,圆周率按3计算”
【解析】
（1）4.5
（2）4（3）1（4）2
3.
【差不变】=角形彳斥广是直角=角形.阴影I的面积比阴影II的面积小?
Srm2.A8=Hc求的长度.
【解析】由于阴形I的面积比阴影II的面积小25cnr,根据差不变原理，直用三用形
ABC^J积减去半圆面积为25cm2,则直角三用形/BQ面积为
”4号）+25=8兀+25（cm'）.
BC的长度为（8兀+25）x2+8=2n+6.25=12.53（cm）.
4・【等量代换】下图（单位：
厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.
【解析】所求面积等于图中阴彭部分的面积，为（20-5+20）x84-2=140方厘米）.
5.【等面积变形】如下图，长方形AFEB和长方形2CE拼成了长方形ABCD,长方形
ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是多少？
【解析】根据面枳比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为
-x20x!
2=120・
2
6.
【面积与旋转】如图所示，直角三角形/個（？
的斜边AB为10厘米，Z/l5C=6（r,
【解析】注意分割.平移.补齐.
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置,
因为ZEBD=©、那么ZJ5E=12（F>则阴够部分为一圆环的g.
7.
【图形与平移】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示.如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
【解析】我们可以让菇止的瓷砖动起来，把对用线上的黑光砖，通过平移这种动态的处理，移到两条边上（如图2）.在这一转化过程中瓷砖的位理发生了变化，但数童没有变，此时白色论砖组成一个正方形.大正方形的边长上能放（101+1）+2=51（块），白
色麾砖纽成的正方形的边长上能放：
51-1=50（块），所以白色冕砖共用了：
5550=25（（块）.
8.【化整为零】正方形ABCD与等腰直角三角形BEF放在一起（如图）.M、N点为正方形的边的中点，阴影部分的面积是14cm2,三角形BEF的面积是多少平方厘米？
【解析】因为M、N是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下
图形中的三角形而积都相茅，阴影部分由7个三角形组成，且其面积为14平方厘米,故一个三角形的面积为2平方厘米，那么三用形BEF的面积是IX平方厘米.
9.【割补法】如图所示的四边形的面积等于多少？
【解析】逆目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形绕顶点O逆时针旋转.使长为13的两条边重合，此时三甬形Q4B将旋转到三角形OCD的位置•这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12x12=144・（也可以用勾股定理）
10・【巧求周长】下图中的阴影部分3CGF是正方形，线段/7/长IX厘米，线段/C长24厘米，则长方形ADHE的周长是厘米.
B
【解析】木题需要注意，长方形ADHE的宽应等于正方形BCGF的边长.
由于图中阴影部分〃QGF是个正方形，其四条边的边长都相等.且等于长方形ADHE的宽.FH+AC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形ADHE的长与宽之和.所以长方形ADHE的周长为：
（1X+24）x2=84厘米.
11.【周长与面积】有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长.
【解析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍爭于宽的5倍，所以长是宽的5+4=1.25倍.每个小长方形的面积为45*9=5平方厘米，所以1.25x宽x宽=5,所以宽为2厘米，长为2.5厘米•大长方形的周长为（2.5x4+2+25）x2=29厘米.
12・【梯形蝴蝶】如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为•
【解析】如图，连接AF.比较A4/F与MDF、由于AB^AD.FG=FE、即与A/1QF的底与高分别相等，所以ZBF与2DF的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米.
13•【曲线开型面积】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成
一个花瓣图形，图中的黒点是这些圆的圆心.则花赠图形的面积是多少平方厘米？
（兀取
3）
【解析】根据题意可知，挖去的6个边长1厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧而积，所以现在它的表面积为：
4x4x6+lxlx4x6=120平方厘米・
有aEAD.aADB同高，所以面积比为底的比，有S心d=—S“bd=2S.4bd・
AB
AH
同理S心〃=S心q=3SdS=6S“bd•
类似的，还可得4Se=6Se、有
二以〃+=6（S“BD+Sed、=6Sabcd=30平方厘米.
连接AC»AFtHC,还可得S.efb=6S“眈>SaDHG=6Sa^cx>♦
=6（S“BC+^aACD）=^.ABCD=30平方厘米•
有四边形EFGH的面积为AEAHZaFCG,aEFBzaDHGzABCD的而积和，即为30+30+5=65（平方厘米•）
17.【等积变形】图中ABCD是个程角梯形（ZDAB=ZABC=90。
）.以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。
连接BE交AD于P,再连接PC。
则图中阴影部分的面积是（）平方厘米。
【解析】如图，连接MEBD.因为AD//BG则：
AB//ED.则：
S^EAD~S^EBD.所以，
S阴影=S/曲+Szx=S&pd七Sz»DB=S&da==-<6.36=3.18（平方厘米）
18.【一半模型】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是2k/；r.问：
长方形的面积是多少平方厘米？
【解析】黄色三囱形与绿色三介形的底相等都等于长方形的长，离相加为长方形的宽，所以黃色三角形与绿色三角形的而积和为长方形面积6勺50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%,所以黄色三用形面积占长方形面积的50%-15%=35%・
已知黄色三用形面枳是2kw\所以长方形面积等于21-35%=60（cm1）・
19.【表面积计算】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？
【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：
（l2+22+32+52）x6=39x6=234（平方厘米），
重叠部分的面积为：
12x3+（22x2+l2）+（32+22+12）+（32+22+12）=3-b9+14+14=40（平方厘米）,所以，所得到的多而体的表而积为：
234-40=194（平方厘米）.
（法2）三视图法.从林后面观察到的面积为5,+3,+2—38平方厘来，从左右两个面观察到的而积为52+32=34平方厘米，从上下能观察到的面积为5?
=25平方厘米.
表面积为（38+34+25）x2=194（平方厘米）.
20・【表面积计算】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9.7.7块正方形组成・
该图形的表面积等于（9+7+7）x2=46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米.
21.【取特殊点】长方形ABCD的面积为36,E、F、G为各边中点，〃为/1D边上任
意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】特殊点法.由于H为/1D边上任意一点，找H的特殊点，把H点与点重合（如左上图），那么阴影部分的而积就是与的而积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD^J积的1和丄，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的84
—+—=为36x—=13.5・
8488
22・【共高模型】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE・尸是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？
【解析】如下图，连接FC,2BF、"FG的面积相等，设为x平方厘；：
"席
△DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么aDEF的面积为*丿平方厘米.
S^BCf）=2x+2y=\=x+-y=lx-=i.所以有$+'。
•‘比较②■①式,②
333[3x+y=l②
式左边比①式左边多2x,②式右边比①式右边大0・5,有2x=0.5,即
oc5
x=0.25fy=0.25.而阴影部分面积为丿+三歹二亍0.25=$平方厘米・
23・【周长与面积】如图，大长方形的面积是小于200的整数，内部有三个边长为整数的正方形A.B.C,正方形B的边长是长方形长的7/16,正方形C的边长是长方形宽的1/4,那么剩余黑色区域的面积是多少？
【解析】如图，长方形长的西=宽的°,可求出长与宽的比，再根据而积小于200确定而
94
93
积大小，从长方形面积中减去A、B、C就是阴影部分面积•长x—=宽x—,长：
宽=4:
3!
04
9
面积＜200的整数，所以长=16,宽=12,面积=192SX=（16x—）2=81,
16
71
SB=（16x—）2=49Sc=（12x-）2=9S阴影=192-81.19.9=53.
164
24・【梯形蝴蝶】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，ADEF的面积是5平方厘米，△（?
£：
£）的面积是10平方厘米•问：
四边形/IBEF的面积是多少平方厘米？
【解析】连接根据梯形模型，可知三角形的面积和三用形DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理.三角形BCE的面积为10x10-^5=20（平方厘米），所以长方形的面积为（20+10）x2=60（平方厘米）.四边形ABEF的面积为60-5-10-20=25（平方厘米）.
25・【面积与垂叠】奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77」平方厘米，求每个小曲边四边形的面积•（兀=3.14）
【解析】⑴每个圆环的面积为：
nx42-7tx32=7n=21.98（平方厘米）;
⑵五个圆环的面积和为：
21.98x5=109.9（平方厘米）；
⑶八个阴影的面积为：
109.9-77」=32.8（平方厘米）；
⑷每个阴够的面积为：
32.8+8=4.1（平方厘米）.
26.【圆柱体表面积】如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱体，在它的中间依次向下挖半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米.0・5厘米的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？
【鮮析】圓枉挖猝3个小圆柱，表面积会增3个圆枉的侧面枳，底面枳总和不变。
总表面积为：
2x3Hx2+2x2Rxl+2xl^x0.5=12n+47t+lrc=17rt
27.【等积变形】输液100毫升，每分钟输2.5亳升.如图.请你观察第12分钟时图中的数据，问：
整个吊瓶的容积是多少亳升？
【解析】100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算.但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来.
由于毎分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.5x12=30（走升），因此开始输液时液面应与50＜升的格线平齐，上面空的部分是50走升的容积.所以整个吊瓶的容积是100+50=150（毫升）・
28・【表面积变化】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上.棱上.面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【解析】大立方体的表面积是20x20x6=2400平方厘米.在用上挖抻一个小正方体后，外面少了3个面，但里而又多出3个而；在枝上挖掉一个小正方体后，外面少了2个而，但里而多出4个而；在而上挖掉一个小正方体后，外而少了1个而，但里而多出5个而.所以，我后的悄况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个而的面积：
（2454-2400）^6=9平方厘米，说明小正方体的復长是3厘米.
29・【燕尾模型】如图，已知BD=3DC,EC=2AE.处与初相交于点O,则被分成的4部分面积各占面积的几分之几？
【解析】连接CO,设S份，则其他部分的面积如图所示，所以
=1+2+9+18=30份，所以四部分按从小到大各占△彳BC面积的丄2+4.5二139313.5二9
30'30~6O,3O~IO，"3O'"2030・【格点与面积】如图（町，有21个点，每相邻三个点成“•••”或“•••”•所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.
【解折】方启一：
如圉佔）所示，在^ABC内连接相邻的三个点風扛DEF、再连接OGEA.FB怎足LABC
可看瓶是由也DEF分别延长FQ*DE、EF边一倍*一倍*二倍而成的，由等积变换不难得到S^ACD=2.鼻如=3,§囲=4,所以耳=1+2十3+4二10（面枳単位）'
方法二：
如图W）所老作辅助线把图I气h\nr分别修拼到i、【【，hi妁位査*这样可卜乂通过数小正三角形的方法.求出虫M讯7的面积为10
方法三：
如图（Q所示：
作辅助纯可知：
平行四边形ARRE中有&个小正三甬形，而LABE的［&积是平行四边形ARBE面积的一半.S^-b=35平行四边形ADCH中有4个小正三甬形，而hADC的面和是平行四边形ADCH面积的一半+即»心=2.平行四边形FBGC中有X个小正三角形，而^FSC的面积是平行四边影FEGC的一半出即：
S^F&C=4.所>>15.=1+2+3+4^10（［^积单位）-
备注:
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