四 数阵.docx
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四数阵
四数阵
1.
(1)中心处可填1,4,7或10;
(2)中心处可填1,5或9;
(3)中心处可填1,6或11。
2.解:
本题是5-3辐射图。
设中心数为a,由五条虚线上的数字之和得到5×18=(1+2+…+11)+4a,解得a=6。
填数方法如左下图。
3.除了最上面直线中间的○只在一条直线上外,每个○都在两条直线上。
设最上面直线中间○内填的数为x,则四条直线上的数字之和,等于1~6加两遍,再减去x,即
10×4=(1+2+3+…+6)×2-x,
解得x=2。
填法如右上图。
4.解:
设三角形三个顶点的数字之和为s。
因为每个顶点属于两条边公有,所以把三条边的数字和加起来,等于将1至6加一遍,同时将三个顶点数字多加一遍。
于是有
(1+2+3+4+5+6)+s=3k,
化简后为s+21=3k。
由于s是三个数之和,故最小为1+2+3=6,最大为4+5+6=15,由此求出9≤k≤12。
s和k有四组取值:
通过试验,每组取值都对应一种填数方法(见下图)。
第5~12题的解题方法与第4题相同。
5.
6.
7.k的最大值为24,最小值为20。
8.
9.
10.
11.
12.
13.解:
因为1+2+…+8=36,所以大正方形的四个顶点数之和应为36÷3=12,这四个数只能是1,2,3,6,每边上的三数之和为
(36+12)÷4=12。
由此可得左下图的填法。
14.解:
设角上有a名士兵,由四条边上的士兵相加,得
4×150=360+4a,
解得a=60,兵力分配见右上图。
15.解:
因为每个角都属于两面,所以四面的武器的威力系数之和,等于所有武器的威力系数之和,再加上四个角的武器威力系数。
推知四个角的武器威力系数应尽量大。
因为1+2+…+10=55,当四个角的威力系数为10,9,8,7时,55+10+9+8+7=89,89不是4倍数,所以四个角只能是10,9,8,6,由此可得每一面的威力系数应是
(55+10+9+8+6)÷4=22。
分配如下图。
16.
17.解:
设中心数为a,各条直线和各个圆周上的三数之和均为k。
因为a属于三条直线公有,其余数各属于一条直线和一个圆周,于是得到
2×(1+2+…+7)+a=5k,
化简为a+56=5k。
因为1≤a≤7,a+56又是5的倍数,所以a=4,k=12。
填数方法见右图。
18.
19.解:
如果不要求正三角形三个顶点数字之和也相等,则题目退化为3-4辐射图,由第1
(1)题知,中心数有四种填法。
对于每一种填法,适当调整各直线上数字的位置,都可使每个正三角形三个顶点数字之和相等(解不唯一)。
所以本题共有四种中心数不同的解(见下图)。
20.解:
每个圆周和每条直线上三数之和应为15,其中有9的只有9+1+5和9+2+4,分别对应下图的两个解。
21.解:
设每个圆内的数字之和为k,则五个圆内的数字之和是5k,它等于1~9的和45,再加上两两重叠处的四个数之和。
而两两重叠处的四个数之和最小是1+2+3+4=10,最大是6+7+8+9=30,所以,
5k≤45+30=75且5k≥45+10=55,
即11≤k≤15。
当k=11,13,14时可得四种填法(见下图),k=12,15时无解。
22.解:
设每个大圆周上的四个数之和为k(即题中的定数)。
图中有一个○属于三个大圆公有,有三个○各属于两个大圆公有。
设属于三个大圆公有的○内的数为w,属于两个大圆公有的三个○内的数字之和为v。
将三个大圆上的数字和相加,得到
3k=1+2+3+4+5+6+7+v+2w=28+v+2w,
因为v+2w最小为11(w=1,v=2+3+4),最大为29(w=7,v=6+5+4),分别代入上式,解得13≤k≤19,即定数可以取13至19之间的整数。
本题是k=13的情况,此时w=1,v=2+3+4,其它数的填法见右图。
第23~25题的解题方法与第22题相同。
26.解:
1~9中有五个奇数,因为I属于四个圆公有,并且是奇数,要使每个圆内的四数之和都等于20,只有A,B,C,D是奇数,所以
E+F+G+H
=2+4+6+8=20。
又因为I属于四个圆公有,E,F,G,H各属于两个圆公有,A,B,C,D只属于一个圆公有,于是得到
(1+2+…+9)+(E+F+G+H)+3I=80。
由上式求得I=5,于是可得右上图的答案。
27.26。
解:
五个正方形四角上的数字之和都等于K,合起来是5K。
另一方面,除中间正方形四角上的数字各属于三个正方形外,其余数字仅属于一个正方形,所以五个正方形四角上所有数字之和又等于1~12的和再加2K,得到方程
5K=(1+2+…+12)+2K,
解得K=26。
28.解:
设中心小三角形内的数为a,在四个大三角形中有三个尖朝上的,由这三个大三角形内的数字之和可得(1+2+…+10)+2a=25×3,解得a=10,由此可得填数方法如下:
29.提示:
每个三角形上的三数之和都等于15。
30.解:
设每条边上的五个数之和为k。
左下图中三个阴影三角形只属于一条边,其余三角形各属于两条边,记三个阴影部分的数字之和为s,则有3k=(1+2+…+9)×2-s=90-s,因为s的最小值为1+2+3=6,所以k的最大值为28;同理k最小值为22。
右下图为k=28和k=22的填数方法。
31.提示:
因为每个数字都属于两条直线,所以六条直线上的数字之和等于前12个自然数之和的2倍,即156,由此知每条直线上的四个数字之和为26。
填数方法见右图。
32.解:
图中的六个圆分为四个小圆、一个中圆和一个大圆。
如果不考虑中圆,那么除中心数属于四个圆公有外,其余各数均属于两个圆公有。
设每个圆周上的四数之和为K,中心数为I,则由这五个圆周上的数字之和得到
5K=(1+2+…+9)×2+2I,
化简得K=18+2I÷5。
因为K是整数,且1≤I≤9,所以I=5,由此求得K=20。
因为I=5同时属于四个小圆,而每个小圆上的四个数字之和为K=20,所以剩下的四个奇数1,3,7,9必在大圆周上(即每个小圆周上有两个奇数),由此推出四个偶数2,4,6,8在中圆周上。
填数方法如左下图。
33.本题与第32题形式不同,但实质完全相同。
填数方法见右上图。
34.解:
设四个顶点的数字之和为S。
因为每个顶点属于三个面公有,所以由四个面的数字之和得
(1+2+…+8)+2S=14×4,
解得S=10,所以四个顶点的数是1,2,3,4。
填法见右图
。
35.解:
因为每个顶点属于三个面公有,所以每个面上的数字之和为
(1+2+…+8)×3÷6=18,
由此得到下图所示的三个解:
36.解:
设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为
1+2+…+9-a=45-a。
由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为
6k=3×(45-a),
即2k=45-a。
由此知a必为奇数,再由k不能被a整除推知a=7,k=19。
各数的填法见右图。
37.2或3(见下图)。
38.解:
每个正三角形顶点的三数之和为(1+2+…+9)÷3=15,每条直线上的四数之和为20。
将1~9九个数分为三个一组,且每组三个数的和为15只有如下两种分法:
(1)1,5,9;2,6,7;3,4,8;
(2)1,6,8;2,4,9;3,5,7。
对于
(1),中心小正三角形三个顶点数为1,5,9时,可得左下图的解;
对于
(2),中心小三角形三个顶点数为3,5,7时,可得右下图的解。
本题本质上只有这两解。
39.解:
设左下图中阴影部分的数字之和为S。
因为阴影部分属于两个圆公有,所以由四个圆内的数字之和得到
4×28=(1+2+…+12)+S,
解得S=34。
在剩下的八个数中取四个,只有5,6,11,12或6,7,9,12的和等于34,经试验只有右下图一解。
解不唯一。
42.证明:
将a,b,c三数按左下图所示填入方格,根据题目条件可得右下图。
在右下图中,根据第二列和第三行都可以求出★处的数,可得方程
k-(k-a-b)-c=k-(k-b-c)-(k-a-c)。
注意:
这个命题对九个数没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数,可以相同,也可以不同。
43.证明:
设每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于k,中心数为d。
根据题目条件可得下图。
在下图中,根据第一行和第三列都可以求出★处的数,可列方程
k-c-(k-d-b)=k-a-(k-d-c),
注意:
这个命题对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数;可以相同,也可以不同。
44.
(1)45;
(2)6。
x=(34+56)÷2=45。
(2)中心数为(5+9)÷2=7,第二行第三列的数为7×3-(8+7)=6,y=7×3-(9+6)=6。
45.
(1)7;
(2)12。
提示:
由第42题知,中心数为24÷3=8。
46.
(1)8;
(2)11。
解:
(1)由第43题知,右下角的数为(3+9)÷2=6,所以
x=7×3-(6+7)=8。
(2)由第43题知,右下角的数为(3+7)÷2=5,由
6+7+y=(y+5)÷2×3,
解得y=11。
47.解:
由第42题知中间方格中的数为267÷3=89。
由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89=178。
两个质数之和为178的共有六组:
5+173=11+167=29+149=41+137=47+131=71+107,经试验,可得右图所示的三阶质数幻方。
第48,49题与第47题类似。
51.解:
(1)由第42题知中间方格的数为7。
再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列以及对角线的和都等于
21,如右图所示填上各数(含x)。
因为九个数都不大于12,由16-x≤12知4≥x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10。
考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10。
经试验,当x=6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意;当x=4或10时可得两个解(见左下图)。
这两个解实际上一样,只是方向不同而已。
(2)与
(1)类似可解(见右上图)。
52.提示:
对于符合题意的某种填法,任意交换两行或两列,仍是符合题意的填法。
所以利用题中给出的填法(以下简称原解)可求解。
比如
(1),已给出4,6,由原解知,与4,6在同一行的是5,可填上5;再由原解知2,5之间填8;再由原解与4,8所在行、列相交的是5和7,5已填好,可填7。
其余数类似可填。
53.提示:
因为中间两个○分别只与一个○不相邻,只能填1和8,其余数的填法见左下图。
54.与第53题本质相同,填法见右上图。
55.解:
首先确定这九个连续自然数。
因为六条直线上的所有数之和等于6加了一次,其余数各加了两次,所以这九个数之和等于(23×6+6)÷2=72。
九个数中间的数是72÷9=8,推知这九个数是4~12,填数时注意到两个数的和是23的只有11+12,可填上11和12(见左下图)。
再注意到A-B=1,C-D=1及6的位置,可依次填上9,8;5,4;10,7(见右下图)。
56.解:
不算中间的小三角形,则每个○都是两个三角形的顶点。
设每个三角形三个顶点数之和为k,则有
6k=(1+2+3+…+9)×2,
解得k=15。
如果中间小三角形的三个顶点数都是奇数,则可推出外圈六个数的奇偶性全部相同,不合题意,所以中间小三角形的三个顶点数为一奇两偶(见右图)。
又若图中★处为奇数,则可推出全部九个数中只有三个奇数,不合题意,所以1~9中的四个偶数应填在同一直线的四个○中。
再由全是奇数构成的两个三角形推知中间小三角形中的奇数是5,从而两个偶数是4,6或2,8。
于是得到下图中所示的四解:
57.解:
本题中左下角的数属于5条直线共有,对角线上中间的数属于4条直线共有,其余数只属于2条或3条直线,所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位,应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和。
设每条直线上三数之和为k。
由图
(1)中5条实线上所有数字之和,可列方程
因为k是整数,所以a只能取1,6或11;再由图
(2)中四条实线上所有数字之和,可列方程
得到a只能取2,6或10。
综合以上讨论知a=6,k=18。
在图(3)中的5条实线中,只有b属于3条实线共有。
注意到这5条实线上的数字没有6,在剩下的十个数字中,三个数的和等于18的共有以下八组:
3+4+11;1+8+9;1+7+10;3+5+10;
2+7+9;2+5+11;3+7+8;4+5+9,
其中同时出现在三个算式中的数只有3和9,所以b只可能是3或9,此时c等于9或3。
由同时含有3的三个算式知,若b=3,c=9,则d,e只能取4,11或5,10或7,8,由于每条直线上的三个数之和为18,且c=9,故d,e不能等于10或11,所以d,e只能取7,8。
由此可得左下图中的答案。
同理,若b=9,c=3,则可得右下图的另一答案。
58.解:
因为每个三角形的顶点数之和都相等,所以大三角形的每个顶点必与对边中点的数相等,并由此得到三个顶点数之和为20÷2=10只能是2,3和5(见左下图)。
59.解:
设每条边上的三个数之积为a,则a3应等于这六个数相乘后,再乘以三个顶点数的乘积。
这六个数的乘积为
1×2×3×4×8×12=28×32。
为使28×32与三个顶点数的乘积是立方数,三个顶点数有四种可能搭配:
1,2,3;2,3,8;1,4,12;4,8,12。
经试验只有右上图所示的两种填法。
60.提示:
三个质数的和仍为质数,最小的是
2+2+3=7。
填法如右图所示。
63.解:
四条边上的数字和为4×5=20,而每个角上的数字属于两条边公有,所以当八个数的总和为K时,四个角上的数字之和为(20-K)。
填法如下图所示。
64.解:
因为1+2+…+13=91,从中去掉一个数后应能被3和4整除,即能被12整除,由91÷12=7……7知,应该去掉7。
这样每个横行之和应为84÷3=28,每个竖列之和应为84÷4=21。
进一步分析知道,六个奇数必然有三个在一列,另外三个各在一列。
三个奇数的和为21的只有1+9+11和3+5+13两组,填好奇数,剩下的数就好填了(见下图)。
上面给出了两个答案,因为行与行、列与列可互换,所以共有288种答案,但本质上只有以上两种。
66.解:
设每条边上的三数之和为S。
如右图所示,设标有a的三数之和为A,标有b的三数之和为B。
因为标有a的○只属于一条边,没标字母的○属于两条边,标有b的○属于三条边,所以六条边上所有数字之和等于将1~9加两遍,再加B减A,得到
6S=90+B-A,
再由小三角形三边上的数字和,得到
3S=2B+A。
由①②可得S=10+B/3,所以B必为3的倍数。
又因为B是1~9中的三数之和,故6≤B≤24。
当B=6时,S=12,用b表示的三个数只能是1,2,3,可得左下图的解。
当B=24时,S=18,用b表示的三个数只能是7,8,9,可得右上图的解。
当B=12时,S=14,只有当用b表示的三个数为1,4,7时,有左下图的解。
当B=18时,S=16,只有当用b表示的三个数为3,6,9时,有右上图的解。
当B=9,15或21时无解。
67.分析:
一般地,对于左下图中的四个数a,b,c,d,如果取任一行、任一列三数之积为abcd,则有左下图的填法,其中s=1;如果cd,ab,bd,ac有公约数e,则有右下图的填法,其中s=e。
记cd,ab,bd,ac的最大公约数为k,如右下图所示,k的每一个不同的约数e对应一个不同的解,所以题目不同答案的数量等于k的约数的个数。
解:
(1)因为(1×2,4×3,1×4,2×3)=2,2只有1和2两个约数,由上面的分析可得左下图所示的两个解。
(2)因为(2×3,4×5,2×4,3×5)=1,所以只有右上图所示的一个解。
(3)因为(2×3,5×4,2×5,3×4)=2,2只有1和2两个约数,所以有下图所示的两个解。
68.解:
(1)右下角的数为12×10÷15=8,如左下图所示,由c所在的行与列的三数之积相等,得到12a=8d,即a∶d=2∶3;同理,由a所在的行与列,可得12c=15b,即b∶c=4∶5。
于是可得下中图的解。
(2)与
(1)类似可得右上图的解。
69.解:
(1)右上角的数为60÷(5×6)=2,右下角的数为5×6÷2=15。
与第67题类似,可得下面两种填法。
(2)与
(1)类似可得下面两种填法。
70.解:
圆内三数之和最小为1+1+1=3,最大为2+2+2=6,有三个1的圆和有三个2的圆必在相对的位置,填法如右图。
71.解:
同一圆周上的四个数不可能相同,否则另外两个圆周上的四数之和必然相等。
由此知道,同一圆周上的四数之和最小为1+1+1+2=5,最大为1+2+2+2=7,即三个圆周上的四数之和分别为5,6,7,填法见下图。
72.解:
题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。
经试验有下图所示的三种情况:
按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图所示的两个解。
因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方。
73.解:
如果五个数中有两个相同,则其中三个数的和至多有7个不同值,所以五个数互不相同。
五个互不相同的自然数中,最小的是1,2,3,4,5,但其中三个数之和在6~12之间,只有7个不同值。
我们接着考虑1,2,3,4,6,它们中的三个数之和在6~13之间,有8个不同值,而五个数中任选三个有10种不同组合,说明其中必有两组的和与另外八组中某组的和相同,如果将这两组数分别填在两条对角线上,则另外八组数均构成三角形,且顶点数之和互不相同,这正是我们所要求的。
实际计算知,1,2,6与2,3,4两组的和都等于9;1,4,6与2,3,6两组的和都等于11。
在和等于9与11的数中各选一组,要求包含1,2,3,4,6五个数,只有一种选法,即选2,3,4与1,4,6,其中4为两组公有,故应将4填在中间○内,得到右图所示的答案。
74.
(1)不能。
在外面的四个三角形中,中正方形的四个顶点分别属于两个三角形,大正方形的四个顶点分别只属于一个三角形,所以四个三角形顶点数之和等于3×(1+2+3+4)=30,因为30不是4的倍数,所以外面的四个三角形的顶点数之和不可能相等。
同理,里面的四个三角形的顶点数之和也不可能相等。
(2)每个三角形的三个顶点数字不可能全相同,所以三个数之和最小为1+1+2=4,最大为4+4+3=11,可以使八个三角形顶点数字之和各不相同。
右图是一种填法。