(2)},Q={x|f(x)<-4}={x|f(x)3.
温馨提醒
(1)本题用到的等价转化
①将非p,非q之间的关系转化成p,q之间的关系.
②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.
(2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到.
方法与技巧
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定.
2.充要条件的几种判断方法
(1)定义法:
直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:
即利用A⇒B与非B⇒非A;B⇒A与非A⇒非B;A⇔B与非B⇔非A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}:
若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件.
失误与防范
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提.
2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p则q”的形式.
3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
A组 专项基础训练
(时间:
30分钟)
1.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
答案 A
【详细分析】对于A,其逆命题:
若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|=
,必有x>y;对于B,其否命题:
若x≤1,则x2≤1,是假命题.如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题:
若x≠1,则x2+x-2≠0,因为x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0,则x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题,故选A.
2.“如果x、y∈R,且x2+y2=0,则x、y全为0”的否命题是( )
A.若x、y∈R且x2+y2≠0,则x、y全不为0
B.若x、y∈R且x2+y2≠0,则x、y不全为0
C.若x、y∈R且x、y全为0,则x2+y2=0
D.若x、y∈R且x、y不全为0,则x2+y2≠0
答案 B
【详细分析】“x2+y2=0”的否定是“x2+y2≠0”,“x、y全为0”的否定是“x,y不全为0”.
3.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”
B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件
C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”
答案 C
【详细分析】C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ=1+4m≥0,
即m≥-
,不能推出m>0.所以不是真命题,故选C.
4.已知集合A={1,2},B={1,a,b},则“a=2”是“A⊆B”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
【详细分析】当a=2时,因为B={1,2,b},所以A⊆B;反之,若A⊆B,则必有2∈B,所以a=2或b=2,故“a=2”是“A⊆B”的充分不必要条件.选A.
5.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A.“若xy,则x2>y2”
C.“若x≤y,则x2≤y2”D.“若x≥y,则x2≥y2”
答案 C
【详细分析】根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.
6.已知向量a=(m2,-9),b=(1,-1),则“m=-3”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
【详细分析】当m=-3时,a=(9,-9),b=(1,-1),则a=9b,
所以a∥b,即“m=-3”⇒“a∥b”;
当a∥b时,m2=9,得m=±3,
所以不能推得m=-3,即“m=-3”
“a∥b”.
故“m=-3”是“a∥b”的充分不必要条件.
7.给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
答案 C
【详细分析】原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;
它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,
则函数y=f(x)是幂函数”,
显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.
8.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )
A.m=-2B.m=2
C.m=-1D.m=1
答案 A
【详细分析】已知函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立.
所以函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
9.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.
答案 2
【详细分析】其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.
10.“m<
”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的____________条件.
答案 充分不必要
【详细分析】x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,
即m≤
,因为m<
⇒m≤
,反之不成立.
故“m<
”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.
11.若xm+1是x2-2x-3>0的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
答案 [0,2]
【详细分析】由已知易得{x|x2-2x-3>0}{x|xm+1},
又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1或x>3},
∴
或
,∴0≤m≤2.
12.有下列几个命题:
①“若a>b,则a2>b2”的否命题;
②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
③“若x2<4,则-2其中真命题的序号是________.
答案 ②③
【详细分析】①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”错误.
②原命题的逆命题为:
“x,y互为相反数,则x+y=0”正确.
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”正确.
B组 专项能力提升
(时间:
15分钟)
13.若集合A={x|2A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
【详细分析】当a=1时,B={x|-2反之,若A∩B=∅,只需a≤2即可,故“a=1”是“A∩B=∅”的充分不必要条件.
14.设a,b为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
【详细分析】∵a-b>1,即a>b+1.
又∵a,b为正数,
∴a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1,即a2-b2>1成立,反之,当a=
,b=1时,满足a2-b2>1,但a-b>1不成立.所以“a-b>1”是“a2-b2>1”充分不必要条件.
15.命题“函数y=f(x)的导函数为f′(x)=ex+
-
(其中e为自然对数的底数,k为实数),且f(x)在R上不是单调函数”是真命题,则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
【详细分析】当k=-1时,f′(x)=ex+
+1≥2+1=3,
则f(x)在R上单调递增,不满足题意,应排除A;
当k=-
时,f′(x)=ex+
+2≥1+2=3,
所以f(x)在R上单调递增,不满足题意,应排除B;
当k=1时,f′(x)=ex+
-1≥2
-1=2-1=1,
则f(x)在R上单调递增,不满足题意,应排除D.选C.
16.给定两个命题p、q,若非p是q的必要不充分条件,则p是非q的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 充分不必要条件
【详细分析】若非p是q的必要不充分条件,则q⇒非p但非p
q,其逆否命题为p⇒非q但非q
p,所以p是非q的充分不必要条件.
17.已知集合A=
,B={x|-1答案 (2,+∞)
【详细分析】A=
={x|-1∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
∴AB,∴m+1>3,即m>2.
18.下列四个结论中:
①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件;②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件;④若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件.
正确的是________.
答案 ①④
【详细分析】由λ=0可以推出λa=0,但是由λa=0不一定推出λ=0成立,所以①正确.
由AB2+AC2=BC2可以推出△ABC是直角三角形,但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角,所以②不正确.
由a2+b2≠0可以推出a,b不全为零,
反之,由a,b不全为零可以推出a2+b2≠0,
所以③不正确,④正确.