奥数第十一讲比和比例.docx

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奥数第十一讲比和比例

第十一讲　比和比例

一、训练目标

知识传递：

学习与比例相关的分数问题，理解相关联的量。

能力强化：

分析能力、综合能力、推算能力。

思想方法：

假设思想、比较思想、对比思想。

二、知识与方法归纳

学习比和比例关系是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的基本要求。

比和比例的学习,也是为中学学习函数打下基础。

用比和比例解答的应用题有：

1．按比例分配应用题。

把一个数量按一定的比进行分配，解答这类应用题的关键是根据题中所给的比，转化成求一个数的几分之几来做。

2．正、反比例应用题。

解答这类应用题，首先要找出相关联的量，然后判断成什么比例关系，建立比例式。

三、经典例题

例1、一个长方体的棱长总和是180厘米，它的长、宽、高之比是4:

3:

2。

这个长方形的体积是多少立方厘米？

例2、兄弟俩共有85元，他们都买了一支价格相同的钢笔，哥哥花掉了自己钱数的

，弟弟花掉了自己钱数的

，哥哥还剩多少元？

体验训练1、有两桶水：

一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：

7，那麽往每个桶中加进去的水量是多少升？

例3、饲养场里有鸡、鸭、鹅共860只，鸡、鸭的只数比是3:

4，鸡、鹅的只数比是4:

5，鸡、鸭、鹅各有多少只？

例4、一批货物共值171万元。

如果第一、二、三批货物的质量比为2：

4：

3，单位质量的价格之比为6：

5：

2，这三批货物各值多少万元？

体验训练2、一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:

1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:

5，求开始时黑棋子，白棋子各有多少枚？

*例5、有两杯体积相同的酒精溶液，第一杯中酒精与水的比是3：

5，第二杯酒精与水的比是1：

4。

将这两杯酒精溶液混合在一起，新的酒精溶液中酒精与水的比是多少？

*例6、甲、乙、丙三人一起去商场购物，甲花钱数的

等于乙花钱数的

，乙花钱数的

等于丙花钱数的

，结果丙比甲多花钱93元。

问他们三人共花了多少钱？

四、内化训练

1、一个长方形的周长是60厘米，它的长、宽之比是3:

2，它的面积是多少平方厘米？

2、甲乙两数的和是99，甲数的

等于乙数的

，那么甲数与乙数各是多少？

3、商店运进香蕉、梨、苹果共775千克，其中香蕉、梨的重量比是3:

5，梨、苹果的重量比是2：

3。

商店运进苹果、梨、香蕉各多少千克？

4、甲、乙两个服装厂，一个月内生产的西服数量的比是8:

7,两厂西服价格的比是11:

12。

已知这个月两厂的总产量为4300万元，问两厂的产值各是多少万元？

5、两块同样重的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的比是3:

2，第二块合金中铜与锌的比是7:

3。

现在将这两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的比。

6、学校图书馆有故事书、文艺书、科技书共4920本。

已知文艺书本数的

等于故事书本数的

，故事书本数的

又等于科技书本数的

。

问三种书各有多少本？

7、参加语文竞赛的人数是参加数学竞赛人数的

，语文获奖人数是数学获奖人数的

，而两个竞赛没有获奖的都是240人，那么参加这两项竞赛的总人数是多少人？

在本讲的学习中，我掌握了：

在本讲的学习中，我不足之处有：

第十二讲：

行程专项训练（七）

——变速运动

一、训练目标

知识传递：

理解变速运动，能找准变速运动中"变"的速度和"不变"的量。

能力强化：

理解能力，分析能力，综合能力。

思想方法：

作图思想，假设思想，工程问题思想，盈亏问题思想。

二、知识与方法归类

变速问题是小学奥数里面相对较复杂的一种题型，它的综合性较强，可以包括小学数学里面几乎所有的数学知识。

但变速问题还是属于行程问题，解决此类问题，我们还是要抓住行程问题里的基本公式：

路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度

另外，我们还要灵活运用以下几种解题方法，才能使变速问题应刃而解：

作图法：

包括线段图和折线图等，常用示意图表示：

只画出大概过程，重点在变速、相遇的地点。

1、比例法：

变速问题中有很多比例关系，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、时间、速度）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下可以根据比例来求解。

2、分段法：

在分段变速的行程问题中，公式不能直接适用，这时通常把不匀速的过程分为几个匀速的过程，分段计算，最后结合起来。

4、工程问题分析法：

把变速问题看成是工程问题，结合单位“1”,从而巧妙解题。

5、假设法：

把变速问题假设成不变速，找到两者之间的差异：

时间差、路程差，从而解题。

6、方程法：

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。

三、经典例题

例题1.小红上学，每分钟行60米，需要30分钟，如果速度提高

，可以提前几分钟到达学校？

例题2.甲从A地去B地，每小时行15千米。

返回时速度提高

，结果少用3小时。

请问A、

B两地的距离是多少千米？

体验训练1

小新开车从甲地去乙地，每小时行45千米。

返回时速度提高

，结果少用6小时。

请问甲、乙两地的距离是多少千米？

例题3.小芳放学回家，每分钟行75米。

原路去上学，每分钟的速度比原来慢

，结果多用2分钟。

小芳家到学校有多少米？

例题4.王师傅用3.2小时在家和工厂之间往返了一次，去时每小时25千米，返回时减速

，求他家到工厂相距多少千米？

体验训练2

李老师用2.2小时在家和学校之间往返了一次，去时每小时21千米，返回时减速

，求他家到学校相距多少千米？

例题5.甲乙两人分别从AB两地相向而行，已知甲乙速度比为4;5,相遇后乙速度提高20%，甲速度不变，又行4小时，乙到达A地，甲距B地还有112米，求AB两地的路程？

例题6.甲乙两地相距60千米，一辆汽车先用每小时12千米的速度行了一段路程，然后速度提高

继续行驶，共用4.4小时到达，请问这辆车出发几小时后开始提速？

四、强化训练

1.小明上学，每分钟行100米，需50分钟，如果速度提高

，可以提前几分钟到达学校？

2.甲从A地去B地，每小时行18千米。

返回时速度减少

，结果多用3小时。

请问A、B两地的距离是多少千米？

3.蜜蜂用2.4小时在蜂巢和食物之间往返了一次，去时每小时30千米，返回时减速

，求蜜蜂的蜂巢到食物之间相距多少千米？

4.从乌木鲁齐开往成都的飞机往返一次用时7.5小时，去时每小时700千米，返回时减速

，求乌木鲁齐到成都相距多少千米？

5.甲乙两人分别从AB两地相向而行，已知甲乙速度比为3;5,相遇后乙速度提高20%，甲速度不变，又行5小时，乙到达A地，甲距B地还有100米，求AB两地的路程？

6.一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，则可提前到达；如果以原来速度行驶100千米后，再将速度提高30%，恰巧也可以提前同样的时间到达。

甲、乙两地相距多少千米？

*7.已知甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发，相向而行。

其中甲到B以后立即返回，甲去时用了3小时，返回时用了15/4小时。

乙车较慢，甲返回后，再过一会才到A地。

当他们行驶与各自的出发地距离相等时，都用了9/2小时，求他们何时相遇。

在本讲的学习中，我掌握了：

在本讲的学习中，我不足之处有：

第十三讲：

综合运用（四十三）

——浓度问题1

一、训练目标

知识传递：

理解溶液、溶质、溶剂三者的关系，在变化过程中三者的“变”和“不变”。

能力强化：

理解能力，分析能力，综合能力。

思想方法：

方程思想，假设思想，找定量思想，找比例思想。

二、知识与方法归类

在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。

我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。

如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。

这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。

类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。

因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即：

浓度＝

×100％＝

×100％

解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。

在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。

浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。

要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。

三、经典例题

例题1.浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？

例题2.有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？

体验训练1

现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？

体验训练2

现在有浓度为50％的糖水100克，要把它变成浓度为20％的糖水，需要加水多少克？

例题3.一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。

用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药800千克？

例题4.现有浓度为10％的盐水20千克。

再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？

体验训练3

在100千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液就可以配制成25％的硫酸溶液？

例题5.甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。

把某种浓度的盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。

现在丙管中的盐水的浓度为0.5％。

最早倒入甲管中的盐水浓度是多少？

例题6.甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。

第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这样甲容器中纯酒精含量为62.5％，乙容器中纯酒精的含量为40％。

那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？

四、强化训练

1.有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？

2.有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。

第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？

3.用含氨0.15％的氨水进行油菜追肥。

现有含氨16％的氨水30千克，配置时需加水多少千克？

4.仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。

一星期后再测，发现含水量降低到80％。

现在这批水果的质量是多少千克？

5.浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克混合后，所得到的酒精溶液的浓度是多少？

6.两种钢分别含镍5％和40％，要得到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢和含镍40％的钢各多少吨？

7.甲种酒含纯酒精40％，乙种酒含纯酒精36％，丙种酒含纯酒精35％。

将三种酒混在一起得到含酒精38.5％的酒11千克。

已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多千克？

8.已知甲容器有11升纯酒精，乙容器中有水20升。

现在把甲容器中的部分酒精倒入乙容器，搅拌乙容器；接着将乙容器中的部分溶液倒入甲容器，搅拌甲容器。

这时，甲容器中的酒精含量为60%，乙容器中的酒精含量为20%。

问：

混合过程中，从乙容器倒入甲的酒精溶液有多少升？

9.已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为3％，第二次加入同样多的

水后，盐水浓度变为2％。

求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。

10.有A、B、C三种盐水，按A与B的数量之比为2：

1混合，得到浓度为13％的盐水；

按A与B的数量之比为1：

2混合，得到浓度为14％的盐水；按A、B、C的数量之比

为1：

1：

3混合，得到浓度为10.2％的盐水，问盐水C的浓度是多少？

在本讲的学习中，我掌握了：

在本讲的学习中，我不足之处有：

第十四讲：

综合运用（四十四）

——浓度问题2

一、训练目标

知识传递：

掌握用方程解浓度问题的方法，熟悉用浓度三角解题的方法。

能力强化：

理解能力，分析能力，综合能力。

思想方法：

方程思想，十字交叉法思想，分析猜想法。

二、知识与方法归类

十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法。

凡是一般的二元一次方程组（Aa+Bb=c（A+B）关系式）的习题，均可用十字交叉法。

该法解题的关键是准确找出平均值。

其解题原理为：

Aa＋Bb＝（A＋B）×c，整理变形后可得：

=

（a>c>b）

其中c为平均值

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：

用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：

得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：

总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

常用方法为：

方程法——利用溶质相等或者浓度相等来构造等量关系。

十字交叉法——混合问题的简便计算方法。

分析猜答案法——深刻理解混合本质，分析题目猜出答案。

三、经典例题

例题1.甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲，乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？

例题2.现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。

若从甲中取2100克，乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3%；若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为5%。

则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为多少？

体验训练1

有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克。

乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度为82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？

例题3.甲，乙两种含金样品熔成合金，如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如果甲的重量是乙的3.5倍，得到含金（62

）%的合金。

则乙的含金百分数为多少？

例题4.浓度为70%的酒精浓液100克与浓度为20%的酒精浓液400克混合后，得到的溶液的浓度是多少？

体验训练2

甲容器中有浓度为4%的盐水250克，乙容器中某种浓度的盐水若干克，现从乙中取250克盐水，放入甲容器中混合成浓度为8%的盐水，问乙容器中的盐水浓度是多少？

例题5.把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的浓液50升，已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的浓液用量的2倍，浓度为30%的溶液用量是多少升？

例题6.从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水。

这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为多少？

1、强化训练

1.有两种酒精，一种含水15%，另一种含水5%，配制浓度为88%的酒精500克，每种酒精各取多少克？

2.要配制含盐6/100的盐水1千克，已备有含盐5%的盐水300克，还需要用含盐9%的盐和盐水多少克？

3.瓶子里装有酒精含量为15％的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A，B两种酒精溶液，瓶子里的酒精含量变为14％。

已知A种酒精溶液的酒精含量是B种酒精溶液酒精含量的2倍。

求A种酒精溶液的酒精含量。

4.配制硫酸含量为20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18％和23％的硫酸溶液各多少克？

5.仓库运来含水量为90％的一种水果100千克，一星期后再测发现含水量降低了，变为

8％，现在这批水果的总重量是多少千克？

6.A容器中有浓度为8%的糖水300克，B容器中有浓度为12.5%的糖水12克。

向两容器中

分别倒入等量的水，使两容器中糖水浓度相同，求倒入多少水？

7.甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%，如果甲种酒精和乙种

酒精一样多，混合成的酒精含纯酒精61%。

甲乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？

8.AB两个水杯，A有1千克水，B是空的，第一次将A里水的1/2倒入B，第二次又将B里

水的1/3倒回A，第三次又将A里水的1/4倒入B…，照这样倒来倒去，一直倒了1991次后，

A里还剩多少水？