141充分条件和必要条件新教材人教A版高中数学必修第一册导学案.docx

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141充分条件和必要条件新教材人教A版高中数学必修第一册导学案

1．4.1　充分条件与必要条件

【学习目标】

1．理解充分、必要条件的概念．

2．会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件

【重点难点】重点：

充分条件、必要条件、充要条件的概念

难点：

能够利用命题之间的关系判定充要关系

【课前预习】命题及相关概念

定义：

用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句

真命题：

判断为真的语句

假命题：

判断为假的语句

形式：

“若P，则q”。

其中p称为命题的条件，q称为命题的结论

思考：

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？

哪些是假命题？

（１）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

（２）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

（３）若x２－4x＋3＝0，则x＝1；

（４）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b

【新课讲解】

1.基本概念

命题真假

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出关系

p⇒q

p

q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

探究1．“对角线相等的平行四边形是矩形”

（1）这个命题是真命题吗？

（2）将命题改写为“若p，则q”的形式．

（3）“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件．

练习1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件，哪些命题中的p是q的必要条件

（１）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

（２）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

（３）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

（４）若x２=1，则x=1；

（５）若a＝b，则ac＝bc；

（６）若x，y为无理数，则xy为无理数．

练习2将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：

（1）两个全等三角形的对应高相等；

（2）等底等高的两个三角形是全等三角形

注：

对充分、必要条件的理解

（1）对充分条件的理解：

所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．

ii）充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．

（2）对必要条件的理解：

所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．

ii）必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．

（3）用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤

第一步：

分析定理的条件和结论；

第二步：

将定理写成“若p，则q”的形式；

第三步：

利用充分、必要条件的概念来表述定理．

探究2判断下列各题中p是q的充分条件吗？

p是q的必要条件吗？

（1）p：

x>1，q：

x2>1；

（2）p：

（a－2）（a－3）＝0，q：

a＝3；

（3）已知：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0），p：

Δ＝b2－4ac>0，q：

函数图象与x轴有交点

练习3．判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．

（1）p：

“x＝1”，q：

“x2－2x＋1＝0”；

（2）设a，b是实数，p：

“a＋b>0”，q：

“ab>0”；

练习4．在下列各题中，q是p的必要条件的是________．

（1）p：

x－2＝0；q：

（x－2）（x－3）＝0；

（2）p：

两个三角形相似；q：

两个三角形全等；

（3）p：

m<－2；q：

方程x2－x－m＝0无实根．

2充分，必要条件与集合的关系

从集合角度看充分、必要条件：

设命题p、q分别对应集合A、B，若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件．

探究3　

（1）已知p：

关于x的不等式

，q：

0

（2）已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：

x∈A，命题q：

x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．

练习5已知条件p：

x2＋x－6＝0，条件q：

mx＋1＝0（m≠0），且q是p的充分条件，求m的值．

【当堂检测】

1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（　　）

A．“ac>bc”是“a>b”的充分条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件

C．“

<

”是“a

2．设p：

实数x，y满足x>1且y>1，q：

实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（）

A．充分条件B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件

3．条件p：

1－x<0，条件q：

x>a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是________．

4．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“

>1”的_______条件（填“充分”或“必要”）．

5．记A＝{x|－3a}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．

6．已知p：

3x＋m<0，q：

x<－1或x>3，若p是q的一个充分条件，则m的取值范围是________．

7．已知p：

（x－3）（x＋1）<0，若－a0）是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．

答案解析

【课前预习】

思考：

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？

哪些是假命题？

（１）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真

（２）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；假

（３）若x２－4x＋3＝0，则x＝1；假

（４）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b真

【新课讲解】

1.基本概念

2.探究1

（1）是

（2）若平行四边形的对角线相等，则四边形为矩形。

（3）充分条件

练习1

（1）p是q的充分条件

（２）p是q的必要条件

（３）p是q的充分条件

（４）p是q的必要条件

（５）p是q的充分条件

（６）既不充分也不必要条件

练习2

（1）若两个三角形全等，则他们的对应高相等

p是q的充分条件

（2）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等

p是q的必要条件

探究2

（1）p是q的充分条件，p是q的不必要条件

（2）p是q的不充分条件，p是q的必要条件

（3）p是q的充分条件，p是q的不必要条件

练习3，p是q的充分条件的是_

（1）_．

练习4q是p的必要条件的是

（1）________．

2充分，必要条件与集合的关系

探究3　

（1）m<3

（2）m≥

练习5m=

或m=

【当堂检测】

1．　B2．A3.a≥14.充分5.a≤-3

6.m≥-37．b≤2