中考数学冲刺满分常考易错点概率.docx

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中考数学冲刺满分常考易错点概率

6.2概率

易错清单

1.在随机试验中,“一次取两个球”与“分两次各取一个球”,其结果一样吗?

【例1】　（2014·广西模拟）袋中装有3个红球和1个白球,它们除颜色外都相同.随机从中摸出两球,两球都是红球的概率为　　　　. 

【解析】　将“随机从中摸出两球”错误理解为“先随机从中摸出一个球,然后放回,再随机从中摸出一个球”,这样所有可能出现的结果就有16种（不妨把3个红球分别记为红1,红2,红3）:

红1红1,红1红2,红1红3,红1白,红2红1,红2红2,红2红3,红2白,红3红1,红3红2,红3红3,红3白,白红1,白红2,白红3,白白,这些结果出现的可能性是相等的,两球都是红球的概率为.事实上,“一次取两个球”相当于“连续两次不放回”,所以所有可能出现的结果有12种:

红1红2,红1红3,红1白,红2红1,红2红3,红2白,红3红1,红3红2,红3白,白红1,白红2,白红3,而不是16种.

【答案】　

【误区纠错】　将“一次取两个球”转化为“连续两次不放回”,然后用树状图或列表格法表示所有可能出现的结果,也是解决概率问题的一种方法.

2.如何正确理解“频率”与“概率”之间关系呢?

【例2】　（2014·河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）.

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃

C.暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4

【解析】　根据统计图可知,试验结果在0.17附近波动,即其概率P≈0.17.

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀“的概率为

故此选项错误;

B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是

故此选项错误;

C.暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球的概率为

故此选项错误;

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4的概率为

故此选项正确.

【答案】　D

【误区纠错】　频率与概率是两个不同的概念,概率是伴随着随机事件客观存在的,只要有一个随机事件存在,那么这个随机事件的概率就一定存在;频率是通过试验得到的,随着试验次数变化而变化,但当试验的重复次数充分大时,频率在概率附近摆动,为了求出一个随机事件的概率,我们可以通过多次试验,用所得的频率来估计事件的概率.此题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为频率=所求情况数与总情况数之比.同时此题在解答中要用到概率公式.

3.公平性的判断

【例3】　（2014·贵州遵义）小明、小军两同学做游戏,游戏规则是:

一个不透明的文具袋中,装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔,两人先后从袋中取出一支笔（不放回）,若两人所取笔的颜色相同,则小明胜,否则,小军胜.

（1）请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果;

（2）请计算小明获胜的概率,并指出本游戏规则是否公平,若不公平,你认为对谁有利.

【解析】　

（1）列表将所有等可能的结果一一列举出来即可;

（2）根据列表由概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平.

【答案】　

（1）列表,得:

红1

红2

红3

黑1

黑2

红1

红1红2

红1红3

红1黑1

红1黑2

红2

红2红1

红2红3

红2黑1

红2黑2

红3

红3红1

红3红2

红3黑1

红3黑2

黑1

黑1红1

黑1红2

黑1红3

黑1黑2

黑2

黑2红1

黑2红2

黑2红3

黑2黑1

∴　不公平,对小军有利.

【误区纠错】　生活中有许多类似以上的现象,有时我们仅凭借个人有限的经验来判断是非,这往往得出错误的想法,运用概率的有关知识可以分析错误,还原一个真实的结论.

名师点拨

　　1.掌握用列表或树状图求概率的求法.

2.概率在实际问题中的应用.

提分策略

1.判断具体事件是确定事件（必然事件,不可能事件）还是随机事件.

【例1】　有两个事件,事件A:

367人中至少有2人生日相同;事件B:

抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是（　　）.

A.事件A,B都是随机事件

B.事件A,B都是必然事件

C.事件A是随机事件,事件B是必然事件

D.事件A是必然事件,事件B是随机事件

【解析】　事件A:

一年最多有366天,所以367人中必有2人的生日相同,是必然事件;事件B:

抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面的点数为1,2,3,4,5,6共6种情况,点数为偶数是随机事件.

【答案】　D

2.用列表法或画树状图求概率.

当一次试验涉及多个因素（对象）时,常用列表法或画树状图法求出事件发生所有等可能性的结果,然后找出要求事件发生的结果数,根据概率的意义求其概率.

【例2】　小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏,两同学同时出“剪刀”的概率是　　　　. 

【解析】　首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出“剪刀”的情况,再利用概率公式即可求得答案.

画树状图,得:

∵　共有9种等可能的结果,两同学同时出“剪刀”的有1种情况,

∴　两同学同时出“剪刀”的概率是

.

【答案】

【例3】　如图,用红、蓝两种颜色随机地对A,B,C三个区域分别进行涂色,每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色,请用列举法（画树状图或列表）求A,C两个区域所涂颜色不相同的概率.

【解析】　画树状图得出所有等可能的情况数,找出A与C中颜色不同的情况数,即可求出所求的概率.

【答案】　画树状图,如图所示:

所有等可能的情况有8种,其中A,C两个区域所涂颜色不相同的有4种,则

3.概率与代数、几何、函数等学科知识的综合.

概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率,只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数.一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形,再求出满足所涉及知识的情形,进一步求概率.

【例4】　在学习“二元一次方程组的解”时,数学张老师设计了一个数学活动.有A,B两组卡片,每组各3张,A组卡片上分别写有0,2,3;B组卡片上分别写有-5,-1,1.每张卡片除正面写有不同数字外,其余均相同.甲从A组中随机抽取一张记为x,乙从B组中随机抽取一张记为y.

（1）若甲抽出的数字是2,乙抽出的数是-1,它们恰好是ax-y=5的解,求a的值;

（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax-y=5的解的概率.（请用树形图或列表法求解）

【解析】　

（1）将x=2,y=-1代入方程计算即可求出a的值;

（2）列表得出所有等可能的情况数,找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax-y=5的解的情况数,即可求出所求的概率.

【答案】　

（1）将x=2,y=-1代入方程得2a+1=5,即a=2.

（2）列表得:

0

2

3

-5

（0,-5）

（2,-5）

（3,-5）

-1

（0,-1）

（2,-1）

（3,-1）

1

（0,1）

（2,1）

（3,1）

　　所有等可能的情况有9种,其中（x,y）恰好为方程2x-y=5的解的情况有（0,-5）,（2,-1）,（3,1）,共3种情况,

则

专项训练

一、选择题

1.（2014·广东深圳模拟）从一个袋中摸出一个球（袋中每一个球被摸到的可能性相等）,恰为红球的概率为,若袋中原有红球4个,则袋中球的总数大约是（　　）.

A.12B.16

C.32D.24

2.（2014·山东日照模拟）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6）.记甲立方体朝上一面上的数字为x、乙立方体朝上一面朝上的数字为y,这样就确定点P的一个坐标（x,y）,那么点P落在双曲线y=上的概率为（　　）.

A.B.

C.D.

3.（2013·山东德州一模）现掷A,B两枚均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6）,设两立方体朝上的数字分别为x,y,并以此确定点P（x,y）,那么各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为（　　）.

A.B.

C.D.

4.（2013·山西模拟）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示,则符合这一结果的实验可能是（　　）.

（第4题）

A.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率

B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红球的概率

C.抛一枚硬币,出现正面的概率

D.任意写一个整数,它能被2整除的概率

二、填空题

5.（2014·江苏无锡港下初中模拟）在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率是,则n=　　　　. 

6.（2014·山东聊城模拟）从-2,-1,0,1,2这5个数中任取一个数,作为关于x的一元二次方程x2-x+k=0的k值,则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是　　　　. 

7.（2014·河南鹿邑县一模）将三个均匀的六面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体同时掷出,出现的数字分别为a,b,c,则a,b,c正好是直角三角形三边长的概率是　　　　. 

8.（2013·山东曲阜实验中学模拟）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏,游戏规则是:

从牌面数字分别为5,6,7的三张扑克牌中.随机抽取一张,放回后,再随机抽取一张,若所抽的两张牌面数字的积为奇数,则甲获胜;若所抽取的两张牌面数字的积为偶数,则乙获胜,这个游戏　　　　.（填“公平”或“不公平”） 

9.（2013·广西南丹中学一模）某班共有50名同学,其中有2名同学习惯用左手写字,其余同学都习惯用右手写字,老师随机请1名同学到黑板板演,习惯用左手写字的同学被选中的概率是　　　　. 

三、解答题

10.（2014·江苏镇江外国语学校模拟）在物理实验中,当电流通过电子元件

时,每个元件的状态有两种可能:

通过或断开,并且这两种状态的可能性相等.

（1）如图

（1）,当两个电子元件a,b并联时,请用树状图或列表法表示图中P,Q之间电流能否通过的所有可能情况,并求出P,Q之间电流通过的概率;

（2）如图

（2）,当有三个电子元件并联时,请直接写出P,Q之间电流通过的概率为　　　　. 

（1）

（2）

（第10题）

11.（2014·四川中江县一模）在一个不透明的布袋里装有4个标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点Q的坐标（x,y）.

（1）画树状图或列表,写出点Q所有可能的坐标;

（2）求点Q（x,y）在函数y=-x+5的图象上的概率;

（3）小明和小红约定做一个游戏,其规则:

若x,y满足xy>6则小明胜,若x,y满足xy<6则小红胜,这个游戏公平吗?

说明理由;若不公平,请写出公平的游戏规则.

12.（2013·浙江湖州模拟）取三张形状大小一样,质地完全的相同卡片,在三张卡片上分别写上“李明”“王强”“孙伟”这三个同学的名字,然后将三张卡片放入一个不透明的盒子里.

（1）林老师从盒子中任取一张,求取到写有李明名字的卡片概率是多少?

（2）林老师从盒子中取出一张卡片,记下名字后放回,再从盒子中取出第二张卡片,记下名字.用列表或画树形图列出林老师取到的卡片的所有可能情况,并求出两次都取到写有李明名字的卡片的概率.

13.（2013·安徽马鞍山六中模拟）儿童节期间,某公园游戏场举行一场活动,有一种游戏的规则是:

在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外,其他都相同）的袋中,随机摸一个球,摸到一个红球就得到一个玩具.已知参加这种游戏的儿童有40000人次,公园游戏场发放玩具8000个.

（1）求参加此次活动得到玩具的概率?

（2）请你估计袋中白球的数量接近多少?

14.（2013·浙江温州模拟）在一个口袋中有5个小球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,现把它们写上标号:

其中两个的标号都为1,其余三个的标号分别为2,3,4.

（1）在看不到球的情况下,从袋中随机地取出一个球,求取到标号为1的球的概率;

（2）随机地取出一个小球后不放回,再随机地取出一个小球,求第二次取出小球的标号大于第一次取出小球标号的概率.

参考答案与解析

1.B　2.C　3.B　4.B　5.8　

10.

（1）画树状得:

（第10题）

故P,Q之间电流通过的概率

.

（2）

11.

（1）画树状图,得:

（第11题）

点Q所有可能的坐标有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,共12种.

（2）∵　共有12种等可能的结果,其中在函数y=-x+5的图象上的有4种,即（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,

∴　点Q（x,y）在函数y=-x+5的图象上的概率为

=.

（3）∵　x,y满足xy>6有（2,4）,（3,4）,（4,2）,（4,3）共4种情况,x,y满足xy<6有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（3,1）,（4,1）共6种情况,

∴　游戏不公平.

公平的游戏规则为:

若x,y满足xy≥6,则小明胜;若x,y满足xy<6,则小红胜.

12.

（1）

.

（2）画树状图,得:

（第12题）

故两次都取到李明的概率为

.

14.

（1）由题意,得取到标号为1的球的概率为.