上海市曹杨二中学年高二下学期期中数学试题.docx
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上海市曹杨二中学年高二下学期期中数学试题
上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、填空题
1．抛物线
的准线方程是.
2．若方程
表示椭圆,则实数
的取值范围是__________.
3．双曲线
的实轴长是虚轴长的2倍,则
的值为_______.
4．直线
的一个方向向量
则
与直线
的夹角为________.
5．已知直线
圆C:
则直线
被圆C所截得的线段的长为______.
6．设
、
是双曲线
的两个焦点，
是双曲线上的一点，且
，则
的周长______.
7．若直线
与曲线
只有一个公共点,则实数
的值为_______.
8．如图，A、B为椭圆
的两个顶点，过椭圆的右焦点F作
轴的垂线与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为______.
9．已知
是双曲线
的左、右焦点,过点
且斜率为2的直线
交双曲线的左支于点P,若直线
则双曲线的渐近线方程是__________.
10．设抛物线
的焦点为
，过点
且斜率为
的直线与
交于
两点，则
________.
11．在平面上，一个区域内两点间距离最大值称为区域的直径，则方程
围成封闭区域的直径是________.
12．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=2PQ，则△PAC的面积的最大值是_________.
二、单选题
13．“
且
”是“
表示圆的方程”的（）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
14．已知
与
是直线
（
为常数）上两个不同的点，则关于
和
的方程组
的解的情况是（）
A．无论
如何,总是无解B．无论
如何,总有唯一解
C．存在
使之恰有两解D．存在
使之有无穷多解
15．在平面直角坐标系
中，已知向量
点Q满足
曲线
区域
若
为两段分离的曲线，则（）
A．
B．
C．
D．
16．以
为圆心的两圆均过
，与
轴正半轴分别交于
，且满足
，则点
的轨迹是（）
A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线
三、解答题
17．已知抛物线
（
且
为常数），F为其焦点，若焦点F是椭圆
的一个焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，且
求直线PQ的方程.
18．已知
两点
（1）求过AB中点，且在两坐标轴上截距相等的直线
的方程；
（2）求过原点，且A、B两点到该直线距离相等的直线
的方程.
19．定义:
圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比
”.
（1）设
求过点P
的直线关于圆
的距离比
的直线方程；
（2）若圆
与
轴相切于点A
且直线
关于圆C的距离比
求出圆C的方程.
20．如图，椭圆
的左、右顶点分别为A、B，双曲线
以A、B为顶点，焦距为
，点P是
上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为
为坐标原点.
（1）求双曲线
的方程；
（2）求点M的纵坐标
的取值范围；
（3）是否存在定直线
使得直线BP与直线OM关于直线
对称？
若存在，求直线
的方程；若不存在,请说明理由.
21．双曲线
经过点
，两条渐近线的夹角为
，直线
交双曲线于
、
.
（1）求双曲线
的方程；
（2）若
过原点，
为双曲线上异于
、
的一点，且直线
、
的斜率为
、
，证明：
为定值；
（3）若
过双曲线的右焦点
，是否存在
轴上的点
，使得直线
绕点
无论怎样转动，都有
成立？
若存在，求出
的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．
【解析】
试题分析：
由抛物线方程可知
，所以准线方程为
考点：
抛物线性质
2．
【解析】
【分析】
由方程表示椭圆，得到不等式组
，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，方程
表示椭圆，则满足
，解得
，
即实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．
【分析】
利用双曲线的标准方程，即可得到实轴长与虚轴长的关系，即可求解
得值，得到答案．
【详解】
由题意，双曲线
，可化为
，所以
，
又由实轴长是虚轴长的2倍，可得
，即
，所以
，解得
．
故答案为
．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．
【解析】
【分析】
由直线
的方向向量为
，利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】
由题意，直线
的方向向量为
，
又由直线
的一个方向向量
根据向量的夹角公式，可得
，
又由两直线的夹角
，所以两直线的夹角为
，则
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了两直线的夹角的大小的求法，其中解答中熟记直线的方向向量，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．
【分析】
先求得圆心到直线
的距离为
，再利用圆的弦长公式，即可求解．
【详解】
由题意，圆
的圆心坐标为
，半径为
，
圆心到直线
的距离为
，
由圆的弦长公式，可得
，
即直线
被圆C所截得的线段的长为
．
故答案为
．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的弦长公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．24
【分析】
先由双曲线的方程求出
，再由
，运用双曲线的定义，求出
，
，由此能求出
的周长．
【详解】
解：
双曲线
的
，
，
两个焦点
，
，
即
，
由
，设
，则
，
由双曲线的定义知，
，解得
．
，
，
，
则
的周长为
．
故答案为：
24．
【点睛】
本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．
7．
【分析】
当直线
与双曲线的渐近线平行时，满足题意，当直线与右支相切时，直线与双曲线有且只有一个交点，即可求解．
【详解】
由双曲线
可得其渐近线的方程为
，
①当直线
与双曲线的渐近线
平行时，即
时，直线与双曲线有且只有一个公共点，满足题意；
②当直线
与右支相切时，直线与双曲线有且只有一个交点，
联立方程组
，整理得
，
令
，得
，解得
，
综上可知，实数
的取值集合
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了直线与曲线的位置关系的应用，其中解答中根据双曲线的渐近线的性质，以及直线与双曲线的位置关系的判定方法，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
8．
【分析】
由椭圆的方程及过椭圆的右焦点F作
轴的垂线，求得
，根据
，求得
，进而得到
，利用斜率公式，即可求解．
【详解】
由题意，椭圆
，过椭圆的右焦点F作
轴的垂线与其交于点C，
可得
，
又由
，可得
，整理得
，即
，
又由
，
所以直线
的斜率为
．
故答案为
．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9．
【分析】
先求出过点
且斜率为2的直线的方程，再利用垂直关系得出直线
的方程，求出它们的焦点坐标及点
的坐标，利用点
在双曲线上，代入求得
的关系式，进而求得其渐近线的方程，得到答案．
【详解】
由题意，过过点
且斜率为2的直线
的方程为
，
因为
，所以直线
的斜率为
，所以直线
的方程为
，
两直线联立方程组，解得交点
的坐标为
，如图所示，
将点
代入双曲线的方程，可得
，整理得
，
又由
，代入得
，
整理得
，解得
，可得
，即
，
所以双曲线的渐近线的方程为
．
故答案为
．
、
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
10．8
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．
【详解】
抛物线C：
y2=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为
的直线为：
3y=2x+4，
联立直线与抛物线C：
y2=4x，消去x可得：
y2﹣6y+8=0，
解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），
，
=（3，4）．
则
=（0，2）•（3，4）=8．
故答案为8.
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．
11．
【分析】
分类讨论，当
，
，
和
时，方程表示的图形，得出封闭区域，结合图象，即可求解．
【详解】
由题意，当
时，方程可化为
，即
，
同理当
时，方程可化为
，
当
时，方程可化为
，即
或
；
同理
时，方程可化为
或
，
作出方程
所表示的封闭区域，如图所示，
可得
两点间的距离最大，且为
．
故答案为
．
【点睛】
本题主要考查了曲线方程所表示的平面区域，以及两点间距离的最值问题，其中解答中分类讨论，画出方程所以表示的平面区域是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．
12．
【分析】
以
所在的直线为
轴，以
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式，求得点
的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆，进而求得面积的最大值，得到答案．
【详解】
由题意，以
所在的直线为
轴，以
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，
因为
，可得
，
设
，因为过点
作半圆的切线
，且
，
即
，整理得
，
即
，方程表示以
为圆心，半径为
的圆，
所以
的最大面积为
．
故答案为
．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，利用两点间的距离公式，求得点
的轨迹方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
13．B
【解析】
【分析】
根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
【详解】
由方程
表示圆时，满足
且
，
所以“
且
”是“
表示圆的方程”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题．
14．B
【分析】
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出
的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，点
与
是直线
（
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