检验:
当f(3)=0,a=
时,方程的两解为x=
,x=3,
当f
(1)=0,即a=3时,方程的两解为x=1,x=5,
可知
≤a<3.当
⇒a=2.
即a=2时f(x)=x2-4x+4=(x-2)2方程的解x1=x2=2
∴a=2,综上有a=2或
≤a<3.
考向三 函数零点性质的应用
【例3】►已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+
(x>0,其中e表示自然对数的底数).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;
(2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
分析:
(1)可结合图象也可解方程求之.
(2)利用图象求解.
[审题视点]画出函数图象,利用数形结合法求函数范围.
解
(1)法一 ∵g(x)=x+
≥2
=2e,等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.
法二 作出g(x)=x+
的图象如图:
可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.
法三 解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,故
等价于
,故m≥2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+
(x>0)的图象.
∵f(x)=-x2+2ex+t-1
=-(x-e)2+t-1+e2.
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为t-1+e2.
故当t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴t的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了,当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形结合法求解.
【训练3】已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=
,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
解
(1)若a=0,则f(x)=-4与题意不符,∴a≠0,
∴f(-1)·f
(1)=8(a-1)(a-2)<0,∴1<a<2.
(2)若a=
,则f(x)=
x3-
x+
,
∴f(-1)>0,f
(1)<0,f(0)=
>0,∴零点在(0,1)上,又f
=0,
∴f(x)=0的根为
.
难点突破6——如何利用图象求解函数零点问题
数形结合是重要的思想方法之一,也是高考考查的热点问题,利用函数图象判断方程是否有解,有多少个解是常见常考的题型,数形结合法是求函数零点个数的有效方法,其基本思路是把函数分成两个函数的差,分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出,则函数零点个数就是两函数图象交点的个数.
一、判定函数零点的个数
【示例】►(2011·陕西)函数f(x)=
-cosx在[0,+∞)内( ).
A.没有零点B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点
二、判断零点的范围
【示例】►(2011·山东)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=________.