（2）可以借助R的大小来确定因素对试验结果影响的主次.
∵R2＝40>R3＝27>R1＝10.
∴影响产量的各因素中种植密度影响最大，其次是施肥次数，施肥量再次之.
答案
（1）（A1，B2，C2）
（2）种植密度>施肥次数>施肥量
规律方法 1.Kpq表示Lm（np）中第q列中水平p的试验结果之和.
2.可以用R的大小来确定因素对试验结果影响的主次.
跟踪演练3 考察下表所列的对胶鞋弯曲性能有影响的3个因素和2个水平，选取主要因素及较好的配方.
因素
水平
A
促进剂总量
B
炭黑品种
C
硫碘用量
1
1.5
甲类炭黑
2.5
2
1.0
乙类炭黑
2.0
解：
首先，要找出适合试验要求的正交表.该题中有2个水平，自然应在2水平的正交表中选.又因为有3个因素，而列数不小于因素个数的最小2水平正交表是L4（23），如表1所示.
表1
列号
试验号
1
2
3
1
1
1
1
2
1
2
2
3
2
1
2
4
2
2
1
安排试验方案.将促进剂总量A，炭黑品种B，硫磺用量C三个试验因素分别填入三列上.哪一个因素安排在哪一列是任意的（如表2所示）.
表2
列号
试验号
A
促进剂总量
B
炭黑品种
C
硫横用量
1
A1（1.5）
B1（甲）
C1（2.5）
2
A1（1.5）
B2（乙）
C2（2.0）
3
A2（1.0）
B1（甲）
C2（2.0）
4
A2（1.0）
B2（乙）
C1（2.5）
按照这个安排需要做4次试验.第一个试验就是按照表2的第1行排出的水平组合（A1，B1，C1），在促进剂总量为1.5，炭黑品种为甲类，硫磺用量为2.5的条件下完成；第二个试验就是按照表2的第2行排出的水平组合（A1，B2，C2），在促进剂总量为1.5炭黑品种为乙类，硫磺用量为2.0条件下完成；等等.
经过试验，将试验的结果（弯曲次数）列在表3中.
表3
列号
试验号
A
促进剂总量
B
炭黑品种
C
硫磺用量
试验结果弯曲次数（万次）
1
A1（1.5）
B1（甲）
C1（2.5）
1.5
2
A1（1.5）
B2（乙）
C2（2.0）
1.5
3
A2（1.0）
B1（甲）
C2（2.0）
3.0
4
A2（1.0）
B2（乙）
C1（2.5）
2.5
k1q＝
K1q
1.5
2.3
2.0
k2q＝
K2q
2.8
2.0
2.3
Rq
1.3
0.3
0.3
接着用直观分析方法试验结果.根据k值和R值的定义，先计算k值，然后计算R值（表3）.
画弯曲次数和因素的关系图：
从表3和关系图中可以看出，因素A——促进剂总量两个水平对产量的影响中，k21值最大，即水平2的时候弯曲次数较高，所以在A1，A2中应该选择A2.同理，在B1，B2中选择B1，在C1，C2中选择C2，所以组合（A2，B1，C2）是最佳生产条件.比较R1，R2，R3的大小，有R1>R2＝R3，说明促进剂总量（A）是主要因素，炭黑品种（B）与硫磺用量（C）其次.
1.用正交试验设计法安排试验，其步骤一般有：
（1）明确试验目的，确定试验指标；
（2）选因素，定水平，水平选得越准确，试验效果越显著；
（3）根据问题的具体情况选一张合适的正交表；
（4）利用正交表安排试验方案；
（5）对试验结果进行直观分析，计算同一因素同一水平的结果的平均值，找出每个因素的最好水平；
（6）获得最佳搭配方案，将每个因素中的最好水平进行搭配，得到最佳答案；
（7）分析影响结果的主次因素，即根据R值的大小，R值越大，说明这一因素对试验结果影响越大；
（8）对分析出的最优搭配进行试验，若效果比较满意，试验可告一段落.
2.直观分析法是分析各个因素对试验结果影响大小的一种数学方法.主要分析的是：
（1）对同因素中将相同水平的结果相加，找出每个因素的最好水平；
（2）寻找每个因素中的最好水平进行搭配，得到最佳答案；
（3）计算各个水平最好值与最差值的大小R值，由R的值的大小确定因素对试验结果影响的主次.
一、基础达标
1.为提高某种药品的合成率，对工序进行试验.各因素及其水平如下表所示，如何用正交试验法设计试验？
因素
水平
A
B
C
D
温度（℃）
甲醇纳量（mL）
加工时间（min）
缩合剂量（mL）
1
25
3
30
0.9
2
35
4
35
1.2
3
45
5
40
1.5
可选用以下哪种正交表进行试验（ ）
A.L4（23）B.L8（27）
C.L9（34）D.L12（211）
解析 因为是4因素3水平，所以选择L9（34）.
答案 C
2.右表是正交表L4（23）的一
试验号因素
A
B
C
1
1
1
1
2
1
2
2
3
2
1
2
4
2
2
1
部分，则表中安排的第三个试验组合是（ ）
A.A1B1C1
B.A1B2C2
C.A2B1C2
D.A2B2C1
解析 该表表示3因素2水平，第三个试验安排的是A因素的2水平B因素的1水平和C因素的2水平，即A2B1C2.
答案 C
3.正交试验设计中，因素的选取（ ）
A.要选取那些对试验结果影响不大的次要的因素
B.要选取那些难于控制的因素
C.要选取那些过去已经了解清楚的因素
D.要根据试验目的，结合实践经验，考察与试验目的关系重要的因素
解析 正交试验的目的：
是通过较少次数的试验获得试验数据并对其进行分析，确定影响试验指标的主要因素，从而得到较好的因素水平组合，故选D.
答案 D
4.如图是某正交试验设计中绘制的产量与因素关系图，由此图可知（ ）
A.影响试验结果最主要的是因素Ⅰ
B.影响试验结果最主要的是因素Ⅱ
C.影响试验结果最主要的是因素Ⅲ
D.因表中数据不全，无法分清哪一个因素影响最大
解析 因为R3最大，故影响试验结果最主要的是因素Ⅲ.
答案 C
5.右图是根据一个三因素三水平正交试验结果绘制的因素关系图，设试验结果越大越好，则因素的最优搭配为（ ）
A.（A3，B2，C2）
B.（A1，B2，C1）
C.（A3，B2，C3）
D.（A3，B1，C3）
解析 ∵max{kq1}＝k31，max{kq2}＝k22，
max{kq3}＝k23，
∴最佳组合为（A3，B2，C2），所以答案为A.
答案 A
6.下面正交试验设计方案中，第1号试验中因素C的水平为________；第2号试验中因素C的水平为__________；第5号试验中因素A的水平为__________，B为__________；第6号试验中因素B的水平为__________.
列号
试验号
A
B
C
D
1
1
1
2
1
2
3
1
3
3
4
2
1
2
5
3
6
2
1
7
3
1
3
8
3
2
1
9
3
3
2
解析 根据正交表的特征，可知答案为1，2，2，2，3.
答案 1，2，2，2，3
二、能力提升
7.下表是正交试验设计表的一部分，根据此表可知表中①，②分别是__________、__________.
列号
试验号
上升温度A（℃）
保温时间B（s）
出炉温度C（℃）
试验结果
1
A1
B1
C1
2
A1
B2
C2
3
A2
B1
C2
4
A2
B2
C1
k1q＝
K1q
62.5
①＝？
k2q＝
K2q
67.5
57.5
Rq
5
②＝？
解 根据直观分析法的计算可知：
①＋57.5＝62.5＋67.5，得①＝72.5，由72.5－57.5＝15，知②处为15.答案：
72.5，15.
8.下表给出L9（34）中有一处错误，错误处在该表的列号为__________，试验号为__________.
列号
试验号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
1
1
解析 第3列有4个1，2个2，3个3，
所以其中的1个1应为2.
若试验号为1，6，8处的1改为2，
则与正交表的特性“任意两列将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数相等”这一特征矛盾，
而试验号9处3列1改为2能使正交表满足正交表的特性.
答案 3，9
9.某车间用车床加工零件，为提高工效，对车速、走刀量、吃刀深度进行正交试验，各因素及其水平如下表：
因素
水平
A
车速（r/min）
B
走刀量（mm/r）
C
吃刀深度（mm）
1
480
0.30
2.5
2
600
0.20
1.7
3
760
0.15
2.0
用L9（34）安排实验，试验结果如下表：
列号
试验号
A
车速（r/min）
B
走刀量（mm/r）
C
吃刀深度（mm）
D
工时
1
480
0.30
2.5
1′28″
2
480
0.20
1.7
2′25″
3
480
0.15
2.0
3′10″
4
600
0.30
1.7
1′20″
5
600
0.20
2.0
2′02″
6
600
0.15
2.5
2′38″
7
760
0.30
2.0
58″
8
760
0.20
2.5
1′38″
9
760
0.15
1.7
2′06″
k1q
k2q
k3q
（1）将上表补充完整；
（2）求K32的值；
（3）解释k32的实际意义.
解
（1）k11＝
＝2′21″，
k21＝
＝2′，
k31＝
＝1′34″，
k12＝
＝1′15″，
k22＝
＝2′02″，
k32＝
＝2′38″，
k13＝
＝1′55″，
k23＝
＝1′57″，
k33＝
＝2′03″.
（2）K32＝3k32＝7′54″.
（3）因为k32是第三个因素吃刀深度的第二个水平参与的3次试验结果的平均值.3次试验中，
第一个因素车速的每个水平各参与了一次试验，
在平均过程中，
第一个因素的影响被消除了.
同样，第二个因素对实验结果的影响也被消除了.
随机误差有正有负，
在求平均的过程中，
可以部分地正负抵消，
故k32的实际意义是：
它主要反映了第三个因素的第二个水平对试验结果的影响.
三、探究与创新
10.为改进生产工艺，提高白地霉核酸的回收率，选择3种白地霉核酸含量（%）（7.4，8.7，6.2），3种腌制时间（h）（24，4，1），3种pH（4.8，6.0，9.0），3种加水量（1∶4，1∶3，1∶2）进行正交试验，选用正交表L9（34）安排试验，试验数据如下表：
列号
试验号
A
白地霉核酸含量（%）
B
腌制时间（h）
C
pH
D
加水量
纯核酸回收率（%）
1
1
1
1
1
29.8
2
1
2
2
2
41.3
3
1
3
3
3
59.9
4
2
1
2
3
24.3
5
2
2
3
1
50.6
6
2
3
1
2
58.2
7
3
1
3
2
30.9
8
3
2
1
3
20.4
9
3
3
2
1
73.1
（1）求kpq，p＝1，2，3，q＝1，2，3，4及R1，R2，R3的值；
（2）解释k14的实际意义；
（3）解释R4的实际意义；
（4）找出影响回收率的主要因素；
（5）用直观分析法求出最好的工艺条件；
（6）绘制因素关系图.
解
（1）k11＝
＝43.67，
k21＝
＝44.37，
k31＝
＝41.47，
k12＝
＝28.33，
k22＝
＝37.43，
k32＝
＝63.73，
k13＝
＝36.13，
k23＝
＝46.23，
k33＝
＝47.13，
k14＝
＝51.17，
k24＝
＝43.47，
k34＝
＝34.87，
R1＝max{k11，k21，k31}－min{k11，k21，k31}
＝44.37－41.47＝2.9，
R2＝max{k12，k22，k32}－min{k12，k22，k32}
＝63.73－28.33＝35.4，
R3＝max{k13，k23，k33}－min{k13，k23，k33}
＝47.13－36.13＝11，
R4＝max{k14，k24，k34}－min{k14，k24，k34}
＝51.17－34.87＝16.3.
（2）由于k14是9次试验中，
对应于因素D的第一个水平的各次试验结果的平均值，
虽说用于计算k14的试验结果中有因素A，B，C参与了试验，
但A的各水平都参与了1次，
B的各水平也各参与了1次，
C的各水平也各参与了1次，
在求平均值的过程中，
它们的不同水平对试验结果的影响被消除了.
另外，由于随机误差有正有负，
在求平均值的过程中，
正、负误差会有所抵消，
因此，k14主要反映了因素D的第一个水平对试验结果的影响，
即工艺中加水量为1∶4时对纯核酸回收率的影响.
（3）由于R4＝max{k14，k24，k34}－min{k14，k24，k34}，
它是因素D的3个不同水平下回收率的平均值的最大值与最小值之差，
因此，
它主要说明因素D的不同水平对回收率的影响大小.
这里，R4＝16.3，
说明因素D的不同水平对回收率的影响较大，
因素D是影响回收率的重要因素.
（4）根据
（1）的计算结果R2＞R4＞R3＞R1可知，
影响回收率的主要因素是B，
其次是D，C，
而R1＝2.9相对于R2，R3，R4，
要小得多，
故A的影响较小，不太显著.
（5）根据前面计算知，
max{k11，k21，k31}＝k21，max{k12，k22，k32}＝k32，
max{k13，k23，k33}＝k33，max{k11，k24，k34}＝k14.
从而，由直观分析法找出最好的配方为：
白地霉核酸含量8.7%，
腌制时间1h，pH9.0，加水量1∶4.
（6）因素关系图如图所示：
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